تنبيه! - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال أ: حل المعادلة س٢ - ٤س - ١١ = ٠

الإجابة: س = ٢ ± ٥√٣

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحديد المعطيات والمطلوب** | الوصف | القيمة | |--------|--------| | المعادلة التربيعية | $س^2 - 4س - 11 = 0$ | | المطلوب | إيجاد قيم $س$ التي تحقق المعادلة (حل المعادلة) |
2. **الخطوة 2: تحديد طريقة الحل** المعادلة على الصورة القياسية $أس^2 + ب س + ج = 0$، حيث: - $أ = 1$ - $ب = -4$ - $ج = -11$ > يمكن استخدام **الصيغة التربيعية** أو **إكمال المربع**. سنستخدم طريقة إكمال المربع لأن الإجابة النهائية مُعطاة في صورة مماثلة.
3. **الخطوة 3: إكمال المربع** 1. ننقل الحد الثابت $ج$ إلى الطرف الآخر: $$س^2 - 4س = 11$$ 2. نأخذ معامل $س$ (وهو $ب = -4$)، ونحسب نصفه ثم نربعه: $$(\frac{ب}{2})^2 = (\frac{-4}{2})^2 = (-2)^2 = 4$$ 3. نضيف هذا العدد $(4)$ إلى طرفي المعادلة: $$س^2 - 4س + 4 = 11 + 4$$ $$س^2 - 4س + 4 = 15$$
4. **الخطوة 4: تحليل الطرف الأيسر كمربع كامل** الطرف الأيسر هو عبارة عن مربع كامل: $$(س - 2)^2 = 15$$
5. **الخطوة 5: أخذ الجذر التربيعي للطرفين** بأخذ الجذر التربيعي للطرفين، علينا أن نتذكر إشارة $±$: $$س - 2 = ±\sqrt{15}$$
6. **الخطوة 6: فصل المتغير $س$ لإيجاد الحلين** ننقل العدد $2$ إلى الطرف الآخر: $$س = 2 ± \sqrt{15}$$
7. **الخطوة 7: كتابة الإجابة النهائية** حلّا المعادلة التربيعية $س^2 - 4س - 11 = 0$ هما: $$س = 2 + \sqrt{15} \quad \text{،} \quad س = 2 - \sqrt{15}$$

سؤال ب: حل المعادلة س٢ + ٨س = ١٧

الإجابة: س = - ٤ ± ٦٥√

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحديد المعطيات والمطلوب** | الوصف | القيمة | |--------|--------| | المعادلة التربيعية | $س^2 + 8س = 17$ | | المطلوب | إيجاد قيم $س$ التي تحقق المعادلة (حل المعادلة) |
2. **الخطوة 2: إعادة ترتيب المعادلة إلى الصورة القياسية** ننقل الثابت $17$ إلى الطرف الأيسر: $$س^2 + 8س - 17 = 0$$ > هذه المعادلة على الصورة $أس^2 + ب س + ج = 0$، حيث: > - $أ = 1$ > - $ب = 8$ > - $ج = -17$ سنستخدم طريقة **إكمال المربع** للحل.
3. **الخطوة 3: إكمال المربع** 1. ننقل الحد الثابت $ج$ إلى الطرف الآخر (في هذه الحالة، هو بالفعل في الطرف الأيمن في المعادلة الأصلية): $$س^2 + 8س = 17$$ 2. نأخذ معامل $س$ (وهو $ب = 8$)، ونحسب نصفه ثم نربعه: $$(\frac{ب}{2})^2 = (\frac{8}{2})^2 = (4)^2 = 16$$ 3. نضيف هذا العدد $(16)$ إلى طرفي المعادلة: $$س^2 + 8س + 16 = 17 + 16$$ $$س^2 + 8س + 16 = 33$$
4. **الخطوة 4: تحليل الطرف الأيسر كمربع كامل** الطرف الأيسر هو عبارة عن مربع كامل: $$(س + 4)^2 = 33$$
5. **الخطوة 5: أخذ الجذر التربيعي للطرفين** بأخذ الجذر التربيعي للطرفين، مع وضع إشارة $±$: $$س + 4 = ±\sqrt{33}$$
6. **الخطوة 6: فصل المتغير $س$ لإيجاد الحلين** ننقل العدد $4$ إلى الطرف الآخر: $$س = -4 ± \sqrt{33}$$
7. **الخطوة 7: كتابة الإجابة النهائية** حلّا المعادلة التربيعية $س^2 + 8س = 17$ هما: $$س = -4 + \sqrt{33} \quad \text{،} \quad س = -4 - \sqrt{33}$$

ما هي الخطوة الأولى عند استخدام طريقة إكمال المربع لحل معادلة تربيعية حيث معامل $س^2$ يساوي ١؟

• أ) نقسم جميع الحدود على معامل $س^2$.
• ب) نحسب نصف معامل $س$ ثم نربعه.
• ج) نوجد الجذر التربيعي لكلا الطرفين.
• د) ننقل الحد الثابت إلى الطرف الآخر.

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: ننقل الحد الثابت إلى الطرف الآخر.

الشرح: الخطوة الأولى في إكمال المربع هي عزل الحدين اللذين يحتويان $س^2$ و $س$ في طرف، ونقل الحد الثابت (ج) إلى الطرف الآخر من المعادلة.

تلميح: تذكر الهدف من عزل حدود المتغيرات عن الثوابت.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

عند حل المعادلة $س^2 - 4س = 12$ بطريقة إكمال المربع، ما العدد الذي يجب إضافته إلى طرفي المعادلة لإكمال المربع؟

• أ) ٨
• ب) ١٦
• ج) ٢
• د) ٤

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: ٤

الشرح: لحساب العدد الذي يكمل المربع، نأخذ نصف معامل $س$ ونربعه. معامل $س$ هنا هو -4. إذن، $(\frac{-4}{2})^2 = (-2)^2 = 4$.

تلميح: ركز على معامل الحد الخطي (س) وطريقة حسابه.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما هي الصيغة العامة (القانون العام) لحل أي معادلة تربيعية على الصورة $أس^2 + ب س + ج = ٠$؟

• أ) $س = \frac{ب \pm \sqrt{ب^2 - 4أج}}{2أ}$
• ب) $س = \frac{-ب \pm \sqrt{ب^2 + 4أج}}{2أ}$
• ج) $س = \frac{-ب \pm \sqrt{ب^2 - 4أج}}{أ}$
• د) $س = \frac{-ب \pm \sqrt{ب^2 - 4أج}}{2أ}$

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: $س = \frac{-ب \pm \sqrt{ب^2 - 4أج}}{2أ}$

الشرح: القانون العام هو أداة أساسية لحل المعادلات التربيعية، ويعتمد على قيم المعاملات $أ$, $ب$, و $ج$ للمعادلة بالصورة القياسية.

تلميح: تذكر العلاقة بين معاملات المعادلة التربيعية وحلولها.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

لماذا تُدرس طرق حل مختلفة (كالتحليل، إكمال المربع، القانون العام) لحل المعادلات التربيعية، إذا كانت جميعها تعطي نفس الحل؟

• أ) كل طريقة تنتج حلولًا مختلفة جزئيًا للمعادلة.
• ب) إحدى هذه الطرق فقط هي الصحيحة دائمًا في جميع الحالات.
• ج) طرق الحل المتعددة تساعد على فهم أن هناك دائماً حل واحد فقط للمعادلة.
• د) لتوفير خيارات متعددة قد تكون أسهل أو ضرورية في سياقات معينة، وجميعها تؤدي إلى نفس الحلول.

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: لتوفير خيارات متعددة قد تكون أسهل أو ضرورية في سياقات معينة، وجميعها تؤدي إلى نفس الحلول.

الشرح: الهدف من دراسة طرق متعددة هو تزويد الطالب بأدوات متنوعة تمكنه من اختيار الأنسب لحل معادلة معينة، أو للتأكد من الحلول، مع التأكيد على أن جميع الطرق الصحيحة ستؤدي لنفس النتائج.

تلميح: فكر في المرونة والفعالية في حل المسائل الرياضية.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط