من واقع الحياة - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 العمليات على العبارات الجبرية

المفاهيم الأساسية

طريقة التوزيع بالترتيب (FOIL): طريقة لضرب ثنائيي الحدود عن طريق إيجاد مجموع حاصل ضرب الحدين الأولين، والحدين في الطرفين، والحدين الأوسطين، والحدين الأخيرين.

خريطة المفاهيم

```markmap

العمليات على العبارات الجبرية

الجمع والطرح

عندما يكون ما تحت الجذرين متشابهًا

• أ ب + جـ ب = (أ + جـ) ب
• أ ب - جـ ب = (أ - جـ) ب

الضرب

عندما يكون ما تحت الجذرين متشابهًا

• (أ ب) (د جـ) = أ د ب جـ

ليس من الضروري تشابه ما تحت الجذرين

• (أ ب) (د جـ) = أ د ب جـ

تطبيقات هندسية

مساحة المستطيل

• م = ل × ض

مساحة المعين

• م = ١ / ٢ × ق₁ × ق₂

مساحة المثلث

• م = ١ / ٢ × ق × ع

```

نقاط مهمة

• يمكن تبسيط العبارات الجبرية التي لها نفس الجذر (أو المتشابهة) عن طريق جمع أو طرح المعاملات.
• عند ضرب عبارتين جذريتين، تضرب المعاملات معاً والمقادير تحت الجذر معاً.
• تُستخدم هذه العمليات في إيجاد مساحات الأشكال الهندسية عندما تكون الأبعاد معطاة بعبارات جبرية.

---

حل مثال

مثال ٤: ضرب عبارات جبرية (مساحة مستطيل)

المعطى: مستطيل طوله `(٣س + ٤)` وعرضه `(٣س - ٥)`.

المطلوب: إيجاد المساحة `م` بأبسط صورة.

الحل:

١. صيغة مساحة المستطيل: م = ل × ض

٢. نعوض الأبعاد: م = (٣س + ٤)(٣س - ٥)

٣. نطبق طريقة التوزيع بالترتيب (FOIL):

- الحدان الأولان: (٣س × ٣س) = ٩س²

- الحدان في الطرفين: (٣س × -٥) + (٤ × ٣س) = -١٥س + ١٢س

- الحدان الأخيران: (٤ × -٥) = -٢٠

٤. نجمع النواتج: م = ٩س² - ١٥س + ١٢س - ٢٠

٥. نبسط بجمع الحدود المتشابهة (`-١٥س + ١٢س`): م = ٩س² - ٣س - ٢٠

النتيجة النهائية: م = ٩س² - ٣س - ٢٠

---

تحقق من فهمك

٤) هندسة: مساحة معين

المعطى: معين طول قطريه `ق₁ = ٣س - ٥س` و `ق₂ = ٣س + ٥س` (وفقاً للشكل المرتبط `visual_elements[1]`).

المعلومة: مساحة المعين تُحسب بالصيغة: م = \frac{١}{٢} × ق₁ × ق₂

الحل:

١. نعوض بطولي القطرين:

م = \frac{١}{٢} × (٣س - ٥س) × (٣س + ٥س)

٢. نبسط داخل الأقواس:

- `٣س - ٥س = -٢س`

- `٣س + ٥س = ٨س`

٣. نعوض مرة أخرى:

م = \frac{١}{٢} × (-٢س) × (٨س)

٤. نضرب:

م = \frac{١}{٢} × (-١٦س²)

٥. الناتج النهائي:

م = -٨س²

(ملاحظة: المساحة قيمة موجبة عادة، لكن التعبير الجبري الناتج يعتمد على قيمة `س`).

مثال ٤ (ثانٍ): مساحة مثلث

المعطى: مثلث قاعدته `ق = ٥س + ٣س` وارتفاعه `ع = ٥س + ٣س` (وفقاً للشكل المرتبط `visual_elements[2]`).

المعلومة: مساحة المثلث تُحسب بالصيغة: م = \frac{١}{٢} × ق × ع

الحل:

١. نعوض بالقاعدة والارتفاع:

م = \frac{١}{٢} × (٥س + ٣س) × (٥س + ٣س)

٢. نبسط داخل الأقواس: `٥س + ٣س = ٨س`

٣. نعوض مرة أخرى:

م = \frac{١}{٢} × (٨س) × (٨س)

٤. نضرب:

م = \frac{١}{٢} × (٦٤س²)

٥. الناتج النهائي:

م = ٣٢س²

---

> 📝 ملاحظة: هذه الصفحة تحتوي على أسئلة تقويمية - راجع تبويب الواجبات للإجابات الكاملة.

مثال ٤: ضرب عبارات جبرية

هندسة: أوجد مساحة المستطيل المجاور بأبسط صورة.

م = ل × ض

م = (٣س + ٤) (٣س - ٥)

الحدان الأولان (٣س × ٣س) الحدان في الطرفين (٣س × -٥) + (٤ × ٣س) الحدان الأوسطان -١٥س + ١٢س الحدان الأخيران (٤ × -٥) بسّط

م = ٩س² - ١٥س + ١٢س - ٢٠ م = ٩س² - ٣س - ٢٠

طريقة التوزيع بالترتيب: اضرب ثنائي الحدود عـن طريق إيجاد مجموع حاصل ضرب الحدين الأولين والحدين في الطرفين والحدين الأوسطين والحدين الأخيرين.

٤) هندسة: يمكن إيجاد مساحة معين باستعمال المعادلة م = ١ / ٢ ق × ق ، حيث ق ، ق ، طولا قطري المعين. ما مساحة المعين في الشكل المجاور؟

معلوماتك

العمليات على العبارات الجبرية

الأمثلة ٣-١ بسّط كل عبارة فيما يأتي:

٥ + ٦ جـ

٧ - ٧

٤ + ٥

٣٧ - ١٢

١٨ + ١٢

١٢ - ٣٧

(٤) (٧)

(٣) (٧)

(٢٤) (٧)

هندسة: يمكن إيجاد مساحة المثلث م باستعمال المعادلة م = ١ / ٢ ق × ع ، حيث ق طول القاعدة، (ع) ارتفاع المثلث. احسب مساحة المثلث في الشكل المجاور.

وزارة التعليم 2025 - 1447

الدرس ٢-٩ : العمليات على العبارات الجبرية

--- SECTION: من واقع الحياة --- مثال ٤: ضرب عبارات جبرية هندسة: أوجد مساحة المستطيل المجاور بأبسط صورة. م = ل × ض م = (٣س + ٤) (٣س - ٥) الحدان الأولان (٣س × ٣س) الحدان في الطرفين (٣س × -٥) + (٤ × ٣س) الحدان الأوسطان -١٥س + ١٢س الحدان الأخيران (٤ × -٥) بسّط م = ٩س² - ١٥س + ١٢س - ٢٠ م = ٩س² - ٣س - ٢٠ --- SECTION: قراءة الرياضيات --- طريقة التوزيع بالترتيب: اضرب ثنائي الحدود عـن طريق إيجاد مجموع حاصل ضرب الحدين الأولين والحدين في الطرفين والحدين الأوسطين والحدين الأخيرين. --- SECTION: تحقق من فهمك --- ٤) هندسة: يمكن إيجاد مساحة معين باستعمال المعادلة م = ١ / ٢ ق × ق ، حيث ق ، ق ، طولا قطري المعين. ما مساحة المعين في الشكل المجاور؟ ٤. هندسة: يمكن إيجاد مساحة معين باستعمال المعادلة م = ١ / ٢ ق × ق ، حيث ق ، ق ، طولا قطري المعين. ما مساحة المعين في الشكل المجاور؟ --- SECTION: أضف إلى --- معلوماتك --- SECTION: ملخص المفهوم --- العمليات على العبارات الجبرية --- SECTION: تأكد --- الأمثلة ٣-١ بسّط كل عبارة فيما يأتي: --- SECTION: ١ --- ٥ + ٦ جـ --- SECTION: ٢ --- ٧ - ٧ --- SECTION: ٣ --- ٤ + ٥ --- SECTION: ٤ --- ٣٧ - ١٢ --- SECTION: ٥ --- ١٨ + ١٢ --- SECTION: ٦ --- ١٢ - ٣٧ --- SECTION: ٧ --- (٤) (٧) --- SECTION: ٨ --- (٣) (٧) --- SECTION: ٩ --- (٢٤) (٧) --- SECTION: مثال ٤ --- هندسة: يمكن إيجاد مساحة المثلث م باستعمال المعادلة م = ١ / ٢ ق × ع ، حيث ق طول القاعدة، (ع) ارتفاع المثلث. احسب مساحة المثلث في الشكل المجاور. ٤. هندسة: يمكن إيجاد مساحة المثلث م باستعمال المعادلة م = ١ / ٢ ق × ع ، حيث ق طول القاعدة، (ع) ارتفاع المثلث. احسب مساحة المثلث في الشكل المجاور. وزارة التعليم 2025 - 1447 الدرس ٢-٩ : العمليات على العبارات الجبرية --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: A rectangle with side lengths labeled. The horizontal side is labeled '٣٧ - ٦٧' and the vertical side is labeled '٣٧ + ٥٧'. Context: Used to demonstrate finding the area of a rectangle using algebraic expressions. **DIAGRAM**: Untitled Description: A rhombus with its diagonals drawn. The diagonals are labeled with lengths. One diagonal is labeled '٣٧ - ٥٧' and the other is labeled '٣٧ + ٥٧'. Context: Used to demonstrate finding the area of a rhombus using algebraic expressions for its diagonals. **DIAGRAM**: Untitled Description: A right-angled triangle with base and height labeled. The base is labeled '٥٧ + ٣٧' and the height is labeled '٥٧ + ٣٧'. A right angle symbol is shown. Context: Used to demonstrate finding the area of a triangle using algebraic expressions for its base and height.