سؤال تحقق من فهمك (أ, ب): (أ) س٢ + ٩س = -١٨. (ب) ٤س٢ - ٢٤س + ٣٥ = ٠.
الإجابة: (أ) س = -٣ أو س = -٦ (ب) س = ٣.٥ أو س = ٢.٥
📚 معلومات الصفحة
الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 9 | الفصل الدراسي: 2
الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم
نوع المحتوى: درس تعليمي
📝 ملخص الصفحة
📚 حل المعادلات التربيعية باستعمال القانون العام
المفاهيم الأساسية
القانون العام: صيغة تستخدم لحل أي معادلة تربيعية مكتوبة بالصيغة القياسية.
الإجابة الدقيقة: الحل الذي يكتب باستعمال الجذر التربيعي دون تقريب.
الإجابة التقريبية: الحل المقرب إلى عدد معين من المنازل العشرية، ويستخدم عندما يكون الجذر عدداً غير نسبي.
خريطة المفاهيم
```markmap
حل المعادلات التربيعية باستعمال القانون العام
القانون العام
الصيغة
س = \frac{-ب \pm \sqrt{ب^2 - 4أج}}{2أ}
الغرض منه
- حل أية معادلة تربيعية بالصيغة القياسية
- بديل عن التحليل أو إكمال المربع عندما يكونان صعبين
خطوات الحل
١. كتابة المعادلة بالصيغة القياسية
أس^2 + ب س + ج = 0
٢. تطبيق القانون العام
- تحديد المعاملات (أ، ب، ج)
- التعويض في الصيغة
- إيجاد الحلين
تطبيق عملي
- مثال: حل
3س^2 + 5س = 12 - تمثيل ضغط الدم الانقباضي:
ص = 0.01 س^2 + 0.05 س + 107
طرق حل مختلفة
التمثيل البياني
- إعادة كتابة المعادلة بالصيغة القياسية
- رسم الدالة المرتبطة
د(س) = أس^2 + ب س + ج - تحديد المقطعين السينيين (حيث
د(س) = 0)
ملاحظة
- لا توجد طريقة أفضل دائماً
- يمكن استخدام طرق مختلفة لحل المسألة نفسها
التقريب
- قد نحتاج لتقريب الحلول
- الإجابة الدقيقة تكتب بالجذر
- الإجابة التقريبية تعطي قيمة رقمية مقربة
نقاط مهمة
- عند تطبيق القانون العام قد تحتاج إلى تقريب بعض الحلول.
- يمكنك استعمال طرق مختلفة (مثل القانون العام أو التمثيل البياني) لحل أي مسألة تربيعية.
- لا توجد طريقة هي الأفضل دائماً لحل أي معادلة تربيعية.
---
تحقق من فهمك
السؤال 1:
حل المعادلات:
أ) ٢ س² + ٩ س + ١٨ = ٠
ب) ٤ س² - ٢٤ س + ٣٥ = ٠
(ملاحظة: الصفحة تطرح السؤال فقط ولا تقدم حلاً له، لذا يجب على الطالب حله باستخدام ما تعلمه).
السؤال 2:
حل المعادلة: ٢ س² - ٣ س - ٩ = ٠
(ملاحظة: الصفحة تطرح السؤال فقط ولا تقدم حلاً له).
---
حل مثال
مثال ٢:
حل المعادلة ١٠ س² - ١٠ س - ٢٥ = ٠ باستعمال القانون العام، مقرباً الحل إلى أقرب جزء من عشرة إذا كان ذلك ضرورياً.
الحل:
* المعادلة الأصلية: ١٠ س² - ١٠ س = ٢٥
* اطرح ٢٥ من كلا الطرفين: ١٠ س² - ١٠ س - ٢٥ = ٠
* أ = ١٠ ، ب = -١٠ ، ج = -٢٥
* التعويض في الصيغة:
س = \frac{-(-١٠) \pm \sqrt{(-١٠)^2 - ٤ (١٠) (-٢٥)}}{٢ (١٠)}
* التبسيط:
س = \frac{١٠ \pm \sqrt{١٠٠ + ١٠٠٠}}{٢٠} = \frac{١٠ \pm \sqrt{١١٠٠}}{٢٠} = \frac{١٠ \pm ١٠.٤٧}{٢٠}
* فصل الحلين:
س = \frac{١٠ + ١٠.٤٧}{٢٠} \approx ١.٠٢ \quad \text{أو} \quad س = \frac{١٠ - ١٠.٤٧}{٢٠} \approx -٠.٠٢
* الحلان التقريبيان هما: ١.٠٢ و -٠.٠٢.
* الإجابة الدقيقة هي: س = \frac{١٠ \pm \sqrt{١١٠٠}}{٢٠}.
مثال ٣:
حل المعادلة: س² - ٤ س = ١٢ باستخدام التمثيل البياني.
الحل (الطريقة ١: التمثيل البياني):
* س² - ٤ س = ١٢
* اطرح ١٢ من كلا الطرفين: س² - ٤ س - ١٢ = ٠
د(س) = س² - ٤ س - ١٢ بيانياً.📋 المحتوى المنظم
📖 محتوى تعليمي مفصّل
نوع: محتوى تعليمي
تحقق من فهمك
1أ
نوع: QUESTION_HOMEWORK
1أ) ٢س² + ٩س = ١٨
1ب
نوع: QUESTION_HOMEWORK
1ب) ٤س² - ٢٤س + ٣٥ = ٠
نوع: محتوى تعليمي
عند تطبيقك القانون العام لحل المعادلات التربيعية قد تحتاج إلى تقريب بعض حلولها.
مثال ٢
نوع: محتوى تعليمي
مثال ٢ استعمال القانون العام
حُلَّ المعادلة ١٠ س² - ٥ س = ٢٥ باستعمال القانون العام، مقربًا الحل إلى أقرب جزء من عشرة إذا كان ذلك ضروريًا:
الخطوة ١: أعد كتابة المعادلة بالصورة القياسية.
١٠ س² - ٥ س = ٢٥ (المعادلة الأصلية)
١٠ س² - ٥ س - ٢٥ = ٠ (اطرح ٢٥ من كلا الطرفين)
الخطوة ٢: طبق القانون العام.
س = (-ب ± √(ب² - ٤أج)) / ٢أ (القانون العام)
س = (-(-٥) ± √((-٥)² - ٤(١٠)(-٢٥))) / (٢(١٠)) (أ = ١٠، ب = -٥، ج = -٢٥)
س = (٥ ± √(٢٥ + ١٠٠٠)) / ٢٠ = (٥ ± √١٠٢٥) / ٢٠ (اضرب ثم اجمع)
س = (٥ - √١٠٢٥) / ٢٠ أو س = (٥ + √١٠٢٥) / ٢٠ (افصل الحلين)
س ≈ -١,٤ ، س ≈ ١,٩ (بسط)
الحلان هما -١,٤ و ١,٩ تقريبًا.
إرشادات للاختبار
نوع: محتوى تعليمي
الإجابات الدقيقة
العدد √١٠٢٥ في المثال ٢ غير نسبي؛ لذا فالآلة الحاسبة تعطي فقط قيمة تقريبية له، أما الإجابة الدقيقة في المثال ٢ فهي: (٥ ± √١٠٢٥) / ٢٠ أما العددان -١,٤ ، ١,٩ فقيمتان تقريبيتان.
نوع: محتوى تعليمي
تحقق من فهمك
2
نوع: QUESTION_HOMEWORK
٢) ٣س² - ٢س - ٩ = ٠
نوع: محتوى تعليمي
يمكنك استعمال طرق مختلفة لحل المعادلات التربيعية. ولا توجد طريقة هي الأفضل دائماً لحل أي مسألة.
مثال ٣
نوع: محتوى تعليمي
مثال ٣ حُلَّ المعادلات التربيعية باستعمال طرق مختلفة
حل المعادلة: س² - ٤س = ١٢.
الطريقة ١: التمثيل البياني
أعد كتابة المعادلة بالصورة القياسية.
س² - ٤س = ١٢ (المعادلة الأصلية)
س² - ٤س - ١٢ = ٠ (اطرح ١٢ من كلا الطرفين)
مثّل الدالة المرتبطة د(س) = س² - ٤س - ١٢ بيانياً، وحدد المقطعين السينيين على التمثيل.
الحلان هما -٢ ، ٦.
نوع: METADATA
الدرس ٨-٤: حل المعادلات التربيعية باستعمال القانون العام ١٣١
🔍 عناصر مرئية
التمثيل البياني لمثال ٣
A parabola opening upwards with its vertex in the fourth quadrant. The graph shows the relationship between x and y with clear grid lines and axis labels.
📄 النص الكامل للصفحة
تحقق من فهمك
--- SECTION: 1أ ---
1أ) ٢س² + ٩س = ١٨
--- SECTION: 1ب ---
1ب) ٤س² - ٢٤س + ٣٥ = ٠
عند تطبيقك القانون العام لحل المعادلات التربيعية قد تحتاج إلى تقريب بعض حلولها.
--- SECTION: مثال ٢ ---
مثال ٢ استعمال القانون العام
حُلَّ المعادلة ١٠ س² - ٥ س = ٢٥ باستعمال القانون العام، مقربًا الحل إلى أقرب جزء من عشرة إذا كان ذلك ضروريًا:
الخطوة ١: أعد كتابة المعادلة بالصورة القياسية.
١٠ س² - ٥ س = ٢٥ (المعادلة الأصلية)
١٠ س² - ٥ س - ٢٥ = ٠ (اطرح ٢٥ من كلا الطرفين)
الخطوة ٢: طبق القانون العام.
س = (-ب ± √(ب² - ٤أج)) / ٢أ (القانون العام)
س = (-(-٥) ± √((-٥)² - ٤(١٠)(-٢٥))) / (٢(١٠)) (أ = ١٠، ب = -٥، ج = -٢٥)
س = (٥ ± √(٢٥ + ١٠٠٠)) / ٢٠ = (٥ ± √١٠٢٥) / ٢٠ (اضرب ثم اجمع)
س = (٥ - √١٠٢٥) / ٢٠ أو س = (٥ + √١٠٢٥) / ٢٠ (افصل الحلين)
س ≈ -١,٤ ، س ≈ ١,٩ (بسط)
الحلان هما -١,٤ و ١,٩ تقريبًا.
--- SECTION: إرشادات للاختبار ---
الإجابات الدقيقة
العدد √١٠٢٥ في المثال ٢ غير نسبي؛ لذا فالآلة الحاسبة تعطي فقط قيمة تقريبية له، أما الإجابة الدقيقة في المثال ٢ فهي: (٥ ± √١٠٢٥) / ٢٠ أما العددان -١,٤ ، ١,٩ فقيمتان تقريبيتان.
تحقق من فهمك
--- SECTION: 2 ---
٢) ٣س² - ٢س - ٩ = ٠
يمكنك استعمال طرق مختلفة لحل المعادلات التربيعية. ولا توجد طريقة هي الأفضل دائماً لحل أي مسألة.
--- SECTION: مثال ٣ ---
مثال ٣ حُلَّ المعادلات التربيعية باستعمال طرق مختلفة
حل المعادلة: س² - ٤س = ١٢.
الطريقة ١: التمثيل البياني
أعد كتابة المعادلة بالصورة القياسية.
س² - ٤س = ١٢ (المعادلة الأصلية)
س² - ٤س - ١٢ = ٠ (اطرح ١٢ من كلا الطرفين)
مثّل الدالة المرتبطة د(س) = س² - ٤س - ١٢ بيانياً، وحدد المقطعين السينيين على التمثيل.
الحلان هما -٢ ، ٦.
الدرس ٨-٤: حل المعادلات التربيعية باستعمال القانون العام ١٣١
--- VISUAL CONTEXT ---
**GRAPH**: التمثيل البياني لمثال ٣
Description: A parabola opening upwards with its vertex in the fourth quadrant. The graph shows the relationship between x and y with clear grid lines and axis labels.
X-axis: س
Y-axis: ص
Context: Visual representation of solving a quadratic equation by finding the x-intercepts of the related function.
✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية
عدد الأسئلة: 2
سؤال تحقق من فهمك (2): (٢) ٣س٢ - ٧س = ٩.
الإجابة: س ≈ ٣.٣ أو س ≈ -٠.٩
🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة
عدد البطاقات: 4 بطاقة لهذه الصفحة
ما هو القانون العام لحل المعادلات التربيعية بالصورة القياسية أ س² + ب س + ج = ٠؟
- أ) س = (ب ± √(ب² - ٤أج)) / ٢أ
- ب) س = (-ب ± √(ب² + ٤أج)) / ٢أ
- ج) س = (-ب ± √(ب² - ٤أج)) / ٢أ
- د) س = (-ب ± √(أ² - ٤بج)) / ٢أ
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: س = (-ب ± √(ب² - ٤أج)) / ٢أ
الشرح: القانون العام هو صيغة رياضية ثابتة تستخدم لإيجاد حلول أي معادلة تربيعية مكتوبة بالصورة القياسية أ س² + ب س + ج = ٠.
تلميح: تذكر ترتيب المعاملات أ، ب، ج في القانون واشارة الحد الأول في البسط.
التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل
لتحويل المعادلة ١٠س² - ٥س = ٢٥ إلى الصورة القياسية (أ س² + ب س + ج = ٠) استعداداً لتطبيق القانون العام، ما هي الخطوة الصحيحة؟
- أ) إضافة ٢٥ إلى كلا الطرفين لتصبح ١٠س² - ٥س + ٢٥ = ٥٠.
- ب) طرح ١٠س² من كلا الطرفين لتصبح -٥س = ٢٥ - ١٠س².
- ج) طرح ٢٥ من كلا الطرفين لتصبح ١٠س² - ٥س - ٢٥ = ٠.
- د) قسمة جميع الحدود على ٥ لتصبح ٢س² - س = ٥.
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: طرح ٢٥ من كلا الطرفين لتصبح ١٠س² - ٥س - ٢٥ = ٠.
الشرح: لتحويل المعادلة إلى الصورة القياسية أ س² + ب س + ج = ٠، يجب جعل الطرف الأيمن يساوي صفراً بنقل جميع الحدود إلى الطرف الأيسر.
تلميح: يجب أن يكون أحد طرفي المعادلة صفراً قبل تحديد المعاملات أ، ب، ج.
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط
عند حل معادلة تربيعية باستخدام القانون العام، ما العبارة التي تصف الفرق بين الإجابة الدقيقة والإجابة التقريبية؟
- أ) الإجابة الدقيقة هي دائماً عدد صحيح، بينما التقريبية قد تكون كسراً.
- ب) الإجابة الدقيقة هي القيمة العشرية المقربة، والتقريبية تتضمن الجذور.
- ج) الإجابة الدقيقة تتضمن جذوراً غير نسبية في أبسط صورة (مثل √١٠٢٥)، بينما الإجابة التقريبية هي قيمة عشرية مقربة.
- د) لا يوجد فرق جوهري، كلاهما يعبر عن نفس القيمة بشكل مختلف.
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: الإجابة الدقيقة تتضمن جذوراً غير نسبية في أبسط صورة (مثل √١٠٢٥)، بينما الإجابة التقريبية هي قيمة عشرية مقربة.
الشرح: عندما لا يكون المميز (ب² - ٤أج) مربعاً كاملاً، فإن الجذر التربيعي سيكون عدداً غير نسبي. الإجابة التي تحتوي هذا الجذر هي الدقيقة، والقيمة العشرية المحسوبة والمقربة هي التقريبية.
تلميح: فكر في متى تحتاج لاستخدام الآلة الحاسبة للحصول على قيمة.
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط
لحل المعادلة التربيعية س² - ٤س = ١٢ بيانياً، ما هي الخطوات الرئيسية بالترتيب؟
- أ) مثل المعادلة الأصلية س² - ٤س = ١٢ بيانياً وأوجد نقطة رأس المنحنى.
- ب) أوجد قيم أ، ب، ج من المعادلة الأصلية ثم طبق القانون العام.
- ج) أولاً، أعد كتابة المعادلة بالصورة القياسية س² - ٤س - ١٢ = ٠، ثم مثّل الدالة المرتبطة د(س) = س² - ٤س - ١٢ بيانياً، ثم حدد المقطعين السينيين.
- د) بسّط المعادلة إلى س(س-٤) = ١٢ ثم أوجد حلولها مباشرة.
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: أولاً، أعد كتابة المعادلة بالصورة القياسية س² - ٤س - ١٢ = ٠، ثم مثّل الدالة المرتبطة د(س) = س² - ٤س - ١٢ بيانياً، ثم حدد المقطعين السينيين.
الشرح: 1. أعد كتابة المعادلة بالصورة القياسية (اجعلها تساوي صفر). 2. مثل الدالة التربيعية المرتبطة (د(س) = الطرف غير الصفري). 3. الحلول هي نقاط تقاطع المنحنى مع المحور السيني.
تلميح: تذكر أن حلول المعادلة التربيعية هي قيم س التي تجعل الدالة المرتبطة تساوي صفراً.
التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط