صفحة 135 - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 9 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 9 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: تمارين وأسئلة

📝 ملخص الصفحة

📝 تكملة التقويم

هذه الصفحة تكملة لأسئلة تأكد من الصفحة السابقة.

راجع تبويب الواجبات للإجابات الكاملة.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

حدّد دون استعمال التمثيل البياني عدد المقاطع السينية لكل دالة فيما يأتي:

25

نوع: QUESTION_HOMEWORK

25) 4.25 س² + 3 = -3 س

26

نوع: QUESTION_HOMEWORK

26) 2/25 س² + 2/5 = 3/5 س

27

نوع: QUESTION_HOMEWORK

27) 0.25 س² + س = -1

نوع: محتوى تعليمي

حلّ كل معادلة فيما يأتي باستعمال القانون العام مقرّبًا الناتج إلى أقرب جزء من عشرة إذا كان ذلك ضروريًّا:

28

نوع: QUESTION_HOMEWORK

28) -2 س² - 7 س = -1.5

29

نوع: QUESTION_HOMEWORK

29) 2.3 س² - 4.1 س = 6.8

30

نوع: QUESTION_HOMEWORK

30) س² - 2 س = 5

31

نوع: QUESTION_HOMEWORK

31) تمثيلات متعددة: سوف تكتشف الدوال الأسّية في هذه المسألة:

نوع: محتوى تعليمي

مسائل مهارات التفكير العليا

32

نوع: QUESTION_HOMEWORK

32) تحدٍّ: أوجد جميع قيم ك التي تجعل للمعادلة: 2 س² - 3 س + ك = 0 حلين حقيقيين.

نوع: محتوى تعليمي

تبرير: بيّن فيما إذا كان عدد الحلول الحقيقية لكل مما يأتي حلان، أو حل واحد، أو لا يوجد حل:

33

نوع: QUESTION_HOMEWORK

33) التمثيل البياني لدالة تربيعية لا تحتوي على مقطع سيني.

34

نوع: QUESTION_HOMEWORK

34) التمثيل البياني لدالة تربيعية تمس محور السينات.

35

نوع: QUESTION_HOMEWORK

35) التمثيل البياني لدالة تربيعية تقطع محور السينات مرتين.

36

نوع: QUESTION_HOMEWORK

36) قيمتا كل من أ، ب أكبر من صفر، وقيمة جـ أصغر من صفر في الصيغة القياسية للدالة التربيعية.

37

نوع: QUESTION_HOMEWORK

37) مسألة مفتوحة: اكتب 3 دوال تربيعية على أن يكون مميز الأولى موجب، ومميز الثانية سالبًا، ومميز الثالثة صفرًا.

38

نوع: QUESTION_HOMEWORK

38) اكتب: وضّح طرق حل المعادلات التربيعية، وأعطِ مثالاً مختلفًا لكل طريقة. فسّر إجابتك.

نوع: محتوى تعليمي

تدريب على اختبار

39

نوع: QUESTION_HOMEWORK

39) إجابة قصيرة: إذا علمت أن المثلث المجاور متطابق الضلعين، فما قيمة س؟

40

نوع: QUESTION_HOMEWORK

40) ما حلول المعادلة التربيعية 6 هـ² + 6 هـ = 72؟

🔍 عناصر مرئية

A diagram of an isosceles triangle. The two sides are marked with single tick marks indicating they are equal in length. The vertex angle at the top is labeled as 64°. One of the base angles is labeled as س°.

📄 النص الكامل للصفحة

حدّد دون استعمال التمثيل البياني عدد المقاطع السينية لكل دالة فيما يأتي: --- SECTION: 25 --- 25) 4.25 س² + 3 = -3 س --- SECTION: 26 --- 26) 2/25 س² + 2/5 = 3/5 س --- SECTION: 27 --- 27) 0.25 س² + س = -1 حلّ كل معادلة فيما يأتي باستعمال القانون العام مقرّبًا الناتج إلى أقرب جزء من عشرة إذا كان ذلك ضروريًّا: --- SECTION: 28 --- 28) -2 س² - 7 س = -1.5 --- SECTION: 29 --- 29) 2.3 س² - 4.1 س = 6.8 --- SECTION: 30 --- 30) س² - 2 س = 5 --- SECTION: 31 --- 31) تمثيلات متعددة: سوف تكتشف الدوال الأسّية في هذه المسألة: أ. جدوليًّا: انسخ الجدول الآتي وأكمله: ب. بيانيًّا: مثّل المعلومات المعطاة في الجدول بيانيًّا باستعمال النقاط (الزمن، عدد البكتيريا)، وهل التمثيل خطي أم تربيعي أم غير ذلك؟ ج. تحليليًّا: ماذا يحدث لعدد البكتيريا كل ساعة؟ اكتب دالة تمثّل هذا النمط. مسائل مهارات التفكير العليا --- SECTION: 32 --- 32) تحدٍّ: أوجد جميع قيم ك التي تجعل للمعادلة: 2 س² - 3 س + ك = 0 حلين حقيقيين. تبرير: بيّن فيما إذا كان عدد الحلول الحقيقية لكل مما يأتي حلان، أو حل واحد، أو لا يوجد حل: --- SECTION: 33 --- 33) التمثيل البياني لدالة تربيعية لا تحتوي على مقطع سيني. --- SECTION: 34 --- 34) التمثيل البياني لدالة تربيعية تمس محور السينات. --- SECTION: 35 --- 35) التمثيل البياني لدالة تربيعية تقطع محور السينات مرتين. --- SECTION: 36 --- 36) قيمتا كل من أ، ب أكبر من صفر، وقيمة جـ أصغر من صفر في الصيغة القياسية للدالة التربيعية. --- SECTION: 37 --- 37) مسألة مفتوحة: اكتب 3 دوال تربيعية على أن يكون مميز الأولى موجب، ومميز الثانية سالبًا، ومميز الثالثة صفرًا. --- SECTION: 38 --- 38) اكتب: وضّح طرق حل المعادلات التربيعية، وأعطِ مثالاً مختلفًا لكل طريقة. فسّر إجابتك. تدريب على اختبار --- SECTION: 39 --- 39) إجابة قصيرة: إذا علمت أن المثلث المجاور متطابق الضلعين، فما قيمة س؟ --- SECTION: 40 --- 40) ما حلول المعادلة التربيعية 6 هـ² + 6 هـ = 72؟ أ) 3 أو -4 ب) -3 أو 4 ج) لا يوجد حلول حقيقية د) 12 أو -48 --- VISUAL CONTEXT --- **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: الزمن (ساعة) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 Rows: Row 1: عدد البكتيريا | 2^0 = 1 | 2^1 = 2 | 2^2 = 4 | ______ | ______ | ______ | ______ Empty cells: Cells for hours 3, 4, 5, and 6 in the 'عدد البكتيريا' row are empty. Calculation needed: The student needs to continue the exponential pattern 2^n to fill the empty cells. Context: Provides data for an exponential growth problem. **DIAGRAM**: Untitled Description: A diagram of an isosceles triangle. The two sides are marked with single tick marks indicating they are equal in length. The vertex angle at the top is labeled as 64°. One of the base angles is labeled as س°. Key Values: Vertex angle = 64°, Base angle = س° Context: Visual aid for a geometry problem involving triangle angle properties.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 12

سؤال 25: حدد دون استعمال التمثيل البياني، عدد المقاطع السينية لدالة فيما يأتي: أ) ص = س٢ + ٣س - ٦ ب) ص = س٢ + ٧٥ ج) ص = س٢ + ٠,٢٥ س + س - ١

الإجابة: أ) عدد المقاطع السينية = 2 ب) عدد المقاطع السينية = 0 ج) عدد المقاطع السينية = 1

سؤال 26: هل كل معادلة فيما يأتي بإستعمال القانون العام مقرباً الناتج إلى أقرب جزء من عشرة إذا كان ذلك ضرورياً: أ) ٢س٢ - ٧س = ٥ ب) س٢ - ٤س = ٦ ج) س٢ - ٨س = ٩

الإجابة: أ) س ≈ 3.3 أو س ≈ -0.2 ب) س ≈ 1.4 أو س ≈ -2.1 ج) س ≈ 4.4 أو س ≈ 3.6

سؤال 27: تمثيلات متعددة. سوف تكتشف الدوال الآتية في هذه المسألة: أ) جدولها. انسخ الجدول الآتي وأكمله: (الجدول: الزمن (ساعة) 0, 1, 2, 3, 4 | عدد البكتيريا) ب) بيانها. مثل المعلومات المعطاة في الجدول بيانيًا باستعمال النقاط (الزمن، عدد البكتيريا)، وهل التمثيل خطي أم تربيعي أم غير ذلك؟ ج) تحليليًا. ماذا يحدث لعدد البكتيريا كل ساعة؟ اكتب دالة تمثل هذا النمط.

الإجابة: أ) (الجدول: الزمن (ساعة) 0, 1, 2, 3, 4 | عدد البكتيريا 1, 2, 4, 8, 16) ب) غير ذلك ج) يتضاعف كل ساعة، ص = ٢^س

سؤال 31: تحد. أوجد جميع قيم ك التي تجعل للمعادلة: "س٢ - ٣س + ٥ = ك" حلين حقيقيين.

الإجابة: ك < 9/4

سؤال 33: التمثيل البياني لدالة تربيعية لا تحتوي على مقطع سيني.

الإجابة: لا يوجد حل حقيقي

سؤال 34: التمثيل البياني لدالة تربيعية تمس محور السينات.

الإجابة: حل حقيقي واحد

سؤال 35: التمثيل البياني لدالة تربيعية تقطع محور السينات مرتين.

الإجابة: حلان حقيقيان

سؤال 36: فيما كل من أ، ب أكبر من صفر، وقيمة جـ أصغر من صفر في الصيغة القياسية للدالة التربيعية.

الإجابة: حلان حقيقيان

سؤال 37: مسألة مفتوحة. اكتب ٣ دوال تربيعية على أن يكون مميز الأولى موجب ومميز الثانية سالباً، ومميز الثالثة صفراً.

الإجابة: إجابة مفتوحة

سؤال 38: اكتب. وضح طرق حل المعادلات التربيعية، وأعط مثالاً مختلفًا لكل طريقة. فسر إجابتك.

الإجابة: إجابة مفتوحة

سؤال 39: إجابة قصيرة. إذا علمت أن المثلث المجاور متطابق الضلعين، فما قيمة س؟ (صورة مثلث بزوايا 58°، 2س°، 64°)

الإجابة: س = 58°

سؤال 40: ما حلول المعادلة التربيعية ٦ه٢ + ٦هـ = ٩٧؟ أ) ٣ أو -٤ ب) ٣ أو ٤ ج) لا يوجد حلول حقيقية د) ١٢ أو -٥٨

الإجابة: أ) ٣ أو -٤

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 20 بطاقة لهذه الصفحة

أوجد جميع قيم ك التي تجعل للمعادلة: 2 س² - 3 س + ك = 0 حلين حقيقيين.

  • أ) ك > 9/8
  • ب) ك = 9/8
  • ج) ك < 9/8
  • د) ك > 8/9

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ك < 9/8

الشرح: 1. لكي يكون للمعادلة حلان حقيقيان، يجب أن يكون المميز (ب² - 4أج) > 0. 2. المعادلة: 2 س² - 3 س + ك = 0، حيث أ=2، ب=-3، ج=ك. 3. تطبيق شرط المميز: (-3)² - 4(2)(ك) > 0. 4. تبسيط: 9 - 8ك > 0. 5. حل المتباينة: 9 > 8ك، وبالتالي ك < 9/8.

تلميح: لكي يكون للمعادلة حلان حقيقيان، يجب أن يكون المميز أكبر من صفر.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

حدد دون استعمال التمثيل البياني عدد المقاطع السينية للدالة: 4.25 س² + 3 = -3 س

  • أ) 2 مقطع سيني
  • ب) 1 مقطع سيني
  • ج) 0 مقطع سيني
  • د) لا يمكن التحديد

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 0 مقطع سيني

الشرح: 1. إعادة ترتيب المعادلة للصورة القياسية: 4.25 س² + 3س + 3 = 0. 2. تحديد المعاملات: أ=4.25، ب=3، ج=3. 3. حساب المميز (ب² - 4أج): (3)² - 4(4.25)(3) = 9 - 51 = -42. 4. بما أن المميز سالب (-42 < 0)، فلا توجد حلول حقيقية، وبالتالي لا توجد مقاطع سينية.

تلميح: تذكر أن عدد المقاطع السينية يعتمد على إشارة المميز (ب² - 4أج).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حل المعادلة -2 س² - 7 س = -1.5 باستعمال القانون العام مقرّبًا الناتج إلى أقرب جزء من عشرة.

  • أ) س ≈ -0.2 أو س ≈ 3.7
  • ب) س ≈ 0.2 أو س ≈ -3.7
  • ج) س ≈ 0.7 أو س ≈ -4.2
  • د) س ≈ -0.7 أو س ≈ 4.2

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: س ≈ 0.2 أو س ≈ -3.7

الشرح: 1. ترتيب المعادلة للصورة القياسية: 2 س² + 7 س - 1.5 = 0. 2. تحديد المعاملات: أ=2، ب=7، ج=-1.5. 3. حساب المميز: ب² - 4أج = (7)² - 4(2)(-1.5) = 49 + 12 = 61. 4. تطبيق القانون العام: س = [-7 ± sqrt(61)] / 4. 5. س1 ≈ (-7 + 7.810) / 4 ≈ 0.2، وس2 ≈ (-7 - 7.810) / 4 ≈ -3.7.

تلميح: تأكد من تحويل المعادلة إلى الصورة القياسية (أ س² + ب س + ج = 0) قبل تطبيق القانون العام.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حدد دون استعمال التمثيل البياني عدد المقاطع السينية للدالة: 2/25 س² + 2/5 = 3/5 س

  • أ) حلان حقيقيان (مقطعان سينيان)
  • ب) حل حقيقي واحد (مقطع سيني واحد)
  • ج) لا يوجد حلول حقيقية (لا توجد مقاطع سينية)
  • د) ثلاثة حلول حقيقية

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: حلان حقيقيان (مقطعان سينيان)

الشرح: ١. نعيد ترتيب المعادلة: 2/25 س² - 3/5 س + 2/5 = 0 ٢. نضرب في 25 للتخلص من الكسور: 2س² - 15س + 10 = 0 ٣. المعاملات هي: أ = 2، ب = -15، جـ = 10 ٤. نحسب المميز: Δ = (-15)² - 4(2)(10) = 225 - 80 = 145 ٥. بما أن المميز موجب (145 > 0)، فإن للدالة حلين حقيقيين مختلفين، أي مقطعين سينيين.

تلميح: أعد ترتيب المعادلة للصيغة القياسية أ س² + ب س + جـ = 0 ثم احسب المميز Δ = ب² - 4أجـ.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

إذا كان التمثيل البياني لدالة تربيعية لا يحتوي على مقطع سيني، فماذا يعني ذلك بالنسبة لعدد حلولها الحقيقية؟

  • أ) حلان حقيقيان
  • ب) حل حقيقي واحد
  • ج) لا يوجد حل حقيقي
  • د) يعتمد على قيم أ، ب، ج

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: لا يوجد حل حقيقي

الشرح: عندما لا يقطع التمثيل البياني للدالة التربيعية محور السينات، فهذا يعني أن الدالة لا تتساوى مع الصفر عند أي قيمة حقيقية للمتغير س، وبالتالي لا توجد لها حلول حقيقية.

تلميح: تذكر العلاقة بين عدد المقاطع السينية للدالة التربيعية وعدد حلولها الحقيقية.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

ما حلول المعادلة التربيعية 6 هـ² + 6 هـ = 72؟

  • أ) 3 أو -4
  • ب) -3 أو 4
  • ج) لا يوجد حلول حقيقية
  • د) 12 أو -48

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: 3 أو -4

الشرح: 1. ترتيب المعادلة للصورة القياسية: 6 هـ² + 6 هـ - 72 = 0. 2. قسمة جميع الحدود على 6 لتبسيطها: هـ² + هـ - 12 = 0. 3. التحليل إلى عوامل: (هـ + 4)(هـ - 3) = 0. 4. إيجاد الحلول: هـ + 4 = 0 => هـ = -4، أو هـ - 3 = 0 => هـ = 3.

تلميح: بسّط المعادلة أولاً بقسمة جميع الحدود على العامل المشترك الأكبر، ثم حلّها بالتحليل أو القانون العام.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حدد دون استعمال التمثيل البياني عدد المقاطع السينية للدالة: 0.25 س² + س = -1

  • أ) حلان حقيقيان (مقطعان سينيان)
  • ب) حل حقيقي واحد (مقطع سيني واحد)
  • ج) لا يوجد حلول حقيقية (لا توجد مقاطع سينية)
  • د) لا يمكن تحديد عدد المقاطع السينية

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: حل حقيقي واحد (مقطع سيني واحد)

الشرح: ١. نعيد ترتيب المعادلة: 0.25 س² + س + 1 = 0 ٢. المعاملات هي: أ = 0.25، ب = 1، جـ = 1 ٣. نحسب المميز: Δ = (1)² - 4(0.25)(1) = 1 - 1 = 0 ٤. بما أن المميز يساوي صفرًا، فإن للدالة حلًا حقيقيًا واحدًا، أي مقطعًا سينيًا واحدًا (تمس محور السينات).

تلميح: حوّل المعادلة للصيغة القياسية أ س² + ب س + جـ = 0 ثم احسب المميز Δ = ب² - 4أجـ لتحديد عدد المقاطع السينية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حلّ المعادلة 2.3 س² - 4.1 س = 6.8 باستعمال القانون العام مقرّبًا الناتج إلى أقرب جزء من عشرة.

  • أ) س ≈ 1.8 أو س ≈ -2.0
  • ب) س ≈ -2.8 أو س ≈ 1.0
  • ج) س ≈ 2.8 أو س ≈ -1.0
  • د) س ≈ 4.1 أو س ≈ -8.9

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: س ≈ 2.8 أو س ≈ -1.0

الشرح: ١. أعد ترتيب المعادلة: 2.3 س² - 4.1 س - 6.8 = 0 ٢. المعاملات هي: أ = 2.3، ب = -4.1، جـ = -6.8 ٣. احسب المميز: Δ = (-4.1)² - 4(2.3)(-6.8) = 16.81 + 62.56 = 79.37 ٤. طبق القانون العام: س = [4.1 ± جذر(79.37)] / (2 × 2.3) = [4.1 ± 8.909] / 4.6 ٥. الحلول التقريبية: س١ ≈ (4.1 + 8.909)/4.6 ≈ 2.8، س٢ ≈ (4.1 - 8.909)/4.6 ≈ -1.0 الناتج: س ≈ 2.8 أو س ≈ -1.0

تلميح: أعد ترتيب المعادلة إلى الصيغة القياسية أ س² + ب س + جـ = 0، ثم طبّق القانون العام: س = [-ب ± الجذر التربيعي(ب² - 4أجـ)] / 2أ.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حلّ المعادلة س² - 2 س = 5 باستعمال القانون العام مقرّبًا الناتج إلى أقرب جزء من عشرة.

  • أ) س ≈ 2.0 أو س ≈ -1.0
  • ب) س ≈ 1.0 أو س ≈ -2.0
  • ج) لا يوجد حلول حقيقية
  • د) س ≈ 3.4 أو س ≈ -1.4

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: س ≈ 3.4 أو س ≈ -1.4

الشرح: ١. أعد ترتيب المعادلة: س² - 2 س - 5 = 0 ٢. المعاملات هي: أ = 1، ب = -2، جـ = -5 ٣. احسب المميز: Δ = (-2)² - 4(1)(-5) = 4 + 20 = 24 ٤. طبق القانون العام: س = [2 ± جذر(24)] / (2 × 1) = [2 ± 4.899] / 2 ٥. الحلول التقريبية: س١ ≈ (2 + 4.899)/2 ≈ 3.4، س٢ ≈ (2 - 4.899)/2 ≈ -1.4 الناتج: س ≈ 3.4 أو س ≈ -1.4

تلميح: أعد ترتيب المعادلة إلى الصيغة القياسية أ س² + ب س + جـ = 0، ثم طبّق القانون العام: س = [-ب ± الجذر التربيعي(ب² - 4أجـ)] / 2أ.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

بيّن فيما إذا كان عدد الحلول الحقيقية لدالة تربيعية تمس محور السينات.

  • أ) حلان حقيقيان
  • ب) حل حقيقي واحد
  • ج) لا يوجد حلول حقيقية
  • د) عدد لا نهائي من الحلول

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: حل حقيقي واحد

الشرح: عندما يمس التمثيل البياني لدالة تربيعية محور السينات، فهذا يعني أن المنحنى يلامس المحور في نقطة واحدة فقط. هذه النقطة هي المقطع السيني الوحيد، وبالتالي يوجد حل حقيقي واحد للمعادلة التربيعية (ويكون المميز يساوي صفرًا).

تلميح: تذكر العلاقة بين شكل التمثيل البياني للدالة التربيعية وعدد حلولها الحقيقية. عندما يمس المنحنى محور السينات، ماذا يعني ذلك؟

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

في دالة نمو البكتيريا المعطاة في الجدول (الزمن: 0، عدد البكتيريا: 1؛ الزمن: 1، عدد البكتيريا: 2؛ الزمن: 2، عدد البكتيريا: 4)، ماذا يحدث لعدد البكتيريا كل ساعة؟

  • أ) يزداد عدد البكتيريا بمقدار 2.
  • ب) ينقص عدد البكتيريا إلى النصف.
  • ج) يتضاعف عدد البكتيريا.
  • د) يبقى عدد البكتيريا ثابتًا.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: يتضاعف عدد البكتيريا.

الشرح: من النمط المعطى، نرى أن عدد البكتيريا يتضاعف: من 1 إلى 2 بعد ساعة واحدة (1 × 2 = 2)، ومن 2 إلى 4 بعد ساعتين (2 × 2 = 4)، وهكذا.

تلميح: لاحظ العلاقة بين عدد البكتيريا والوقت في النمط المعطى.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

بناءً على النمط في جدول نمو البكتيريا (عند الزمن ز يكون عدد البكتيريا ن)، ما هي الدالة التي تمثّل عدد البكتيريا (ن) بعد زمن (ز) بالساعات؟

  • أ) ن(ز) = ز + ٢
  • ب) ن(ز) = ٢ز
  • ج) ن(ز) = ٢^ز
  • د) ن(ز) = ز^٢

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ن(ز) = ٢^ز

الشرح: ١. عند الزمن ٠، ن = ١ = ٢^٠. ٢. عند الزمن ١، ن = ٢ = ٢^١. ٣. عند الزمن ٢، ن = ٤ = ٢^٢. ٤. الدالة التي تمثل هذا النمط هي ن(ز) = ٢^ز.

تلميح: ابحث عن العلاقة بين الزمن والأساس الذي يمثل التضاعف.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

إذا كان التمثيل البياني لدالة تربيعية يقطع محور السينات مرتين، فماذا يعني ذلك بالنسبة لعدد حلولها الحقيقية؟

  • أ) لا يوجد حل حقيقي.
  • ب) يوجد حل حقيقي واحد.
  • ج) يوجد حلان حقيقيان مختلفان.
  • د) يوجد عدد لا نهائي من الحلول الحقيقية.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: يوجد حلان حقيقيان مختلفان.

الشرح: ١. نقاط تقاطع التمثيل البياني للدالة مع محور السينات تمثل حلول المعادلة التربيعية. ٢. إذا قطعت محور السينات مرتين، فهذا يعني أن هناك قيمتين مختلفتين لـ س تحققان المعادلة. ٣. وبالتالي، يوجد حلان حقيقيان مختلفان.

تلميح: تذكر العلاقة بين نقاط تقاطع منحنى الدالة مع محور السينات وعدد الحلول الحقيقية للمعادلة التربيعية.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

في الصيغة القياسية للدالة التربيعية أ س² + ب س + جـ = 0، إذا كانت قيمتا أ، ب أكبر من صفر، وقيمة جـ أصغر من صفر، فما عدد الحلول الحقيقية للمعادلة؟

  • أ) لا يوجد حل حقيقي.
  • ب) يوجد حل حقيقي واحد.
  • ج) يوجد حلان حقيقيان.
  • د) لا يمكن تحديد عدد الحلول دون معرفة القيم العددية.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: يوجد حلان حقيقيان.

الشرح: ١. المميز (Δ) هو ب² - 4أجـ. ٢. بما أن أ > 0 وب > 0 وجـ < 0: - ب² > 0 (لأن مربع أي عدد حقيقي لا يساوي صفر يكون موجبًا). - أجـ < 0 (لأن حاصل ضرب عدد موجب وعدد سالب يكون سالبًا). - إذن، -4أجـ > 0 (لأن -4 مضروبة في عدد سالب تصبح موجبة). ٣. وبذلك، Δ = (عدد موجب) + (عدد موجب) > 0. ٤. عندما يكون المميز موجبًا، يوجد حلان حقيقيان.

تلميح: استخدم المميز (Δ = ب² - 4أجـ) لتحديد عدد الحلول، مع الأخذ في الاعتبار إشارات المعاملات.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

أي من المعادلات التربيعية التالية ليس لها حلول حقيقية (أي مميزها سالب)؟

  • أ) س² + س + ٥ = ٠
  • ب) س² + ٥س + ٦ = ٠
  • ج) س² - ٤س + ٤ = ٠
  • د) ٢س² - ٧س + ٣ = ٠

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: س² + س + ٥ = ٠

الشرح: نحسب المميز لكل خيار: أ) س² + س + ٥ = ٠: أ=١، ب=١، ج=٥. Δ = ١² - ٤(١)(٥) = ١ - ٢٠ = -١٩ (سالب) ب) س² + ٥س + ٦ = ٠: أ=١، ب=٥، ج=٦. Δ = ٥² - ٤(١)(٦) = ٢٥ - ٢٤ = ١ (موجب) ج) س² - ٤س + ٤ = ٠: أ=١، ب=-٤، ج=٤. Δ = (-٤)² - ٤(١)(٤) = ١٦ - ١٦ = ٠ (صفر) د) ٢س² - ٧س + ٣ = ٠: أ=٢، ب=-٧، ج=٣. Δ = (-٧)² - ٤(٢)(٣) = ٤٩ - ٢٤ = ٢٥ (موجب) المعادلة ذات المميز السالب هي س² + س + ٥ = ٠.

تلميح: احسب المميز (Δ = ب² - 4أجـ) لكل معادلة. تذكر أن المميز السالب يعني عدم وجود حلول حقيقية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أي من الدوال التربيعية التالية يكون مميزها موجبًا (أي لها حلان حقيقيان)؟

  • أ) ص = س² + 5س + 1
  • ب) ص = س² - 4س + 4
  • ج) ص = س² + س + 1
  • د) ص = 2س² + 3

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: ص = س² + 5س + 1

الشرح: ١. نحسب المميز (ب² - ٤أجـ) لكل دالة. ٢. للدالة ص = س² + 5س + 1، المميز = (5)² - 4(1)(1) = 25 - 4 = 21. ٣. بما أن 21 > 0، فالمميز موجب.

تلميح: تذكر أن المميز (ب² - ٤أجـ) يحدد طبيعة الحلول. إذا كان موجبًا، فهناك حلان حقيقيان مختلفان.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أي من الدوال التربيعية التالية يكون مميزها صفرًا (أي لها حل حقيقي واحد)؟

  • أ) ص = س² + 2س - 3
  • ب) ص = س² - 6س + 9
  • ج) ص = 3س² + س + 1
  • د) ص = 4س² - 1

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ص = س² - 6س + 9

الشرح: ١. نحسب المميز (ب² - ٤أجـ) لكل دالة. ٢. للدالة ص = س² - 6س + 9، المميز = (-6)² - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0. ٣. بما أن المميز يساوي صفرًا، فهي الدالة المطلوبة.

تلميح: تذكر أن المميز (ب² - ٤أجـ) إذا كان صفرًا، فذلك يعني وجود حل حقيقي واحد متكرر.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما عدد المقاطع السينية لدالة تربيعية إذا كان مميز معادلتها التربيعية (ب² - ٤أجـ) يساوي صفرًا؟

  • أ) مقطع سيني واحد
  • ب) مقطعان سينيان
  • ج) لا توجد مقاطع سينية
  • د) مقطع واحد أو لا شيء حسب أ

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: مقطع سيني واحد

الشرح: عندما يكون مميز المعادلة التربيعية يساوي صفرًا، فهذا يعني أن للدالة حلًا حقيقيًا واحدًا (أو جذرين متساويين)، وبالتالي يقطع التمثيل البياني محور السينات في نقطة واحدة فقط.

تلميح: اربط قيمة المميز بعدد الحلول الحقيقية، وكل حل حقيقي يمثل مقطعًا سينيًا.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

ما هو القانون العام المستخدم لحل المعادلة التربيعية أ س² + ب س + جـ = 0؟

  • أ) س = [-ب ± الجذر التربيعي(ب² - ٤أجـ)] / ٢أ
  • ب) س = [ب ± الجذر التربيعي(ب² - ٤أجـ)] / ٢أ
  • ج) س = [-ب ± الجذر التربيعي(ب² + ٤أجـ)] / ٢أ
  • د) س = [-ب ± الجذر التربيعي(٤أجـ - ب²)] / ٢أ

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: س = [-ب ± الجذر التربيعي(ب² - ٤أجـ)] / ٢أ

الشرح: القانون العام هو صيغة رياضية تُستخدم لإيجاد قيم س (الحلول) لأي معادلة تربيعية على الصورة القياسية أ س² + ب س + جـ = 0.

تلميح: تذكر الإشارات والعلاقات بين المعاملات في القانون.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

إذا كان مميز المعادلة التربيعية موجبًا وعددًا مربعًا كاملًا (مثل 4 أو 9 أو 25)، فما طبيعة حلول المعادلة التربيعية؟

  • أ) حلان حقيقيان نسبيان ومختلفان.
  • ب) حلان حقيقيان غير نسبيين ومختلفان.
  • ج) حل حقيقي نسبي واحد.
  • د) لا توجد حلول حقيقية.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: حلان حقيقيان نسبيان ومختلفان.

الشرح: عندما يكون المميز موجبًا ومربعًا كاملًا، فإن الجذر التربيعي للمميز يكون عددًا نسبيًا، وبالتالي تكون الحلول حقيقية ونسبيًا ومختلفة.

تلميح: فكّر في الحالات المختلفة لقيمة المميز: موجب ومربع كامل، موجب وليس مربع كامل، صفر، سالب.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط