الأمثلة ١-٣ - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 9 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

الدرس: الأمثلة ١-٣

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 9 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: تمارين وأسئلة

📝 ملخص الصفحة

📝 تكملة التقويم

هذه الصفحة تكملة لأسئلة تأكد من الصفحة السابقة.

راجع تبويب الواجبات للإجابات الكاملة.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

تدرب وحل المسائل

الأمثلة ١-٣

نوع: محتوى تعليمي

الأمثلة ١-٣ بسّط كل عبارة فيما يأتي:

11

نوع: QUESTION_HOMEWORK

١١) ٦√٩ + ٦√٢

12

نوع: QUESTION_HOMEWORK

١٢) ٣√٦٣ - ٥√٦٣

13

نوع: QUESTION_HOMEWORK

١٣) ٣√٥ + ٢√٣ + ٢√٢ - ٣√٧

14

نوع: QUESTION_HOMEWORK

١٤) √٧ (√٢ + √٣)

15

نوع: QUESTION_HOMEWORK

١٥) √٦ (١٠√٢ + ٢√٣)

16

نوع: QUESTION_HOMEWORK

١٦) ٣√٥ (١٠√٦ - ٣√٦)

17

نوع: QUESTION_HOMEWORK

١٧) (٣√٧ - ٢√٧) (٦√٥ + ١٢√٦)

18

نوع: QUESTION_HOMEWORK

١٨) (٢√٥ + ٥√٣) (٢√١٠ - ٥)

19

نوع: QUESTION_HOMEWORK

١٩) هندسة: أوجد محيط ومساحة مستطيل عرضه ٧√٢ - ٥√٢ وطوله ٧√٣ + ٥√٣.

مثال ٤

نوع: محتوى تعليمي

مثال ٤ بسّط كل عبارة فيما يأتي:

20

نوع: QUESTION_HOMEWORK

٢٠) ٥√١٠ - √١/٥

21

نوع: QUESTION_HOMEWORK

٢١) ٦√٧ + √٣/٧

22

نوع: QUESTION_HOMEWORK

٢٢) ١/٢√٣٢ + ٢√٢ - ٨√٢

23

نوع: QUESTION_HOMEWORK

٢٣) √٨ + ٥/٤√٢٠ - ٣√١٠ - ١/١٠√٨٠

24

نوع: QUESTION_HOMEWORK

٢٤) (٣ - ٥√٧)^٢

25

نوع: QUESTION_HOMEWORK

٢٥) (٢√٦ + ٣√٧)^٢

26

نوع: QUESTION_HOMEWORK

٢٦) لعبة الأفعوانية: تعبر المعادلة ع_١ = √ع_٠^٢ - ٦٤ل عن سرعة الانطلاق (ع_١) بالقدم/ثانية في أدنى نقطة لها عند هبوطها من ارتفاع عمودي (ل) بالأقدام وبسرعة (ع_٠).

الربط مع الحياة

نوع: محتوى تعليمي

الربط مع الحياة لعبة الأفعوانية نموذج مصغر لسكة حديدية ملتوية ترتفع عن الأرض، وتعد من الألعاب الشهيرة والرئيسة في مدن الألعاب الكبيرة، ويقبل عليها الكثيرون وخصوصًا الشباب للتسلية والترفيه، ولما يميزها من المتعة والإثارة.

27

نوع: QUESTION_HOMEWORK

٢٧) استثمار: استثمر عامر مبلغ ٢٢٥٠٠ ريال في التجارة، فأصبح المبلغ ٢٧٠٠٠ ريال بعد سنتين. يمكنك استعمال المعادلة ر = √ع_٢/ع_٠ - ١ لإيجاد معدل الربح السنوي (ر)، حيث تمثل (ع_٠) المبلغ الأصلي، و (ع_٢) المبلغ بعد سنتين. أوجد معدل الربح السنوي للمبلغ الذي استثمره عامر؟

28

نوع: QUESTION_HOMEWORK

٢٨) كهرباء: تستعمل المعادلة ت = √قد/م لحساب شدة التيار الكهربائي بالأمبير (ت)، حيث (قد) قدرة الجهاز بالواط، (م) المقاومة بالأوم. ما شدة التيار الكهربائي في فرن الميكروويف إذا كانت قوة التيار ٨٥٠ واط، ومقاومته ٥ أوم؟ اكتب شدة التيار في أبسط صيغة جذرية، ثم قدّر قيمته إلى أقرب جزء من عشرة.

نوع: محتوى تعليمي

مسائل مهارات التفكير العليا

29

نوع: QUESTION_HOMEWORK

٢٩) تحدّ: حدّد إذا كانت العبارة الآتية صحيحة أو غير صحيحة، وأعط مثالاً أو مثالاً مضادًا: س + ص > √س^٢ + ص^٢ عندما س > ٠، ص > ٠.

نوع: METADATA

١٥٢ الفصل ٩: المعادلات الجذرية والمثلثات وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

🔍 عناصر مرئية

صورة فوتوغرافية للعبة الأفعوانية (Roller Coaster) في مدينة ملاهي، تظهر فيها السكة الحديدية الملتوية والقطار في وضعية مقلوبة، مع سماء زرقاء في الخلفية.

📄 النص الكامل للصفحة

تدرب وحل المسائل --- SECTION: الأمثلة ١-٣ --- الأمثلة ١-٣ بسّط كل عبارة فيما يأتي: --- SECTION: 11 --- ١١) ٦√٩ + ٦√٢ --- SECTION: 12 --- ١٢) ٣√٦٣ - ٥√٦٣ --- SECTION: 13 --- ١٣) ٣√٥ + ٢√٣ + ٢√٢ - ٣√٧ --- SECTION: 14 --- ١٤) √٧ (√٢ + √٣) --- SECTION: 15 --- ١٥) √٦ (١٠√٢ + ٢√٣) --- SECTION: 16 --- ١٦) ٣√٥ (١٠√٦ - ٣√٦) --- SECTION: 17 --- ١٧) (٣√٧ - ٢√٧) (٦√٥ + ١٢√٦) --- SECTION: 18 --- ١٨) (٢√٥ + ٥√٣) (٢√١٠ - ٥) --- SECTION: 19 --- ١٩) هندسة: أوجد محيط ومساحة مستطيل عرضه ٧√٢ - ٥√٢ وطوله ٧√٣ + ٥√٣. --- SECTION: مثال ٤ --- مثال ٤ بسّط كل عبارة فيما يأتي: --- SECTION: 20 --- ٢٠) ٥√١٠ - √١/٥ --- SECTION: 21 --- ٢١) ٦√٧ + √٣/٧ --- SECTION: 22 --- ٢٢) ١/٢√٣٢ + ٢√٢ - ٨√٢ --- SECTION: 23 --- ٢٣) √٨ + ٥/٤√٢٠ - ٣√١٠ - ١/١٠√٨٠ --- SECTION: 24 --- ٢٤) (٣ - ٥√٧)^٢ --- SECTION: 25 --- ٢٥) (٢√٦ + ٣√٧)^٢ --- SECTION: 26 --- ٢٦) لعبة الأفعوانية: تعبر المعادلة ع_١ = √ع_٠^٢ - ٦٤ل عن سرعة الانطلاق (ع_١) بالقدم/ثانية في أدنى نقطة لها عند هبوطها من ارتفاع عمودي (ل) بالأقدام وبسرعة (ع_٠). أ. أ) كم تكون سرعة الأفعوانية عند قمة ارتفاعها ٢٢٥ قدمًا كي تصل سرعتها إلى ١٢٠ قدمًا/ثانية في أدنى نقطة لها؟ ب. ب) فسّر لماذا لا تكافئ المعادلة ع_١ = ع_٠ - ٨√ل المعادلة المعطاة؟ --- SECTION: الربط مع الحياة --- الربط مع الحياة لعبة الأفعوانية نموذج مصغر لسكة حديدية ملتوية ترتفع عن الأرض، وتعد من الألعاب الشهيرة والرئيسة في مدن الألعاب الكبيرة، ويقبل عليها الكثيرون وخصوصًا الشباب للتسلية والترفيه، ولما يميزها من المتعة والإثارة. --- SECTION: 27 --- ٢٧) استثمار: استثمر عامر مبلغ ٢٢٥٠٠ ريال في التجارة، فأصبح المبلغ ٢٧٠٠٠ ريال بعد سنتين. يمكنك استعمال المعادلة ر = √ع_٢/ع_٠ - ١ لإيجاد معدل الربح السنوي (ر)، حيث تمثل (ع_٠) المبلغ الأصلي، و (ع_٢) المبلغ بعد سنتين. أوجد معدل الربح السنوي للمبلغ الذي استثمره عامر؟ --- SECTION: 28 --- ٢٨) كهرباء: تستعمل المعادلة ت = √قد/م لحساب شدة التيار الكهربائي بالأمبير (ت)، حيث (قد) قدرة الجهاز بالواط، (م) المقاومة بالأوم. ما شدة التيار الكهربائي في فرن الميكروويف إذا كانت قوة التيار ٨٥٠ واط، ومقاومته ٥ أوم؟ اكتب شدة التيار في أبسط صيغة جذرية، ثم قدّر قيمته إلى أقرب جزء من عشرة. مسائل مهارات التفكير العليا --- SECTION: 29 --- ٢٩) تحدّ: حدّد إذا كانت العبارة الآتية صحيحة أو غير صحيحة، وأعط مثالاً أو مثالاً مضادًا: س + ص > √س^٢ + ص^٢ عندما س > ٠، ص > ٠. ١٥٢ الفصل ٩: المعادلات الجذرية والمثلثات وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: Untitled Description: صورة فوتوغرافية للعبة الأفعوانية (Roller Coaster) في مدينة ملاهي، تظهر فيها السكة الحديدية الملتوية والقطار في وضعية مقلوبة، مع سماء زرقاء في الخلفية. Context: تُستخدم الصورة لتوضيح السياق الواقعي لمسألة الفيزياء المتعلقة بسرعة الانطلاق والارتفاع العمودي في لعبة الأفعوانية.

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 20 بطاقة لهذه الصفحة

بسّط العبارة التالية: ٦√٩ + ٦√٢

  • أ) ١٨ + ٦√٢
  • ب) ٦√١١
  • ج) ٩ + ٦√٢
  • د) ٧٢√٢

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: ١٨ + ٦√٢

الشرح: ١. بسّط الجذر √٩، والذي يساوي ٣. ٢. اضرب ٦ × ٣ لتحصل على ١٨. ٣. أضف ١٨ إلى ٦√٢، حيث لا يمكن جمع الجذور غير المتشابهة.

تلميح: تذكر تبسيط الجذور الكاملة قبل جمع الحدود.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

بسّط العبارة التالية: ٣√٦٣ - ٥√٦٣

  • أ) -٦√٧
  • ب) -٢√٦٣
  • ج) ٨√٧
  • د) ٦√٧

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: -٦√٧

الشرح: ١. بما أن الجذور متشابهة (√٦٣)، اطرح المعاملات: ٣ - ٥ = -٢، لتصبح العبارة -٢√٦٣. ٢. بسّط √٦٣ عن طريق إيجاد أكبر مربع كامل بداخله: √٦٣ = √(٩ × ٧) = ٣√٧. ٣. اضرب الناتج في المعامل الخارجي: -٢ × ٣√٧ = -٦√٧.

تلميح: اطرح المعاملات للجذور المتشابهة أولاً، ثم بسّط الجذر الناتج.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

بسّط العبارة التالية: √٧ (√٢ + √٣)

  • أ) √١٤ + √٢١
  • ب) √٧ + √٥
  • ج) √٣٥
  • د) √٩٨ + √١٤٧

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: √١٤ + √٢١

الشرح: ١. وزّع √٧ على كل حد داخل القوس: (√٧ × √٢) + (√٧ × √٣). ٢. اضرب الأعداد تحت الجذر لكل حد: √ (٧ × ٢) + √ (٧ × ٣). ٣. بسّط لتصبح: √١٤ + √٢١. لا يمكن جمع الجذور غير المتشابهة.

تلميح: استخدم خاصية التوزيع لضرب الجذر خارج القوس في كل حد داخل القوس.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

بسّط العبارة التالية: ٣√٥ + ٢√٣ + ٢√٢ - ٣√٧

  • أ) ٧√١٧ - √٧
  • ب) ٣√٥ + ٢√٣ + ٢√٢ - ٣√٧
  • ج) ٥√٥ - √٧
  • د) ١٨√٣٧

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ٣√٥ + ٢√٣ + ٢√٢ - ٣√٧

الشرح: العبارة تتكون من حدود جذرية ذات أساسات مختلفة (٥، ٣، ٢، ٧) ولا يمكن تبسيطها أو جمعها أكثر من ذلك. لذلك، تبقى العبارة كما هي في أبسط صورة.

تلميح: تذكر أن الجذور التربيعية لا يمكن جمعها أو طرحها إلا إذا كانت لها نفس المجذور.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

بسّط العبارة التالية: ٣√٥ (١٠√٦ - ٣√٦)

  • أ) ٧٠√٣٠ - ٩√٣٠
  • ب) ٧√٣٠
  • ج) ٢١√٣٠
  • د) ٢١√١١

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ٢١√٣٠

الشرح: ١. بسّط ما بداخل القوس أولاً: ١٠√٦ - ٣√٦ = (١٠ - ٣)√٦ = ٧√٦. ٢. اضرب الناتج في ٣√٥: (٧√٦) × (٣√٥) = (٧ × ٣)√(٦ × ٥) = ٢١√٣٠.

تلميح: ابدأ بتبسيط العبارة داخل الأقواس ثم اضرب الجذور.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

بسّط العبارة التالية: (٣√٧ - ٢√٧) (٦√٥ + ١٢√٦)

  • أ) √٧ (٦√٥ + ١٢√٦)
  • ب) ٦√٣٥ + ١٢√٤٢
  • ج) ٤٢√٣٥ + ٨٤√٤٢
  • د) ٦√١٢ + ٦√٤٢

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ٦√٣٥ + ١٢√٤٢

الشرح: ١. بسّط القوس الأول: ٣√٧ - ٢√٧ = (٣ - ٢)√٧ = √٧. ٢. اضرب √٧ في كل حد في القوس الثاني: √٧ (٦√٥ + ١٢√٦) = ٦√(٧×٥) + ١٢√(٧×٦). ٣. الناتج: ٦√٣٥ + ١٢√٤٢.

تلميح: بسّط كل قوس على حدة قبل إجراء عملية الضرب.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

بسّط العبارة التالية: √٦ (١٠√٢ + ٢√٣)

  • أ) ٢٠√٣ + ٦√٢
  • ب) ١٠√١٢ + ٢√١٨
  • ج) ٢٠√٣ + ٦√٦
  • د) ١٢√٣ + ٨√٢

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: ٢٠√٣ + ٦√٢

الشرح: ١. وزّع √٦ على الحدود داخل القوس: (√٦ × ١٠√٢) + (√٦ × ٢√٣) = ١٠√١٢ + ٢√١٨. ٢. بسّط √١٢: √ (٤ × ٣) = ٢√٣. ٣. بسّط √١٨: √ (٩ × ٢) = ٣√٢. ٤. استبدل الجذور المبسّطة: ١٠(٢√٣) + ٢(٣√٢) = ٢٠√٣ + ٦√٢.

تلميح: وزّع الجذر الخارجي أولاً، ثم بسّط كل جذر ناتج عن عملية الضرب.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أي من العبارات التالية تصف العلاقة س + ص > √س^٢ + ص^٢ عندما س > ٠، ص > ٠؟

  • أ) صحيحة دائماً
  • ب) صحيحة أحياناً
  • ج) غير صحيحة أبداً
  • د) لا يمكن تحديد ذلك

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: صحيحة دائماً

الشرح: ١. بتربيع الطرفين، تصبح المتباينة: (س + ص)² > (√س² + ص²)². ٢. بفك القوس على اليسار: س² + ٢س ص + ص² > س² + ص². ٣. بطرح س² و ص² من الطرفين: ٢س ص > ٠. ٤. بما أن س > ٠ و ص > ٠، فإن حاصل ضربهما س ص يكون دائماً موجباً، وبالتالي ٢س ص > ٠ دائماً. هذا يثبت أن العبارة الأصلية صحيحة دائماً.

تلميح: حاول تربيع طرفي المتباينة وتبسيطها لمعرفة العلاقة الحقيقية.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: صعب

بسّط العبارة التالية: (٢√٥ + ٥√٣) (٢√١٠ - ٥)

  • أ) ٢٠√٢ - ١٠√٥ + ١٠√٣٠ - ٢٥√٣
  • ب) ٤√٥٠ - ١٠√٥ + ١٠√٣٠ - ٢٥√٣
  • ج) ٢٠√٢ + ١٠√٣٠ - ٥٠√٣
  • د) ٨√٥٠ - ١٠√٥ + ١٠√٣٠ - ٢٥√٣

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: ٢٠√٢ - ١٠√٥ + ١٠√٣٠ - ٢٥√٣

الشرح: ١. استخدم طريقة التوزيع (FOIL): - الحد الأول: (٢√٥)(٢√١٠) = ٤√٥٠ = ٤√(٢٥×٢) = ٤ × ٥√٢ = ٢٠√٢. - الحد الخارجي: (٢√٥)(-٥) = -١٠√٥. - الحد الداخلي: (٥√٣)(٢√١٠) = ١٠√٣٠. - الحد الأخير: (٥√٣)(-٥) = -٢٥√٣. ٢. اجمع الحدود: ٢٠√٢ - ١٠√٥ + ١٠√٣٠ - ٢٥√٣.

تلميح: استخدم طريقة التوزيع (FOIL) لتوزيع الحدود ثم بسّط أي جذور ممكنة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

هندسة: أوجد محيط ومساحة مستطيل عرضه ٧√٢ - ٥√٢ وطوله ٧√٣ + ٥√٣.

  • أ) المحيط = ١٢√٥، المساحة = ٢٤√٦
  • ب) المحيط = ٢٤√٣ + ٤√٢، المساحة = ٢٤√٦
  • ج) المحيط = ١٤√٦ + ١٠√٥، المساحة = ٧٠√٦
  • د) المحيط = ٦√٢ + ١٢√٣، المساحة = ٢٤√٦

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: المحيط = ٢٤√٣ + ٤√٢، المساحة = ٢٤√٦

الشرح: ١. بسّط العرض: ٧√٢ - ٥√٢ = (٧-٥)√٢ = ٢√٢. ٢. بسّط الطول: ٧√٣ + ٥√٣ = (٧+٥)√٣ = ١٢√٣. ٣. احسب المحيط: ٢(الطول + العرض) = ٢(١٢√٣ + ٢√٢) = ٢٤√٣ + ٤√٢. ٤. احسب المساحة: الطول × العرض = (١٢√٣)(٢√٢) = (١٢×٢)√(٣×٢) = ٢٤√٦.

تلميح: ابدأ بتبسيط تعبيرات الطول والعرض قبل حساب المحيط والمساحة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

بسّط العبارة التالية: ٥√١٠ - √١/٥

  • أ) ٥√١٠ - √٥
  • ب) (٢٥√١٠ - ٥) / ٥
  • ج) (٢٥√١٠ - √٥) / ٥
  • د) (٢٤√١٠) / ٥

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: (٢٥√١٠ - √٥) / ٥

الشرح: ١. نبسط الحد الثاني: √١/٥ = √١ / √٥ = ١/√٥ ٢. نضرب البسط والمقام في √٥ لإنطاق المقام: (١/√٥) * (√٥/√٥) = √٥/٥ ٣. تصبح العبارة: ٥√١٠ - √٥/٥ ٤. نوحد المقامات بجعل ٥√١٠ = (٢٥√١٠)/٥ ٥. نجمع الحدين: (٢٥√١٠ - √٥) / ٥

تلميح: تذكر كيفية إنطاق المقام في الكسور التي تحتوي على جذور تربيعية وكيفية توحيد المقامات.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

بسّط العبارة التالية: ٦√٧ + √٣/٧

  • أ) ٦√٧ + √٣/√٧
  • ب) (٤٢√٧ + √٢١) / ٧
  • ج) (٤٥√٧) / ٧
  • د) ٦√٧ + √٢١

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: (٤٢√٧ + √٢١) / ٧

الشرح: ١. نبسط الحد الثاني: √٣/٧ = √٣ / √٧ ٢. نضرب البسط والمقام في √٧ لإنطاق المقام: (√٣ * √٧) / (√٧ * √٧) = √٢١ / ٧ ٣. تصبح العبارة: ٦√٧ + √٢١/٧ ٤. نوحد المقامات: ٦√٧ = (٤٢√٧)/٧ ٥. نجمع الحدين: (٤٢√٧ + √٢١) / ٧

تلميح: تذكر طريقة إنطاق المقام عندما يكون جذراً تربيعياً، ثم توحيد المقامات.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

بسّط العبارة التالية: ١/٢√٣٢ + ٢√٢ - ٨√٢

  • أ) -٤√٢
  • ب) -٢√٢
  • ج) ٤√٢
  • د) -٤

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: -٤√٢

الشرح: ١. نبسط √٣٢: √٣٢ = √(١٦ × ٢) = ٤√٢ ٢. نعوض في العبارة: (١/٢) × ٤√٢ + ٢√٢ - ٨√٢ ٣. نضرب (١/٢) × ٤√٢ = ٢√٢ ٤. تصبح العبارة: ٢√٢ + ٢√٢ - ٨√٢ ٥. نجمع الحدود المتشابهة: (٢ + ٢ - ٨)√٢ = -٤√٢

تلميح: بسّط كل جذر تربيعي أولاً، ثم اجمع الحدود الجذرية المتشابهة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

بسّط العبارة التالية: √٨ + ٥/٤√٢٠ - ٣√١٠ - ١/١٠√٨٠

  • أ) ٢√٢ + (١٧/١٠)√٥ - ٣√١٠
  • ب) ٢√٢ + (٢٩/١٠)√٥ - ٣√١٠
  • ج) ٢√٢ + (٣/٧)√٥ - ٣√١٠
  • د) ٢√٢ + (٢١/١٠)√٥ - ٣√١٠

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: ٢√٢ + (٢١/١٠)√٥ - ٣√١٠

الشرح: ١. بسّط كل جذر: √٨ = ٢√٢، √٢٠ = ٢√٥، √٨٠ = ٤√٥. ٢. عوض: ٢√٢ + (٥/٤)(٢√٥) - ٣√١٠ - (١/١٠)(٤√٥) ٣. اختصر المعاملات: ٢√٢ + (٥/٢)√٥ - ٣√١٠ - (٢/٥)√٥ ٤. اجمع حدود √٥: (٥/٢ - ٢/٥)√٥ = (٢٥/١٠ - ٤/١٠)√٥ = (٢١/١٠)√٥ ٥. الناتج النهائي: ٢√٢ + (٢١/١٠)√٥ - ٣√١٠

تلميح: بسّط كل حد جذري على حدة، ثم اجمع أو اطرح الحدود المتشابهة فقط.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

بسّط العبارة التالية: (٣ - ٥√٧)^٢

  • أ) ٤٤ - ٣٠√٧
  • ب) ١٨٤ - ٣٠√٧
  • ج) ١٨٤
  • د) ١٨٤ + ٣٠√٧

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ١٨٤ - ٣٠√٧

الشرح: ١. استخدم قاعدة مربع ثنائي الحد: (أ - ب)² = أ² - ٢أب + ب². ٢. عوض: أ = ٣، ب = ٥√٧. ٣. أ² = ٣² = ٩. ٤. ٢أب = ٢ × ٣ × ٥√٧ = ٣٠√٧. ٥. ب² = (٥√٧)² = ٥² × (√٧)² = ٢٥ × ٧ = ١٧٥. ٦. اجمع الحدود: ٩ - ٣٠√٧ + ١٧٥ = ١٨٤ - ٣٠√٧.

تلميح: تذكر قاعدة مربع الفرق بين حدين: (أ - ب)² = أ² - ٢أب + ب².

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

لعبة الأفعوانية: تعبر المعادلة ع_١ = √ع_٠^٢ - ٦٤ل عن سرعة الانطلاق (ع_١) بالقدم/ثانية في أدنى نقطة لها عند هبوطها من ارتفاع عمودي (ل) بالأقدام وبسرعة (ع_٠). كم تكون سرعة الأفعوانية عند قمة ارتفاعها ٢٢٥ قدمًا كي تصل سرعتها إلى ١٢٠ قدمًا/ثانية في أدنى نقطة لها؟

  • أ) 120√2 قدم/ثانية
  • ب) 60√2 قدم/ثانية
  • ج) 120 قدم/ثانية
  • د) 240 قدم/ثانية

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: 120√2 قدم/ثانية

الشرح: ١. نعوض ع_١ = 120 و ل = 225 في المعادلة: 120 = √ع_٠^٢ - ٦٤(٢٢٥) ٢. نحسب ٦٤ × ٢٢٥ = ١٤٤٠٠، فتصبح: 120 = √ع_٠^٢ - ١٤٤٠٠ ٣. نربع الطرفين: 120^2 = ع_٠^٢ - ١٤٤٠٠، أي 14400 = ع_٠^٢ - ١٤٤٠٠ ٤. نضيف 14400 للطرفين: ع_٠^٢ = 14400 + 14400 = 28800 ٥. نأخذ الجذر التربيعي: ع_٠ = √28800 = √(14400 × 2) = 120√2 قدم/ثانية.

تلميح: عوض بالقيم المعطاة في المعادلة، ثم قم بتربيع الطرفين للتخلص من الجذر، وأخيراً حل المعادلة لإيجاد ع_٠.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

فسّر لماذا لا تكافئ المعادلة ع_١ = ع_٠ - ٨√ل المعادلة المعطاة ع_١ = √ع_٠^٢ - ٦٤ل؟

  • أ) المعادلتان غير متكافئتين لأن الجذر التربيعي لحاصل طرح عددين لا يساوي حاصل طرح الجذرين التربيعيين لهما (أي √أ² - ب² ≠ أ - ب).
  • ب) المعادلتان متكافئتان، ولكن يجب تبسيط ٨√ل بطريقة مختلفة.
  • ج) المعادلتان غير متكافئتين لأن قيمة 'ل' يجب أن تكون سالبة لكي تتساوى المعادلتان.
  • د) المعادلتان غير متكافئتين لأن ع_٠^٢ لا يمكن أن يطرح منه ٦٤ل داخل الجذر.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: المعادلتان غير متكافئتين لأن الجذر التربيعي لحاصل طرح عددين لا يساوي حاصل طرح الجذرين التربيعيين لهما (أي √أ² - ب² ≠ أ - ب).

الشرح: المعادلة الأولى هي ع_١ = √ع_٠^٢ - ٦٤ل. المعادلة الثانية هي ع_١ = ع_٠ - ٨√ل. الجذر التربيعي لـ ٦٤ل هو ٨√ل. ولكن √ع_٠^٢ - ٦٤ل لا يساوي √ع_٠^٢ - √٦٤ل. بشكل عام، √أ² - ب² ≠ أ - ب إلا في حالات خاصة جداً، وهذا لا ينطبق على هذه المعادلة.

تلميح: تذكر خصائص الجذور التربيعية. هل الجذر التربيعي لحاصل طرح مقدارين يساوي طرح جذورهما؟

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: صعب

استثمار: استثمر عامر مبلغ ٢٢٥٠٠ ريال في التجارة، فأصبح المبلغ ٢٧٠٠٠ ريال بعد سنتين. يمكنك استعمال المعادلة ر = √ع_٢/ع_٠ - ١ لإيجاد معدل الربح السنوي (ر)، حيث تمثل (ع_٠) المبلغ الأصلي، و (ع_٢) المبلغ بعد سنتين. أوجد معدل الربح السنوي للمبلغ الذي استثمره عامر؟

  • أ) 9.54% تقريباً
  • ب) 20% تقريباً
  • ج) 1.2% تقريباً
  • د) 5.4% تقريباً

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: 9.54% تقريباً

الشرح: ١. نعوض في المعادلة ر = √ع_٢/ع_٠ - ١ بقيم ع_٠ = 22500 و ع_٢ = 27000. ٢. ر = √(27000 / 22500) - 1 ٣. نبسّط الكسر: 27000 / 22500 = 1.2 ٤. ر = √1.2 - 1 ٥. نحسب √1.2 ≈ 1.0954 ٦. ر = 1.0954 - 1 = 0.0954 ٧. كنسبة مئوية: 0.0954 × 100% ≈ 9.54%.

تلميح: عوض بقيمة المبلغ الأصلي (ع_٠) والمبلغ بعد سنتين (ع_٢) في المعادلة المعطاة، ثم بسّط واحسب قيمة 'ر'.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

كهرباء: تستعمل المعادلة ت = √قد/م لحساب شدة التيار الكهربائي بالأمبير (ت)، حيث (قد) قدرة الجهاز بالواط، (م) المقاومة بالأوم. ما شدة التيار الكهربائي في فرن الميكروويف إذا كانت قوة التيار ٨٥٠ واط، ومقاومته ٥ أوم؟ اكتب شدة التيار في أبسط صيغة جذرية، ثم قدّر قيمته إلى أقرب جزء من عشرة.

  • أ) √170 أمبير (تقريباً 13.0 أمبير)
  • ب) √855 أمبير (تقريباً 29.2 أمبير)
  • ج) √17 أمبير (تقريباً 4.1 أمبير)
  • د) 170 أمبير (بدون جذر)

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: √170 أمبير (تقريباً 13.0 أمبير)

الشرح: ١. نعوض في المعادلة ت = √قد/م بقيم قد = 850 و م = 5. ٢. ت = √850 / 5 ٣. نبسّط الكسر: 850 / 5 = 170 ٤. ت = √170. هذا هو أبسط صيغة جذرية لأن 170 = 2 × 5 × 17، ولا يوجد عوامل مربعة كاملة. ٥. لتقدير القيمة: 13² = 169 و 14² = 196. إذن، √170 قريب جداً من 13. ٦. باستخدام الآلة الحاسبة، √170 ≈ 13.038. ٧. بالتقريب لأقرب جزء من عشرة، تكون شدة التيار حوالي 13.0 أمبير.

تلميح: عوض بقيم القدرة (قد) والمقاومة (م) في المعادلة. بسّط الكسر تحت الجذر، ثم قدر قيمة الجذر.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حدد إذا كانت العبارة الآتية صحيحة أو غير صحيحة، وأعط مثالاً أو مثالاً مضادًا: س + ص > √س^٢ + ص^٢ عندما س > ٠، ص > ٠.

  • أ) صحيحة دائماً
  • ب) صحيحة أحياناً
  • ج) غير صحيحة أبداً
  • د) لا يمكن تحديد ذلك

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: صحيحة دائماً

الشرح: لنتحقق من المتباينة س + ص > √س^٢ + ص^٢. بما أن س > ٠ وص > ٠، فإن كلا الطرفين موجب، لذا يمكن تربيع الطرفين دون تغيير اتجاه المتباينة. (س + ص)² = س² + 2س ص + ص² (√س^٢ + ص^٢)² = س² + ص² بمقارنة س² + 2س ص + ص² بـ س² + ص²، نجد أن الفرق بينهما هو 2س ص. بما أن س > ٠ وص > ٠، فإن 2س ص دائمًا موجب (2س ص > ٠). إذن، س² + 2س ص + ص² دائمًا أكبر من س² + ص². وبالتالي (س + ص)² > (√س^٢ + ص^٢)². بأخذ الجذر التربيعي للطرفين (مع العلم أنهما موجبان)، نستنتج أن س + ص > √س^٢ + ص^٢ دائمًا. مثال: إذا كانت س=3، ص=4، فإن س+ص = 7، و √(س²+ص²) = √(9+16) = √25 = 5. وبالفعل 7 > 5.

تلميح: حاول تربيع طرفي المتباينة. تذكر أن (س + ص)² = س² + 2س ص + ص².

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: صعب