فيما سبق - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 المعادلات الجذرية

المفاهيم الأساسية

المعادلات الجذرية: المعادلات التي تحتوي متغيرات تحت الجذر.

الحلول الدخيلة: حلول تظهر عند حل المعادلة الجذرية (بعد التربيع) ولكنها لا تحقق المعادلة الأصلية.

خاصية تربيع طرفي المساواة: إذا ربعت طرفي معادلة صحيحة، فإن المعادلة الناتجة تبقى صحيحة.

خريطة المفاهيم

```markmap

المعادلات الجذرية

تعريفها

معادلات تحتوي متغيرات تحت الجذر

مثال: ع = ٤.٥ \sqrt{ل}

طريقة حلها

عزل المتغير تحت الجذر في طرف

تربيع طرفي المعادلة

حل المعادلة الناتجة

التحقق من الحل في المعادلة الأصلية (للتأكد من عدم وجود حلول دخيلة)

خاصية تربيع طرفي المساواة

إذا كانت أ = ب، فإن أ² = ب²

تطبق لحذف الجذر التربيعي

تطبيق من واقع الحياة

حساب طول غاطس القارب الشراعي

#### باستخدام معادلة السرعة: ع = ٤.٥ \sqrt{ل}

```

نقاط مهمة

• لحل معادلة جذرية، اعزل الحد الجذري أولاً ثم ربّع الطرفين.
• بعد الحل، يجب التحقق بالتعويض في المعادلة الأصلية لاكتشاف أي حلول دخيلة.
• التربيع يحافظ على المساواة إذا بدأنا بمعادلة صحيحة.
• مثال تطبيقي: سرعة القارب الشراعي (ع) مرتبطة بطول غاطسه (ل) بالمعادلة: ع = ٤.٥ \sqrt{ل}

---

حل مثال

مثال ١ من واقع الحياة: إبحار

* المعطيات: سرعة القارب ع = ١٦.٦٥ كم/ساعة، معادلة السرعة: ع = ٤.٥ \sqrt{ل}

* المطلوب: إيجاد طول الغاطس (ل) بالأمتار لأقرب عشر.

* خطوات الحل:

1. عوض قيمة السرعة في المعادلة: ١٦.٦٥ = ٤.٥ \sqrt{ل}

2. اقسم الطرفين على ٤.٥ لعزل الجذر: \frac{١٦.٦٥}{٤.٥} = \sqrt{ل} → ٣.٧ = \sqrt{ل}

3. ربّع طرفي المعادلة للتخلص من الجذر: (٣.٧)^٢ = (\sqrt{ل})^٢ → ١٣.٦٩ = ل

4. النتيجة: طول الغاطس ≈ ١٣.٧ متر.

* التحقق: بالتعويض في المعادلة الأصلية (ل ≈ ١٣.٧):

ع = ٤.٥ \times \sqrt{١٣.٧} ≈ ٤.٥ \times ٣.٧ ≈ ١٦.٦٥ (تطابق المعطى).

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

٣-٩ المعادلات الجذرية

درست جمع عبارات جذرية وطرحها وضربها.

• أحل معادلات جذرية. • أحل معادلات جذرية تتضمن حلولاً دخيلة.

المعادلات الجذرية الحلول الدخيلة

طول غاطس القارب الشراعي هو طول الخط الذي يصنعه مع حافة الماء عندما يكون حاملاً أقصى حمولته. ويمكن تقدير أقصى سرعة للقارب بالكيلومتر/ ساعة باستعمال المعادلة: ع = 4.5√ل، حيث (ل) تمثل طول غاطس القارب بالأمتار.

المعادلات الجذرية: المعادلات التي تحتوي متغيرات تحت الجذر، مثل ع = 4.5√ل تُسمى معادلات جذرية. ولحل مثل هذه المعادلات اجعل المتغير الذي تريد إيجاد قيمته في طرف من المعادلة أولاً، ثم ربّع طرفي المعادلة؛ للتخلص من الجذر.

التعبير اللفظي: إذا ربعت طرفي معادلة صحيحة، فإن المعادلة الناتجة تبقى صحيحة. الرموز: إذا كانت أ = ب، فإن: أ² = ب². مثال: إذا كانت √س = 4، فإن (√س)² = 4² => س = 16

إبحار: يبحر إدريس وموسى في قارب شراعي، سرعته 16.65 كلم/ ساعة. أوجد طول الغاطس إلى أقرب عُشر من المتر بالرجوع إلى فقرة لماذا، حل السؤال التالي: افهم: تعلم سرعة القارب في رحلته والتي لها علاقة بطول غاطس القارب. خطط: يسير القارب بسرعة 16.65 كم/ ساعة ومعادلة السرعة هي: ع = 4.5√ل. حل: ع = 4.5√ل (معادلة سرعة القارب) 16.65 = 4.5√ل (عوض ع = 16.65) 16.65 / 4.5 = 4.5√ل / 4.5 (اقسم على 4.5) 3.7 = √ل (بسط) (3.7)² = (√ل)² (ربع طرفي المعادلة) 13.69 = ل (بسط) طول الغاطس يساوي 13.7 متراً تقريباً. تحقق: تحقق بتعويض الحل في المعادلة الأصلية. ع = 4.5√ل (معادلة سرعة القارب) 16.65 ≈ 4.5√13.7 (عوض ع = 16.65، ل = 13.7) 16.65 ≈ 16.6560799 (اضرب)

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa ٣-٩ المعادلات الجذرية --- SECTION: فيما سبق --- درست جمع عبارات جذرية وطرحها وضربها. --- SECTION: والآن --- • أحل معادلات جذرية. • أحل معادلات جذرية تتضمن حلولاً دخيلة. --- SECTION: المفردات --- المعادلات الجذرية الحلول الدخيلة --- SECTION: لماذا؟ --- طول غاطس القارب الشراعي هو طول الخط الذي يصنعه مع حافة الماء عندما يكون حاملاً أقصى حمولته. ويمكن تقدير أقصى سرعة للقارب بالكيلومتر/ ساعة باستعمال المعادلة: ع = 4.5√ل، حيث (ل) تمثل طول غاطس القارب بالأمتار. المعادلات الجذرية: المعادلات التي تحتوي متغيرات تحت الجذر، مثل ع = 4.5√ل تُسمى معادلات جذرية. ولحل مثل هذه المعادلات اجعل المتغير الذي تريد إيجاد قيمته في طرف من المعادلة أولاً، ثم ربّع طرفي المعادلة؛ للتخلص من الجذر. --- SECTION: مفهوم أساسي: خاصية تربيع طرفي المساواة --- التعبير اللفظي: إذا ربعت طرفي معادلة صحيحة، فإن المعادلة الناتجة تبقى صحيحة. الرموز: إذا كانت أ = ب، فإن: أ² = ب². مثال: إذا كانت √س = 4، فإن (√س)² = 4² => س = 16 --- SECTION: مثال ١ من واقع الحياة: متغير تحت الجذر --- إبحار: يبحر إدريس وموسى في قارب شراعي، سرعته 16.65 كلم/ ساعة. أوجد طول الغاطس إلى أقرب عُشر من المتر بالرجوع إلى فقرة لماذا، حل السؤال التالي: افهم: تعلم سرعة القارب في رحلته والتي لها علاقة بطول غاطس القارب. خطط: يسير القارب بسرعة 16.65 كم/ ساعة ومعادلة السرعة هي: ع = 4.5√ل. حل: ع = 4.5√ل (معادلة سرعة القارب) 16.65 = 4.5√ل (عوض ع = 16.65) 16.65 / 4.5 = 4.5√ل / 4.5 (اقسم على 4.5) 3.7 = √ل (بسط) (3.7)² = (√ل)² (ربع طرفي المعادلة) 13.69 = ل (بسط) طول الغاطس يساوي 13.7 متراً تقريباً. تحقق: تحقق بتعويض الحل في المعادلة الأصلية. ع = 4.5√ل (معادلة سرعة القارب) 16.65 ≈ 4.5√13.7 (عوض ع = 16.65، ل = 13.7) 16.65 ≈ 16.6560799 (اضرب) --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: Untitled Description: QR code for digital lesson link with text 'رابط الدرس الرقمي' and URL 'www.ien.edu.sa'. **IMAGE**: Untitled Description: صورة فوتوغرافية لقارب شراعي خشبي قديم يبحر في الماء، له عدة أشرعة بيضاء. **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: الخاصية | الوصف Rows: Row 1: التعبير اللفظي | إذا ربعت طرفي معادلة صحيحة، فإن المعادلة الناتجة تبقى صحيحة. Row 2: الرموز | إذا كانت أ = ب، فإن: أ² = ب². Row 3: مثال | إذا كانت √س = 4، فإن (√س)² = 4² => س = 16 Context: يوضح خاصية تربيع طرفي المساواة كقاعدة أساسية لحل المعادلات الجذرية. **DIAGRAM**: Untitled Description: تسلسل رياضي يوضح خطوات حل معادلة جذرية لإيجاد طول الغاطس (ل) بمعلومية السرعة (ع). Key Values: ع = 16.65, ل ≈ 13.7 Context: تطبيق عملي لخاصية تربيع الطرفين في سياق واقعي (الإبحار).