ملخص المفهوم: حل المعادلات التربيعية - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 9 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

الدرس: ملخص المفهوم: حل المعادلات التربيعية

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 9 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 حل المعادلات التربيعية باستعمال القانون العام

المفاهيم الأساسية

المميز: في القانون العام، تسمى العبارة التي تحت الجذر (ب² - ٤ أجـ) المميز، ويُستعمل لتحديد عدد الحلول الحقيقية للمعادلة التربيعية.

خريطة المفاهيم

```markmap

حل المعادلات التربيعية

الطريقة ٢: التحليل إلى عوامل

خطوات الحل

  • كتابة المعادلة بالصيغة القياسية: أس^2 + ب س + ج = 0
  • تحليل الطرف الأيسر إلى عوامل
  • تطبيق خاصية الضرب الصفري
  • إيجاد قيم س

مثال

س^2 – ٤ س = ١٢

س^2 – ٤ س – ١٢ = ٠

(س – ٦)(س + ٢) = ٠

س = ٦ أو س = –٢

الطريقة ٣: إكمال المربع

شروط الاستخدام

  • المعامل الرئيسي يساوي ١
  • الحدان الثابتان مفصولان

خطوات الحل

  • إعادة ترتيب المعادلة
  • إضافة (\frac{ب}{٢})^٢ إلى كلا الطرفين
  • تحليل الطرف الأيسر كمربع كامل
  • أخذ الجذر التربيعي للطرفين
  • حل المعادلتين الناتجتين

مثال

س^2 – ٤ س = ١٢

س^2 – ٤ س + ٤ = ١٦

(س – ٢)^٢ = ١٦

س – ٢ = ± ٤

س = ٦ أو س = –٢

الطريقة ٤: القانون العام

الصيغة

س = \frac{-ب ± \sqrt{ب^2 - ٤أج}}{٢أ}

خطوات التطبيق

  • كتابة المعادلة بالصيغة القياسية
  • تحديد المعاملات (أ، ب، ج)
  • التعويض في القانون العام
  • تبسيط الناتج

مثال

س^2 – ٤ س – ١٢ = ٠

أ = ١، ب = –٤، ج = –١٢

س = \frac{٤ ± \sqrt{١٦ + ٤٨}}{٢} = \frac{٤ ± ٨}{٢}

س = ٦ أو س = –٢

الطريقة ٥: استعمال المميز

تعريف المميز

المميز = ب² - ٤ أجـ

العلاقة بين المميز وعدد الحلول

  • مميز موجب: للمعادلة حلان حقيقيان مختلفان
  • مميز صفر: للمعادلة حل حقيقي واحد (مكرر)
  • مميز سالب: لا توجد حلول حقيقية للمعادلة

ملاحظة مهمة

  • جميع الطرق تعطي الحل نفسه
  • لا توجد طريقة أفضل بشكل مطلق
  • الاختيار يعتمد على طبيعة المعادلة

```

نقاط مهمة

  • التحليل إلى عوامل: يُفضل استعمالها إذا كان الحد الثابت صغيرًا، أو إذا كان من السهل تحديد العوامل (ليست جميع المعادلات قابلة للتحليل).
  • التمثيل البياني: يُستعمل عندما يكون الحل التقريبي مقبولاً.
  • خاصية الجذر التربيعي: تُستعمل إذا كانت المعادلة مكتوبة على الصورة س² = ن أو (س-هـ)² = ن.
  • إكمال المربع: يمكن استعمالها لأية معادلة على الصورة أس² + ب س + جـ = ٠، إلا أنه من الأسهل استعمالها إذا كان ب عددًا زوجيًا و أ = ١.
  • القانون العام: يمكن استعمالها لأية معادلة على الصورة أس² + ب س + جـ = ٠.

---

حل مثال

مثال ٤: أوجد قيمة المميز للمعادلة: ٤ س² - ٢ س = ٥، ثم حدد عدد حلولها الحقيقية.

الحل:

  • إعادة كتابة المعادلة بالصورة القياسية:

    • ٤ س² - ٢ س - ٥ = ٠

  • تحديد المعاملات: أ = ٤، ب = -٢، جـ = -٥.
  • حساب المميز:

    • ب² - ٤ أجـ = ( -٢ )² - ٤ ( ٤ ) ( -٥ )

    = ٤ - ( -٨٠ )

    = ٤ + ٨٠ = ٨٤

  • تحديد عدد الحلول: بما أن المميز موجب (٨٤ > ٠)، فإن للمعادلة حلان حقيقيان مختلفان.

    • ---

    تحقق من فهمك

    السؤال: أوجد قيمة المميز للمعادلة: ٤ س² + ١١ س + ٥ = ٠، ثم حدد عدد حلولها الحقيقية.

    الحل:

  • المعادلة مكتوبة بالفعل بالصورة القياسية.
  • تحديد المعاملات: أ = ٤، ب = ١١، جـ = ٥.
  • حساب المميز:

    • ب² - ٤ أجـ = (١١)² - ٤ ( ٤ ) ( ٥ )

    = ١٢١ - ٨٠ = ٤١

  • تحديد عدد الحلول: بما أن المميز موجب (٤١ > ٠)، فإن للمعادلة حلان حقيقيان مختلفان.

    • 📋 المحتوى المنظم

    📖 محتوى تعليمي مفصّل

    نوع: محتوى تعليمي

    ويمكنك تلخيص طرق حل المعادلات التربيعية في ملخص المفهوم الآتي:

    ملخص المفهوم: حل المعادلات التربيعية

    نوع: محتوى تعليمي

    جدول يلخص طرق حل المعادلات التربيعية ومتى يفضل استعمال كل طريقة.

    نوع: محتوى تعليمي

    المميز: في القانون العام، تُسمى العبارة التي تحت الجذر (ب² - ٤ أ جـ) المميز، ويمكنك استعماله لتحديد عدد الحلول الحقيقية للمعادلة التربيعية.

    مفهوم أساسي: استعمال المميز

    نوع: محتوى تعليمي

    جدول يوضح العلاقة بين قيمة المميز (سالب، صفر، موجب) والتمثيل البياني للدالة المرتبطة وعدد الحلول الحقيقية.

    إرشادات للدراسة: المميز

    نوع: محتوى تعليمي

    تذكر أنه إذا كان الطرف الأيمن في الصورة القياسية لثلاثي حدود من الدرجة الثانية مربعًا كاملاً فهناك حل واحد، ويكون المميز صفرًا.

    مثال ٤

    نوع: محتوى تعليمي

    استعمال المميز أوجد قيمة المميز للمعادلة: ٤ س² - ٥ س = -٣، ثم حدد عدد حلولها الحقيقية. الخطوة ١: أعد كتابة المعادلة بالصورة القياسية: ٤ س² - ٥ س = -٣ -> ٤ س² - ٥ س + ٣ = ٠ الخطوة ٢: أوجد المميز. ب² - ٤ أ جـ = (-٥)² - ٤(٤)(٣) = ٢٥ - ٤٨ = -٢٣ بما أن المميز سالب فالمعادلة ليس لها حلول حقيقية.

    تحقق من فهمك

    نوع: QUESTION_HOMEWORK

    تحقق من فهمك

    🔍 عناصر مرئية

    The parabola does not intersect the x-axis, indicating no real solutions when the discriminant is negative (-16).

    The parabola touches the x-axis at one point, indicating one real solution when the discriminant is zero.

    The parabola intersects the x-axis at two distinct points, indicating two real solutions when the discriminant is positive (33).

    📄 النص الكامل للصفحة

    ويمكنك تلخيص طرق حل المعادلات التربيعية في ملخص المفهوم الآتي: --- SECTION: ملخص المفهوم: حل المعادلات التربيعية --- جدول يلخص طرق حل المعادلات التربيعية ومتى يفضل استعمال كل طريقة. المميز: في القانون العام، تُسمى العبارة التي تحت الجذر (ب² - ٤ أ جـ) المميز، ويمكنك استعماله لتحديد عدد الحلول الحقيقية للمعادلة التربيعية. --- SECTION: مفهوم أساسي: استعمال المميز --- جدول يوضح العلاقة بين قيمة المميز (سالب، صفر، موجب) والتمثيل البياني للدالة المرتبطة وعدد الحلول الحقيقية. --- SECTION: إرشادات للدراسة: المميز --- تذكر أنه إذا كان الطرف الأيمن في الصورة القياسية لثلاثي حدود من الدرجة الثانية مربعًا كاملاً فهناك حل واحد، ويكون المميز صفرًا. --- SECTION: مثال ٤ --- استعمال المميز أوجد قيمة المميز للمعادلة: ٤ س² - ٥ س = -٣، ثم حدد عدد حلولها الحقيقية. الخطوة ١: أعد كتابة المعادلة بالصورة القياسية: ٤ س² - ٥ س = -٣ -> ٤ س² - ٥ س + ٣ = ٠ الخطوة ٢: أوجد المميز. ب² - ٤ أ جـ = (-٥)² - ٤(٤)(٣) = ٢٥ - ٤٨ = -٢٣ بما أن المميز سالب فالمعادلة ليس لها حلول حقيقية. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك ٤أ. ٢ س² + ١١ س + ١٥ = ٠ ٤ب. ٩ س² - ٣٠ س + ٢٥ = ٠ --- VISUAL CONTEXT --- **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: الطريقة | متى يُفضل استعمالها؟ Rows: Row 1: التحليل إلى عوامل | تستعمل إذا كان الحد الثابت صفرًا، أو إذا كان من السهل تحديد العوامل فليست جميع المعادلات قابلة للتحليل. Row 2: التمثيل البياني | تستعمل عندما يكون الحل التقريبي مقبولاً. Row 3: استعمال خاصية الجذر التربيعي | تستعمل إذا كانت المعادلة مكتوبة على الصورة س² = ن أو (س - هـ)² = ل. Row 4: إكمال المربع | يمكن استعمالها لأية معادلة على الصورة: أس² + ب س + جـ = ٠، إلا أنه من الأسهل استعمالها إذا كان ب عددًا زوجيًا و أ = ١. Row 5: القانون العام | يمكن استعمالها لأية معادلة على الصورة: أس² + ب س + جـ = ٠. Context: Summary of methods for solving quadratic equations. **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: المعادلة | المميز | تمثيل الدالة المرتبطة | عدد المقاطع السينية | عدد الحلول الحقيقية Rows: Row 1: س² + ٢ س + ٥ = ٠ | ب² - ٤ أ جـ = -١٦ (سالب) | انظر الرسم البياني (المميز سالب) | ٠ | ٠ Row 2: س² + ١٠ س + ٢٥ = ٠ | ب² - ٤ أ جـ = ٠ (صفر) | انظر الرسم البياني (المميز صفر) | ١ | ١ Row 3: ٢ س² - ٧ س + ٢ = ٠ | ب² - ٤ أ جـ = ٣٣ (موجب) | انظر الرسم البياني (المميز موجب) | ٢ | ٢ Context: Relationship between the discriminant value and the number of real solutions. **GRAPH**: Untitled Description: The parabola does not intersect the x-axis, indicating no real solutions when the discriminant is negative (-16). **GRAPH**: Untitled Description: The parabola touches the x-axis at one point, indicating one real solution when the discriminant is zero. **GRAPH**: Untitled Description: The parabola intersects the x-axis at two distinct points, indicating two real solutions when the discriminant is positive (33).

    ✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

    عدد الأسئلة: 3

    سؤال 14: أ ٩ س٢ + ١٥ س + ٤ = ٠

    الإجابة: ب٢ - ٤ أ ج = ١٥٢ - ٤ (٩) (٤) = ٢٢٥ - ١٤٤ = ٨١. بما أن المميز موجب، إذن للمعادلة حلان حقيقيان نسبيان.

    سؤال 15: ب ٩ س٢ + ٣٠ س + ٢٥ = ٠

    الإجابة: ب٢ - ٤ أ ج = ٣٠٢ - ٤ (٩) (٢٥) = ٩٠٠ - ٩٠٠ = ٠. بما أن المميز يساوي صفرًا، إذن للمعادلة حل حقيقي واحد نسبي.

    سؤال 16: ج ٤ س٢ - ٧ س + ٥ = ٠

    الإجابة: ب٢ - ٤ أ ج = (-٧)٢ - ٤ (٤) (٥) = ٤٩ - ٨٠ = -٣١. بما أن المميز سالب، إذن للمعادلة ليس لها حلول حقيقية.

    🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

    عدد البطاقات: 5 بطاقة لهذه الصفحة

    ما هو المميز في القانون العام للمعادلة التربيعية، وما هي صيغته الرياضية؟

    • أ) هو معامل س² (أ) في المعادلة التربيعية، وصيغته أ.
    • ب) هو العبارة التي تحت الجذر (ب² - ٤ أ جـ)، ويُستخدم لتحديد عدد الحلول الحقيقية.
    • ج) هو الجزء الثابت (ج) في المعادلة التربيعية، وصيغته ج.
    • د) هو معامل س (ب) في المعادلة التربيعية، وصيغته ب.

    الإجابة الصحيحة: b

    الإجابة: هو العبارة التي تحت الجذر (ب² - ٤ أ جـ)، ويُستخدم لتحديد عدد الحلول الحقيقية.

    الشرح: يُعرف المميز بأنه الجزء (ب² - ٤ أ جـ) من القانون العام الذي يحدد طبيعة حلول المعادلة التربيعية (حقيقية أو غير حقيقية، وعددها).

    تلميح: فكر في الجزء الخاص بالعبارة تحت الجذر في القانون العام الذي يميز عدد الحلول.

    التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

    إذا كانت قيمة المميز (ب² - ٤ أ جـ) للمعادلة التربيعية موجبة (> ٠)، فماذا يعني ذلك بشأن عدد حلولها الحقيقية؟

    • أ) للمعادلة حل حقيقي واحد فقط.
    • ب) للمعادلة ليس لها حلول حقيقية.
    • ج) للمعادلة حلان حقيقيان مختلفان.
    • د) المعادلة غير معرفة.

    الإجابة الصحيحة: c

    الإجابة: للمعادلة حلان حقيقيان مختلفان.

    الشرح: عندما يكون المميز موجبًا، فإن الجذر التربيعي له سيكون عددًا حقيقيًا موجبًا، مما يؤدي إلى قيمتين مختلفتين في القانون العام، وبالتالي حلان حقيقيان مختلفان للمعادلة التربيعية.

    تلميح: تذكر كيف يتصرف الرسم البياني للدالة التربيعية عندما يكون المميز موجبًا، أو كيف تؤثر إشارة ما تحت الجذر في القانون العام.

    التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

    إذا كانت قيمة المميز (ب² - ٤ أ جـ) للمعادلة التربيعية تساوي صفرًا (= ٠)، فماذا يعني ذلك بشأن عدد حلولها الحقيقية؟

    • أ) للمعادلة حلان حقيقيان مختلفان.
    • ب) للمعادلة ليس لها حلول حقيقية.
    • ج) للمعادلة حل حقيقي واحد فقط.
    • د) المعادلة لا يمكن حلها.

    الإجابة الصحيحة: c

    الإجابة: للمعادلة حل حقيقي واحد فقط.

    الشرح: عندما يكون المميز صفرًا، فإن المقدار تحت الجذر يكون صفرًا، وبالتالي يصبح جزء '± الجذر التربيعي للمميز' في القانون العام مساويًا للصفر، مما يؤدي إلى حل حقيقي واحد فقط. هذا يحدث عندما تكون ثلاثية الحدود مربعًا كاملاً.

    تلميح: فكر في حالة المربع الكامل، وكيف يرتبط بالمميز الذي يساوي صفرًا.

    التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

    إذا كانت قيمة المميز (ب² - ٤ أ جـ) للمعادلة التربيعية سالبة (< ٠)، فماذا يعني ذلك بشأن عدد حلولها الحقيقية؟

    • أ) للمعادلة حلان حقيقيان.
    • ب) للمعادلة حل واحد حقيقي.
    • ج) للمعادلة حلول لا نهائية.
    • د) للمعادلة ليس لها حلول حقيقية.

    الإجابة الصحيحة: d

    الإجابة: للمعادلة ليس لها حلول حقيقية.

    الشرح: عندما يكون المميز سالبًا، فإن محاولة إيجاد الجذر التربيعي لعدد سالب لا ينتج عنه عدد حقيقي، وبالتالي لا توجد حلول حقيقية للمعادلة.

    تلميح: تذكر أن الجذر التربيعي لعدد سالب لا ينتج عنه عدد حقيقي.

    التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

    أوجد قيمة المميز للمعادلة 9س² + 15س + 4 = 0، ثم حدد عدد حلولها الحقيقية.

    • أ) المميز = 0، وللمعادلة حل حقيقي واحد.
    • ب) المميز = -81، وليس للمعادلة حلول حقيقية.
    • ج) المميز = 81، وللمعادلة حلان حقيقيان نسبيان.
    • د) المميز = 144، وللمعادلة حلان حقيقيان مختلفان.

    الإجابة الصحيحة: c

    الإجابة: المميز = 81، وللمعادلة حلان حقيقيان نسبيان.

    الشرح: 1. المعادلة هي 9س² + 15س + 4 = 0. 2. قيم المعاملات هي أ = 9، ب = 15، ج = 4. 3. نحسب المميز: ب² - ٤ أ جـ = (15)² - 4(9)(4) = 225 - 144 = 81. 4. بما أن المميز (81) موجب (> 0)، فإن للمعادلة حلين حقيقيين نسبيين.

    تلميح: حدد قيم أ، ب، ج في المعادلة التربيعية، ثم طبق صيغة المميز: ب² - ٤ أ جـ.

    التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط