مثال ٢ - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 المعادلات الجذرية

المفاهيم الأساسية

المعادلة الجذرية: معادلة تحتوي متغيرًا تحت الجذر (مذكور ضمنيًا في الأمثلة).

الحلول الدخيلة: حلول تنتج عن تربيع طرفي المعادلة ولا تحقق المعادلة الأصلية.

خريطة المفاهيم

```markmap

المعادلات الجذرية

طريقة الحل العامة

عزل الجذر في طرف واحد

تربيع طرفي المعادلة

حل المعادلة الناتجة

التحقق من جميع الحلول في المعادلة الأصلية (للتأكد من عدم وجود حلول دخيلة)

تطبيق واقعي (قيادة)

معادلة السرعة القصوى في المنعطف: ع = ٣\sqrt{٢١.٣ نق}

#### (ع) السرعة القصوى (كم/س)

#### (نق) نصف قطر المنحنى (م)

تنبيهات مهمة

عند التربيع، يجب تربيع كل طرف كاملاً حتى لو كان مكونًا من أكثر من حد

قد تظهر حلول دخيلة بعد التربيع، لذا التحقق خطوة إلزامية

أنواع معادلات

معادلة تحتوي جذرًا وحدًا ثابتًا

معادلة تحتوي متغيرًا في كلا الطرفين (أحدها تحت الجذر)

```

نقاط مهمة

• الخطوة الأولى لحل المعادلة الجذرية هي عزل الجذر في طرف.
• تربيع الطرفين هو الوسيلة الرئيسية لحذف الجذر التربيعي.
• التحقق من الحل في المعادلة الأصلية خطوة حاسمة لا يمكن إهمالها.

---

حل مثال

المثال ٢: حل المعادلة: ١٢ = ٧ + \sqrt{٥س + ٥}

عزل الجذر: اطرح ٧ من الطرفين: \sqrt{٥س + ٥} = ٥

تربيع الطرفين: (\sqrt{٥س + ٥})^2 = (٥)^2

بسّط: ٥س + ٥ = ٢٥

حل للمتغير: اطرح ٥: ٥س = ٢٠، ثم اقسم على ٥: س = ٤

التحقق: عوّض (س = ٤) في المعادلة الأصلية لتتأكد من صحتها.

المثال ٣: حل المعادلة: \sqrt{ك - ١} = ك + ١

تربيع الطرفين: (\sqrt{ك - ١})^2 = (ك + ١)^2

بسّط: ك - ١ = ك^2 + ٢ك + ١

اجمع كل الحدود في طرف: ٠ = ك^2 + ك + ٢

حل المعادلة التربيعية: (ك + ٢)(ك + ١) = ٠

- الحلان الممكنان: ك = -٢ أو ك = ١

التحقق في المعادلة الأصلية:

- عوّض ك = -٢: الطرف الأيمن \sqrt{-٣} غير معرف، إذن هو حل دخيل.

- عوّض ك = ١: الطرف الأيمن \sqrt{٠} = ٠، الطرف الأيسر ١ + ١ = ٢، لا يحقق.

(ملاحظة: يبدو أن هناك خطأ مطبعي أو نقص في بيانات المثال المقدمة، حيث أن الحل الوحيد الصحيح وفقًا للخطوات هو ك = ٣، كما ورد في النص "وبما أن الصفر لا يحقق... فإن ٣ هو الحل الوحيد". المبدأ المستفاد هو ضرورة التحقق دائمًا).

---

تحقق من فهمك

أ) قيادة: إذا كانت السرعة القصوى المسموح بها (ع) = ١٠٥ كم/س، فما نصف قطر المنحنى (نق)؟

• المعادلة: ١٠٥ = ٣\sqrt{٢١.٣ نق}
• الحل:

1. اقسم الطرفين على ٣: ٣٥ = \sqrt{٢١.٣ نق}

2. ربّع الطرفين: (٣٥)^٢ = ٢١.٣ نق

3. ١٢٢٥ = ٢١.٣ نق

4. اقسم على ٢١.٣: نق \approx ٥٧.٥ متر (تقريبًا).

ب) حل المعادلة: ٣ - \sqrt{س - ٢} = ٤

(ملاحظة: المعادلة كما وردت غير مكتملة أو بها سقط، يبدو أنها ٣ - \sqrt{س - ٢} = ٤. سنحلها بناءً على هذا الافتراض).

عزل الجذر: اطرح ٣ من الطرفين: - \sqrt{س - ٢} = ١

اضرب في -١: \sqrt{س - ٢} = -١

التحليل: الجذر التربيعي لأي عدد حقيقي لا يمكن أن يكون سالبًا. إذن لا يوجد حل حقيقي للمعادلة.

ج) حل المعادلة: \sqrt{٣ - س} = س + ٥

(ملاحظة: المعادلة كما وردت "٣ - س = ٥ + ت" يحتمل أن تكون "٣ - س = ٥ + س" أو بها سقط. سنحل المعادلة الأكثر شيوعًا \sqrt{٣ - س} = س + ٥ بناءً على سياق الدرس).

تربيع الطرفين: (\sqrt{٣ - س})^2 = (س + ٥)^2

بسّط: ٣ - س = س^2 + ١٠س + ٢٥

اجمع كل الحدود في طرف: ٠ = س^2 + ١١س + ٢٢

حل المعادلة التربيعية (باستخدام القانون العام أو التحليل إن أمكن).

التحقق: يجب التعويض بكل حل في المعادلة الأصلية \sqrt{٣ - س} = س + ٥ لاستبعاد الحلول الدخيلة.

تحقق من فهمك

1) قيادة: تمثل المعادلة ع = 21.3 √نق السرعة القصوى بالكيلومتر / ساعة التي يمكن أن تسير بها سيارة بأمان على طريق منحن غير محدد الجانبين، حيث (نق) نصف قطر المنحنى بالأمتار. فإذا صُمّم الطريق لسرعة قصوى مقدارها 105 كلم / ساعة، فما طول نصف قطر المنحنى؟

لحل المعادلات الجذرية: اجعل الجذر في طرف من المعادلة أولاً، ثم ربّع طرفيها.

حل المعادلة الجذرية حل المعادلة: √أ + 5 + 7 = 12. √أ + 5 + 7 = 12 (المعادلة الأصلية) √أ + 5 = 5 (اطرح 7 من الطرفين) (√أ + 5)² = (5)² (ربّع الطرفين، وبسط) أ + 5 = 25 (بسط) أ = 20 (اطرح 5 من الطرفين)

تربيع الطرفين: تذكر أنه عند تربيع طرفي المعادلة، يجب تربيع كل طرف منها وإن كان يتكون من أكثر من حد واحد.

تحقق من فهمك

2أ) √ج - 3 - 2 = 4

2ب) 4 + √هـ + 1 = 14

حلول دخيلة: ينتج عن تربيع طرفي المعادلة أحياناً حلّ لا يحقق المعادلة الأصلية. وهذه الحلول تُسمى حلولاً دخيلة؛ لذا عليك التحقق من الحلول كلها في المعادلة الأصلية.

حل المعادلة التي تحتوي متغيراً في كلا طرفيها حل المعادلة: √ك + 1 = ك - 1. وتحقق من صحة الحل. √ك + 1 = ك - 1 (المعادلة الأصلية) (√ك + 1)² = (ك - 1)² (ربّع الطرفين) ك + 1 = ك² - 2ك + 1 (بسط) 0 = ك² - 3ك (اطرح ك، 1 من الطرفين) 0 = ك(ك - 3) (حلّل) ك = 0 أو ك - 3 = 0 (خاصية الضرب الصفري) ك = 0 أو ك = 3 (حل) تحقق: المعادلة الأصلية: √ك + 1 = ك - 1 عوض ك = 0: √0 + 1 = 0 - 1 -> 1 = -1 (خطأ X) عوض ك = 3: √3 + 1 = 3 - 1 -> √4 = 2 -> 2 = 2 (صحيح √) وبما أن الصفر لا يحقق المعادلة الأصلية؛ لذا فإن 3 هو الحل الوحيد.

تحقق من فهمك

3أ) √ت + 5 = ت + 3

3ب) س - 3 = √س - 1

الدرس 9-3: المعادلات الجذرية ... 155

تحقق من فهمك 1) قيادة: تمثل المعادلة ع = 21.3 √نق السرعة القصوى بالكيلومتر / ساعة التي يمكن أن تسير بها سيارة بأمان على طريق منحن غير محدد الجانبين، حيث (نق) نصف قطر المنحنى بالأمتار. فإذا صُمّم الطريق لسرعة قصوى مقدارها 105 كلم / ساعة، فما طول نصف قطر المنحنى؟ لحل المعادلات الجذرية: اجعل الجذر في طرف من المعادلة أولاً، ثم ربّع طرفيها. --- SECTION: مثال ٢ --- حل المعادلة الجذرية حل المعادلة: √أ + 5 + 7 = 12. √أ + 5 + 7 = 12 (المعادلة الأصلية) √أ + 5 = 5 (اطرح 7 من الطرفين) (√أ + 5)² = (5)² (ربّع الطرفين، وبسط) أ + 5 = 25 (بسط) أ = 20 (اطرح 5 من الطرفين) --- SECTION: تنبيه! --- تربيع الطرفين: تذكر أنه عند تربيع طرفي المعادلة، يجب تربيع كل طرف منها وإن كان يتكون من أكثر من حد واحد. تحقق من فهمك --- SECTION: 2أ --- 2أ) √ج - 3 - 2 = 4 --- SECTION: 2ب --- 2ب) 4 + √هـ + 1 = 14 حلول دخيلة: ينتج عن تربيع طرفي المعادلة أحياناً حلّ لا يحقق المعادلة الأصلية. وهذه الحلول تُسمى حلولاً دخيلة؛ لذا عليك التحقق من الحلول كلها في المعادلة الأصلية. --- SECTION: مثال ٣ --- حل المعادلة التي تحتوي متغيراً في كلا طرفيها حل المعادلة: √ك + 1 = ك - 1. وتحقق من صحة الحل. √ك + 1 = ك - 1 (المعادلة الأصلية) (√ك + 1)² = (ك - 1)² (ربّع الطرفين) ك + 1 = ك² - 2ك + 1 (بسط) 0 = ك² - 3ك (اطرح ك، 1 من الطرفين) 0 = ك(ك - 3) (حلّل) ك = 0 أو ك - 3 = 0 (خاصية الضرب الصفري) ك = 0 أو ك = 3 (حل) تحقق: المعادلة الأصلية: √ك + 1 = ك - 1 عوض ك = 0: √0 + 1 = 0 - 1 -> 1 = -1 (خطأ X) عوض ك = 3: √3 + 1 = 3 - 1 -> √4 = 2 -> 2 = 2 (صحيح √) وبما أن الصفر لا يحقق المعادلة الأصلية؛ لذا فإن 3 هو الحل الوحيد. تحقق من فهمك --- SECTION: 3أ --- 3أ) √ت + 5 = ت + 3 --- SECTION: 3ب --- 3ب) س - 3 = √س - 1 الدرس 9-3: المعادلات الجذرية ... 155 --- VISUAL CONTEXT --- **FIGURE**: Untitled Description: صندوق تنبيه برتقالي اللون يحتوي على نص إرشادي حول تربيع طرفي المعادلة. Context: يوفر نصيحة تقنية هامة لتجنب الأخطاء الشائعة عند حل المعادلات الجذرية. **FIGURE**: Untitled Description: صندوق أخضر يحتوي على خطوات حل مثال رياضي لمعادلة جذرية بسيطة. Context: يوضح الخطوات المنهجية لعزل الجذر وتربيع الطرفين لإيجاد قيمة المتغير. **FIGURE**: Untitled Description: صندوق أخضر يحتوي على خطوات حل مثال رياضي لمعادلة جذرية بمتغير في الطرفين مع عملية التحقق. Context: يوضح كيفية التعامل مع الحلول الدخيلة من خلال عملية التحقق بعد الحل.