لماذا؟ - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 حل المعادلات التربيعية باستعمال القانون العام

المفاهيم الأساسية

القانون العام: صيغة نستعملها لحل أية معادلة تربيعية مكتوبة بالصيغة القياسية، وهي ناتجة عن إكمال المربع للمعادلة: أس^2 + ب س + ج = 0

المميز: يُستعمل لتحديد عدد حلول المعادلة التربيعية (يُذكر كهدف للدرس، لكن التعريف غير موجود في الصفحة).

خريطة المفاهيم

```markmap

حل المعادلات التربيعية باستعمال القانون العام

القانون العام

الصيغة

س = \frac{-ب \pm \sqrt{ب^2 - 4أج}}{2أ}

الغرض منه

• حل أية معادلة تربيعية بالصيغة القياسية
• بديل عن التحليل أو إكمال المربع عندما يكونان صعبين

خطوات الحل

١. كتابة المعادلة بالصيغة القياسية

أس^2 + ب س + ج = 0

٢. تطبيق القانون العام

• تحديد المعاملات (أ، ب، ج)
• التعويض في الصيغة
• إيجاد الحلين

تطبيق عملي

• مثال: حل 3س^2 + 5س = 12
• تمثيل ضغط الدم الانقباضي: ص = 0.01 س^2 + 0.05 س + 107

```

نقاط مهمة

• القانون العام هو نتيجة لإكمال المربع للمعادلة التربيعية العامة.
• يجب كتابة المعادلة أولاً بالصيغة القياسية (أس^2 + ب س + ج = 0) قبل تطبيق القانون.
• أحد أهداف الدرس هو استعمال المميز لتحديد عدد حلول المعادلة.
• القانون العام مفيد لحل معادلات يصعب حلها بالتحليل أو التمثيل البياني أو إكمال المربع، مثل معادلة ضغط الدم المذكورة.

---

حل مثال

مثال ١: استعمال القانون العام

حل المعادلة: 3س^2 + 5س = 12 باستعمال القانون العام.

الحل:

كتابة المعادلة بالصيغة القياسية:

3س^2 + 5س - 12 = 0

(بطرح 12 من الطرفين)

تطبيق القانون العام: س = \frac{-ب \pm \sqrt{ب^2 - 4أج}}{2أ}

حيث: أ = 3، ب = 5، ج = -12

التعويض والحساب:

س = \frac{-(5) \pm \sqrt{(5)^2 - 4(3)(-12)}}{2(3)}

س = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 144}}{6}

س = \frac{-5 \pm \sqrt{169}}{6} = \frac{-5 \pm 13}{6}

إيجاد الحلين:

س = \frac{-5 + 13}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}

أو

س = \frac{-5 - 13}{6} = \frac{-18}{6} = -3

الحلان النهائيان هما: -3 و \frac{4}{3}.

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

٨-٤ حل المعادلات التربيعية باستعمال القانون العام

لماذا؟ يمكن تمثيل ضغط الدم الانقباضي الطبيعي (ص) بالمللتر زئبق للأنثى البالغة بالدالة: ص = 0.01 س2 + 0.05 س + 107، حيث (س) العمر بالسنوات، وتستعمل هذه الدالة لتقدير عمر الأنثى إذا عُلم ضغط الدم الانقباضي لها، إلا أنه من الصعب حل المعادلة المرافقة لها بالتحليل إلى العوامل أو التمثيل البياني، أو إكمال المربع. القانون العام: ينتج عن إكمال المربع للمعادلة التربيعية أس2 + ب س + جـ = 0، صيغة نستعملها لحل أية معادلة تربيعية مكتوبة بالصيغة القياسية، وتُسمى هذه الصيغة القانون العام.

درست حل معادلات تربيعية بإكمال المربع.

أحل معادلات تربيعية باستعمال القانون العام. أستعمل المميز لتحديد عدد حلول معادلة تربيعية.

القانون العام المميز

حلّ المعادلة التربيعية: أس2 + ب س + جـ = 0، حيث أ ≠ 0 يُعبّر عنه بالقانون العام: س = (-ب ± √(ب2 - 4أجـ)) / 2أ

سيطلب إليك اشتقاق هذا القانون لاحقاً (في الدرس 9-1)

حل المعادلة: 3 س2 + 5 س = 12 باستعمال القانون العام. الخطوة ١: أعد كتابة المعادلة بالصورة القياسية. 3 س2 + 5 س = 12 (المعادلة الأصلية) 3 س2 + 5 س - 12 = 0 (اطرح 12 من كلا الطرفين) الخطوة ٢: طبّق القانون العام. س = (-ب ± √(ب2 - 4أجـ)) / 2أ (القانون العام) = (-(5) ± √((5)2 - 4(3)(-12))) / (2(3)) (أ = 3، ب = 5، جـ = -12) = (-5 ± √(25 + 144)) / 6 (اضرب) = (-5 ± √169) / 6 = (-5 ± 13) / 6 (اجمع ثم أوجد الجذر التربيعي) س = (-5 + 13) / 6 أو س = (-5 - 13) / 6 (افصل الحلين) س = 8 / 6 = 4 / 3 أو س = -3 (بسط) الحلان هما -3 و 4/3.

130 الفصل 8: الدوال التربيعية وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa ٨-٤ حل المعادلات التربيعية باستعمال القانون العام --- SECTION: لماذا؟ --- لماذا؟ يمكن تمثيل ضغط الدم الانقباضي الطبيعي (ص) بالمللتر زئبق للأنثى البالغة بالدالة: ص = 0.01 س2 + 0.05 س + 107، حيث (س) العمر بالسنوات، وتستعمل هذه الدالة لتقدير عمر الأنثى إذا عُلم ضغط الدم الانقباضي لها، إلا أنه من الصعب حل المعادلة المرافقة لها بالتحليل إلى العوامل أو التمثيل البياني، أو إكمال المربع. القانون العام: ينتج عن إكمال المربع للمعادلة التربيعية أس2 + ب س + جـ = 0، صيغة نستعملها لحل أية معادلة تربيعية مكتوبة بالصيغة القياسية، وتُسمى هذه الصيغة القانون العام. --- SECTION: فيما سبق --- درست حل معادلات تربيعية بإكمال المربع. --- SECTION: والآن --- أحل معادلات تربيعية باستعمال القانون العام. أستعمل المميز لتحديد عدد حلول معادلة تربيعية. --- SECTION: المفردات --- القانون العام المميز --- SECTION: مفهوم أساسي: القانون العام --- حلّ المعادلة التربيعية: أس2 + ب س + جـ = 0، حيث أ ≠ 0 يُعبّر عنه بالقانون العام: س = (-ب ± √(ب2 - 4أجـ)) / 2أ سيطلب إليك اشتقاق هذا القانون لاحقاً (في الدرس 9-1) --- SECTION: مثال ١: استعمال القانون العام --- حل المعادلة: 3 س2 + 5 س = 12 باستعمال القانون العام. الخطوة ١: أعد كتابة المعادلة بالصورة القياسية. 3 س2 + 5 س = 12 (المعادلة الأصلية) 3 س2 + 5 س - 12 = 0 (اطرح 12 من كلا الطرفين) الخطوة ٢: طبّق القانون العام. س = (-ب ± √(ب2 - 4أجـ)) / 2أ (القانون العام) = (-(5) ± √((5)2 - 4(3)(-12))) / (2(3)) (أ = 3، ب = 5، جـ = -12) = (-5 ± √(25 + 144)) / 6 (اضرب) = (-5 ± √169) / 6 = (-5 ± 13) / 6 (اجمع ثم أوجد الجذر التربيعي) س = (-5 + 13) / 6 أو س = (-5 - 13) / 6 (افصل الحلين) س = 8 / 6 = 4 / 3 أو س = -3 (بسط) الحلان هما -3 و 4/3. 130 الفصل 8: الدوال التربيعية وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: Untitled Description: صورة فوتوغرافية توضح ذراع شخص يرتدي سوار جهاز قياس ضغط الدم الزئبقي، مع وجود سماعة طبية وجهاز القياس في الخلفية. ترتبط الصورة بفقرة 'لماذا؟' التي تتحدث عن نمذجة ضغط الدم بدالة تربيعية. Context: تطبيق واقعي للدوال التربيعية في مجال الطب والعلوم الصحية. **QR_CODE**: Untitled Description: رمز استجابة سريعة (QR Code) يؤدي إلى المصادر الرقمية للدرس على بوابة عين التعليمية. Context: توفير وصول سريع للمحتوى الرقمي التفاعلي. **FORMULA**: القانون العام Description: صندوق أزرق يحتوي على الصيغة الرياضية للقانون العام لحل المعادلات التربيعية: س = (-ب ± √(ب2 - 4أجـ)) / 2أ، مع توضيح الصيغة القياسية أس2 + ب س + جـ = 0. Context: التعريف بالقاعدة الرياضية الأساسية للدرس. **IMAGE**: Untitled Description: شعار وزارة التعليم في المملكة العربية السعودية مع كتابة 'وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447'. Context: هوية الجهة المصدرة للكتاب المدرسي.