مثال ١ - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 10: أوجد قيمة جد التي تجعل كل ثلاثية حدود فيما يأتي مربعًا كاملاً: س٢ + ٦س + جد

الإجابة: ٩

سؤال 11: أوجد قيمة جد التي تجعل كل ثلاثية حدود فيما يأتي مربعًا كاملاً: س٢ - ٨س + جد

الإجابة: ١٦

سؤال 12: أوجد قيمة جد التي تجعل كل ثلاثية حدود فيما يأتي مربعًا كاملاً: س٢ - ١٠س + جد

الإجابة: ٢٥

سؤال 13: أوجد قيمة جد التي تجعل كل ثلاثية حدود فيما يأتي مربعًا كاملاً: س٢ - ١٢س + جد

الإجابة: ٣٦

سؤال 14: أوجد قيمة جد التي تجعل كل ثلاثية حدود فيما يأتي مربعًا كاملاً: س٢ - ١٤س + جد

الإجابة: ٤٩

سؤال 15: أوجد قيمة جد التي تجعل كل ثلاثية حدود فيما يأتي مربعًا كاملاً: س٢ - ١٦س + جد

الإجابة: ٦٤

سؤال 16: أوجد قيمة جد التي تجعل كل ثلاثية حدود فيما يأتي مربعًا كاملاً: س٢ - ١٨س + جد

الإجابة: ٨١

سؤال 17: حلّ كل معادلة فيما يأتي بإكمال المربع، مقربًا الحل إلى أقرب جزء من عشرة إذا كان ذلك ضروريًا: س٢ + ٦س - ١٤ = ٠

الإجابة: س = -٨، س = ٢

سؤال 18: حلّ كل معادلة فيما يأتي بإكمال المربع، مقربًا الحل إلى أقرب جزء من عشرة إذا كان ذلك ضروريًا: س٢ - ٨س - ١ = ٠

الإجابة: س = ٨.١، س = -٠.١

سؤال 19: حلّ كل معادلة فيما يأتي بإكمال المربع، مقربًا الحل إلى أقرب جزء من عشرة إذا كان ذلك ضروريًا: س٢ + ٧س + ٥ = ٠

الإجابة: س = -٠.٨، س = -٦.٢

سؤال 20: حلّ كل معادلة فيما يأتي بإكمال المربع، مقربًا الحل إلى أقرب جزء من عشرة إذا كان ذلك ضروريًا: س٢ - ٧س + ٥ = ٠

الإجابة: س = ٦.٢، س = ٠.٨

سؤال 23: هندسة: أوجد قيمة س في كل شكل مما يأتي، وقرب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة إذا كان ذلك ضروريًا: (م: المساحة) م = ٤٥ سم٢

الإجابة: س = ٥.٠ سم

سؤال 24: هندسة: أوجد قيمة س في كل شكل مما يأتي، وقرب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة إذا كان ذلك ضروريًا: (م: المساحة) م = ٥٠ سم٢

الإجابة: س = ٥.٣ سم

سؤال 25: نظرية الأعداد: عددان صحيحان زوجيان متتاليان ناتج ضربهما ٢٢٤، فما هما؟

الإجابة: ١٤ و ١٦

سؤال 26: هندسة: أوجد مساحة المثلث المجاور.

الإجابة: ٢١٦ وحدة٢

سؤال 27: علم الفلك: يمرّ عن ارتفاع جسم بعد ثانية من سقوطه بالمعادلة ل = ٠.٥ث٢ + ل٠ ، حيث (ل٠) الارتفاع الابتدائي. (ج) التسارع الناتج عن الجاذبية، فإذا كان تسارع الجاذبية على سطح كوكب المريخ ٣.٧٣م/ث٢، وعلى سطح الأرض ٩.٨م/ث٢. وسقط الجسم من ارتفاع ابتدائي مقداره ١٢٠ مترًا فوق سطح كل من الكوكبين، فأجب عن السؤالين الآتيين: أ) أي الكوكبين يصل الجسم إلى سطحه أولاً؟ ب) كم يستغرق الجسم للوصول إلى سطح كل من الكوكبين مقربًا الإجابة إلى أقرب جزء من عشرة؟

الإجابة: أ) المريخ ب) المريخ ٨.٠ ثوانٍ، الأرض ٤.٩ ثوانٍ

سؤال 28: أوجد قيمة جد التي تجعل ثلاثية الحدود: س٢ + ٥س + جد مربعًا كاملاً.

الإجابة: جد = ٣٠ أو جد = -٣٠

أوجد قيمة جـ التي تجعل ثلاثية الحدود: س^٢ - ١٣ س + جـ مربعًا كاملاً.

• أ) جـ = ١٦٩
• ب) جـ = ١٦٩/٤
• ج) جـ = ٦.٥
• د) جـ = -٦.٥

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: جـ = ١٦٩/٤

الشرح: ١. لتجعل ثلاثية الحدود مربعًا كاملاً، يجب أن تكون جـ = (معامل س / ٢)^٢. ٢. معامل س هو -١٣. ٣. جـ = (-١٣/٢)^٢ = ١٦٩/٤.

تلميح: تذكر أن قيمة جـ في ثلاثية الحدود س^٢ + ب س + جـ التي تجعلها مربعًا كاملاً هي (ب/٢)^٢.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد قيمة جـ التي تجعل ثلاثية الحدود: س^٢ + ٢٦ س + جـ مربعًا كاملاً.

• أ) جـ = ١٦٩
• ب) جـ = ٥٢
• ج) جـ = ٦٧٦
• د) جـ = ٧٨

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: جـ = ١٦٩

الشرح: ١. المعامل ب هو ٢٦. ٢. نطبق القانون: جـ = (ب/٢)^٢ = (٢٦/٢)^٢. ٣. جـ = ١٣^٢ = ١٦٩.

تلميح: تذكر أن جـ في ثلاثية الحدود س^٢ + ب س + جـ يكون مربعاً كاملاً إذا كانت جـ = (ب/٢)^٢.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد قيمة جـ التي تجعل ثلاثية الحدود: س^٢ - ٢٤ س + جـ مربعًا كاملاً.

• أ) جـ = ٤٨
• ب) جـ = ١٤٤
• ج) جـ = ٥٧٦
• د) جـ = ١٢

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: جـ = ١٤٤

الشرح: ١. المعامل ب هو -٢٤. ٢. نطبق القانون: جـ = (ب/٢)^٢ = (-٢٤/٢)^٢. ٣. جـ = (-١٢)^٢ = ١٤٤.

تلميح: تذكر أن جـ في ثلاثية الحدود س^٢ + ب س + جـ يكون مربعاً كاملاً إذا كانت جـ = (ب/٢)^٢.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد قيمة جـ التي تجعل ثلاثية الحدود: س^٢ - ١٩ س + جـ مربعًا كاملاً.

• أ) جـ = ١٩
• ب) جـ = ٩٠,٢٥
• ج) جـ = ٣٨
• د) جـ = ١٨٠,٥

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: جـ = ٩٠,٢٥

الشرح: ١. المعامل ب هو -١٩. ٢. نطبق القانون: جـ = (ب/٢)^٢ = (-١٩/٢)^٢. ٣. جـ = (-٩,٥)^٢ = ٩٠,٢٥.

تلميح: تذكر أن جـ في ثلاثية الحدود س^٢ + ب س + جـ يكون مربعاً كاملاً إذا كانت جـ = (ب/٢)^٢.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد قيمة جـ التي تجعل ثلاثية الحدود: س^٢ - ٢٢ س + جـ مربعًا كاملاً.

• أ) جـ = ٤٤
• ب) جـ = ١٢١
• ج) جـ = ٤٨٤
• د) جـ = ١١

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: جـ = ١٢١

الشرح: ١. المعامل ب هو -٢٢. ٢. نطبق القانون: جـ = (ب/٢)^٢ = (-٢٢/٢)^٢. ٣. جـ = (-١١)^٢ = ١٢١.

تلميح: تذكر أن جـ في ثلاثية الحدود س^٢ + ب س + جـ يكون مربعاً كاملاً إذا كانت جـ = (ب/٢)^٢.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد قيمة جـ التي تجعل ثلاثية الحدود: س^٢ - ١٥ س + جـ مربعًا كاملاً.

• أ) جـ = ١٥
• ب) جـ = ٥٦,٢٥
• ج) جـ = ٣٠
• د) جـ = ٢٢٥

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: جـ = ٥٦,٢٥

الشرح: ١. المعامل ب هو -١٥. ٢. نطبق القانون: جـ = (ب/٢)^٢ = (-١٥/٢)^٢. ٣. جـ = (-٧,٥)^٢ = ٥٦,٢٥.

تلميح: تذكر أن جـ في ثلاثية الحدود س^٢ + ب س + جـ يكون مربعاً كاملاً إذا كانت جـ = (ب/٢)^٢.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

حُلَّ المعادلة س^٢ + ٦ س - ١٦ = ٠ بإكمال المربع، مقربًا الحل إلى أقرب جزء من عشرة إذا كان ذلك ضروريًّا.

• أ) س = ٨، س = -٢
• ب) س = ٥، س = -٥
• ج) س = ٢، س = -٨
• د) س = ٢، س = ٨

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: س = ٢، س = -٨

الشرح: ١. انقل الثابت للطرف الأيمن: س^٢ + ٦ س = ١٦. ٢. أضف مربع نصف معامل س ((٦/٢)^٢ = ٩) للطرفين: س^٢ + ٦ س + ٩ = ١٦ + ٩ => (س + ٣)^٢ = ٢٥. ٣. خذ الجذر التربيعي للطرفين: س + ٣ = ±٥. ٤. أوجد قيم س: س = -٣ + ٥ = ٢ أو س = -٣ - ٥ = -٨.

تلميح: تذكر خطوات إكمال المربع: نقل الثابت، إضافة مربع نصف معامل س للطرفين، التحليل لجذر مربع كامل، أخذ الجذر التربيعي.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حُلَّ المعادلة س^٢ - ٢ س - ١٤ = ٠ بإكمال المربع، مقربًا الحل إلى أقرب جزء من عشرة إذا كان ذلك ضروريًّا.

• أ) س ≈ ٤.٩، س ≈ -٢.٩
• ب) س ≈ ٥.٩، س ≈ -٣.٩
• ج) س ≈ ٣.٩، س ≈ -٤.٩
• د) س ≈ ٤.٠، س ≈ -٣.٠

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: س ≈ ٤.٩، س ≈ -٢.٩

الشرح: ١. انقل الثابت للطرف الأيمن: س^٢ - ٢ س = ١٤. ٢. أضف مربع نصف معامل س ((-٢/٢)^٢ = ١) للطرفين: س^٢ - ٢ س + ١ = ١٤ + ١ => (س - ١)^٢ = ١٥. ٣. خذ الجذر التربيعي للطرفين: س - ١ = ±√١٥. ٤. س = ١ ± √١٥. بتقريب √١٥ ≈ ٣.٨٧، نحصل على س ≈ ١ + ٣.٨٧ ≈ ٤.٨٧ (٤.٩) أو س ≈ ١ - ٣.٨٧ ≈ -٢.٨٧ (-٢.٩).

تلميح: عند إكمال المربع، تذكر أن نصف معامل س هو (ب/٢) ومربعه (ب/٢)^٢. استخدم التقريب لأقرب جزء من عشرة في النهاية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حُلَّ المعادلة س^٢ - ٨ س - ١ = ٨ بإكمال المربع، مقربًا الحل إلى أقرب جزء من عشرة إذا كان ذلك ضروريًّا.

• أ) س = ٩، س = ١
• ب) س = ٨، س = -٢
• ج) س = ٩، س = -١
• د) س = -٩، س = ١

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: س = ٩، س = -١

الشرح: ١. انقل جميع الثوابت للطرف الأيمن: س^٢ - ٨ س = ٨ + ١ => س^٢ - ٨ س = ٩. ٢. أضف مربع نصف معامل س ((-٨/٢)^٢ = ١٦) للطرفين: س^٢ - ٨ س + ١٦ = ٩ + ١٦ => (س - ٤)^٢ = ٢٥. ٣. خذ الجذر التربيعي للطرفين: س - ٤ = ±٥. ٤. أوجد قيم س: س = ٤ + ٥ = ٩ أو س = ٤ - ٥ = -١.

تلميح: تذكر تجميع جميع الحدود الثابتة في طرف واحد قبل البدء في خطوات إكمال المربع.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حُلَّ المعادلة س^٢ + ٣ س + ٢١ = ٢٢ بإكمال المربع، مقربًا الحل إلى أقرب جزء من عشرة إذا كان ذلك ضروريًّا.

• أ) س ≈ ٠.٣، س ≈ ٣.٣
• ب) س ≈ ١.٣، س ≈ -٤.٣
• ج) س ≈ ٠.٣، س ≈ -٣.٣
• د) س ≈ ٠.٥، س ≈ -٣.٥

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: س ≈ ٠.٣، س ≈ -٣.٣

الشرح: ١. انقل الثوابت للطرف الأيمن: س^٢ + ٣ س = ٢٢ - ٢١ => س^٢ + ٣ س = ١. ٢. أضف مربع نصف معامل س ((٣/٢)^٢ = ٩/٤) للطرفين: س^٢ + ٣ س + ٩/٤ = ١ + ٩/٤ => (س + ٣/٢)^٢ = ١٣/٤. ٣. خذ الجذر التربيعي: س + ٣/٢ = ±√(١٣/٤) => س + ١.٥ = ±(√١٣)/٢. ٤. س = -١.٥ ± (√١٣)/٢. بتقريب √١٣ ≈ ٣.٦٠٥، نحصل على س ≈ -١.٥ ± ١.٨٠٣. س ≈ ٠.٣ أو س ≈ -٣.٣.

تلميح: عند التعامل مع معاملات كسرية أو جذور غير كاملة، استخدم التقريب في الخطوة الأخيرة فقط بعد إيجاد قيمة الجذر.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

حُلَّ المعادلة س^٢ - ٢ س + ٧ = ٥ بإكمال المربع، مقربًا الحل إلى أقرب جزء من عشرة إذا كان ذلك ضروريًّا.

• أ) س = ١، س = -١
• ب) س = ٠
• ج) س = ٠.٥، س = -٠.٥
• د) لا يوجد حلول حقيقية.

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: لا يوجد حلول حقيقية.

الشرح: ١. انقل الثوابت للطرف الأيمن: س^٢ - ٢ س = ٥ - ٧ => س^٢ - ٢ س = -٢. ٢. أضف مربع نصف معامل س ((-٢/٢)^٢ = ١) للطرفين: س^٢ - ٢ س + ١ = -٢ + ١ => (س - ١)^٢ = -١. ٣. بما أن مربع أي عدد حقيقي لا يمكن أن يكون سالباً، فإن المعادلة ليس لها حلول حقيقية.

تلميح: انتبه إلى قيمة الطرف الأيمن بعد إكمال المربع. هل يمكن أن يكون مربع عدد حقيقي سالباً؟

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حُلَّ المعادلة ٣ س^٢ + ١٢ س + ٨١ = ١٥ بإكمال المربع، مقربًا الحل إلى أقرب جزء من عشرة إذا كان ذلك ضروريًّا.

• أ) س = -٢ ± جذر(١٨)
• ب) س = ٢ ± جذر(١٨)
• ج) لا يوجد حلول حقيقية
• د) س = -٤ ± جذر(٢٢)

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: لا يوجد حلول حقيقية.

الشرح: ١. قسّم المعادلة على ٣: س^٢ + ٤ س + ٢٧ = ٥. ٢. انقل الثوابت: س^٢ + ٤ س = ٥ - ٢٧ ← س^٢ + ٤ س = -٢٢. ٣. لإكمال المربع، أضف (٤/٢)^٢ = ٤ للطرفين: س^٢ + ٤ س + ٤ = -٢٢ + ٤. ٤. بسّط: (س + ٢)^٢ = -١٨. ٥. بما أن مربع أي عدد حقيقي لا يمكن أن يكون سالبًا، فلا توجد حلول حقيقية لهذه المعادلة.

تلميح: تذكر أن الخطوة الأولى لإكمال المربع عندما يكون معامل س^٢ ليس 1 هي قسمة جميع الحدود على هذا المعامل. انتبه لقيمة الطرف الأيمن بعد إكمال المربع.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ثقافة مالية: يمكن تمثيل سعر سهم معين (س) بالمعادلة التربيعية س = ٠,٥ ن^٢ - ٠,٥ ن + ٥٠، حيث (ن) عدد الأيام بعد شراء الأسهم. فمتى يصبح سعر السهم ٦٠ ريالاً؟

• أ) بعد ١٠ أيام
• ب) بعد ٥ أيام
• ج) بعد ٤ أيام
• د) بعد ٢٠ يومًا

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: بعد ٥ أيام.

الشرح: ١. عوّض س = ٦٠ في المعادلة: ٦٠ = ٠,٥ ن^٢ - ٠,٥ ن + ٥٠. ٢. اطرح ٦٠ من الطرفين: ٠ = ٠,٥ ن^٢ - ٠,٥ ن - ١٠. ٣. اضرب المعادلة في ٢ لتبسيطها: ٠ = ن^٢ - ن - ٢٠. ٤. حلل المعادلة التربيعية: (ن - ٥)(ن + ٤) = ٠. ٥. الحلول هي ن = ٥ أو ن = -٤. بما أن عدد الأيام يجب أن يكون موجبًا، فالإجابة هي ٥ أيام.

تلميح: تذكر أن تحوّل المعادلة إلى الصورة القياسية أ ن^٢ + ب ن + جـ = ٠ قبل الحل. يجب أن يكون عدد الأيام قيمة موجبة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

نظرية الأعداد: عددان صحيحان زوجيان متتاليان ناتج ضربهما ٢٢٤، فما هما؟

• أ) ١٢ و ١٤
• ب) ١٤ و ١٦
• ج) ١٣ و ١٥
• د) -١٦ و -١٤

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ١٤ و ١٦

الشرح: ١. افرض العدد الزوجي الأول س، والعدد الزوجي المتتالي هو س + ٢. ٢. ناتج ضربهما هو س(س + ٢) = ٢٢٤. ٣. بسّط المعادلة: س^٢ + ٢س - ٢٢٤ = ٠. ٤. حلل المعادلة التربيعية: (س + ١٦)(س - ١٤) = ٠. ٥. الحلول الممكنة لـ س هي ١٤ أو -١٦. إذا كانت س = ١٤، فالعددان هما ١٤ و ١٦. (الحل الموجب هو الأكثر شيوعًا في مثل هذه المسائل).

تلميح: لتمثيل عددين زوجيين متتاليين، استخدم س و (س + ٢). ثم كوّن معادلة تربيعية وحلّها.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد قيمة جـ التي تجعل ثلاثية الحدود: س^٢ + جـ س + ٢٢٥ مربعًا كاملاً.

• أ) جـ = ١٥
• ب) جـ = ٣٠
• ج) جـ = ٢٥
• د) جـ = ± ٣٠

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: جـ = ± ٣٠

الشرح: ١. لتجعل ثلاثية الحدود س^٢ + جـ س + ٢٢٥ مربعًا كاملاً، يجب أن يكون (معامل س / ٢)^٢ يساوي الحد الثابت ٢٢٥. ٢. (جـ/٢)^٢ = ٢٢٥. ٣. خذ الجذر التربيعي للطرفين: جـ/٢ = ± جذر(٢٢٥). ٤. جـ/٢ = ± ١٥. ٥. اضرب الطرفين في ٢: جـ = ± ٣٠.

تلميح: تذكر أن الحد الثابت في ثلاثية الحدود المربعة الكاملة (س + أ)^٢ هو أ^٢، والحد الأوسط هو ٢أ س.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

علم الفلك: يُعبَّر عن ارتفاع جسم بعد ثانية من سقوطه بالمعادلة ل = -١/٢ جـ ن^٢ + ل.، حيث (ل.) الارتفاع الابتدائي، (جـ) التسارع الناتج عن الجاذبية، فإذا كان تسارع الجاذبية على سطح كوكب المريخ ٣,٣٧ م/ث^٢، وعلى سطح الأرض ٩,٨ م/ث^٢، وسقط الجسم من ارتفاع ابتدائي مقداره ١٢٠ مترًا فوق سطح كل من الكوكبين، فأجب عن السؤالين الآتيين: أ. أي الكوكبين يصل الجسم إلى سطحه أولاً؟ ب. كم يستغرق الجسم للوصول إلى سطح كل من الكوكبين مقربًا الإجابة إلى أقرب جزء من عشرة؟

• أ) أ) الأرض، ب) الأرض ٤.٩ ثوانٍ، المريخ ٨.٤ ثوانٍ
• ب) أ) المريخ، ب) الأرض ٤.٩ ثوانٍ، المريخ ٨.٠ ثوانٍ
• ج) أ) الأرض، ب) الأرض ٤.٧ ثوانٍ، المريخ ٨.٢ ثوانٍ
• د) أ) المريخ، ب) الأرض ٥.٢ ثوانٍ، المريخ ٧.٥ ثوانٍ

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: أ) الأرض، ب) الأرض ٤.٩ ثوانٍ، المريخ ٨.٤ ثوانٍ

الشرح: ١. عند وصول الجسم إلى السطح (ل = ٠)، تصبح المعادلة: ٠ = -١/٢ جـ ن^٢ + ١٢٠. ٢. rearranges to: ١/٢ جـ ن^٢ = ١٢٠، ومنها جـ ن^٢ = ٢٤٠، وبالتالي ن = √(٢٤٠/جـ). ٣. لـ 'الأرض': ن = √(٢٤٠/٩.٨) ≈ ٤.٩٤٨٧ ثوانٍ. بتقريبها إلى أقرب جزء من عشرة تصبح ٤.٩ ثوانٍ. ٤. لـ 'المريخ': ن = √(٢٤٠/٣.٣٧) ≈ ٨.٤٣٨٩ ثوانٍ. بتقريبها إلى أقرب جزء من عشرة تصبح ٨.٤ ثوانٍ. ٥. بما أن ٤.٩ ثوانٍ (الأرض) < ٨.٤ ثوانٍ (المريخ)، فالجسم يصل إلى سطح الأرض أولاً.

تلميح: تذكر أن الجسم يصل إلى السطح عندما يكون الارتفاع (ل) يساوي صفرًا، واستخدم المعادلة لحساب الزمن (ن) لكل كوكب.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط