لماذا؟ - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 نظرية فيثاغورس

المفاهيم الأساسية

الوتر: الضلع المقابل للزاوية القائمة في المثلث القائم، وهو أطول الأضلاع.

الساق: كل من الضلعين الآخرين في المثلث القائم (غير الوتر).

ثلاثية فيثاغورس: مجموعة من ثلاثة أعداد صحيحة تحقق نظرية فيثاغورس.

خريطة المفاهيم

```markmap

نظرية فيثاغورس

التعريف

نص لفظي

• إذا كان المثلث قائم الزاوية
• فإن مربع الوتر = مجموع مربعي ساقيه

صيغة رياضية

• ج² = أ² + ب²
• حيث ج هو الوتر، أ و ب هما الساقان

تطبيقات

إيجاد طول ضلع مجهول

• في المثلث القائم
• إذا عُلم طولا الساقين، نجد الوتر
• إذا عُلم الوتر وأحد الساقين، نجد الساق الأخرى

تحديد إذا كان المثلث قائمًا

• بالتحقق من تطابق العلاقة

استخدامات عملية

• حساب قطر شاشة التلفاز (معروف العرض والارتفاع)

```

نقاط مهمة

• في المثلث أ ب ج، يُرمز للضلع المقابل للزاوية أ بالرمز أ، وهكذا.
• عند حل المسائل، نأخذ الجذر التربيعي الموجب فقط لأن طول الضلع لا يكون سالبًا.
• يمكن تقريب الناتج إلى أقرب جزء من مئة إذا لزم الأمر باستعمال الحاسبة.

---

حل مثال

مثال ١: أوجد طول الضلع المجهول في كل مما يأتي:

(أ)

* المعطيات: ساقان طولاهما ٢٤ و ١٠ وحدة.

* المطلوب: طول الوتر (أ).

* الحل:

1. طبق نظرية فيثاغورس: أ² = ٢٤² + ١٠²

2. أ² = ٥٧٦ + ١٠٠ = ٦٧٦

3. أ = \sqrt{٦٧٦}

4. أ = ٢٦ (نأخذ القيمة الموجبة)

* النتيجة: طول الضلع المجهول هو ٢٦ وحدة.

(ب)

* المعطيات: ساقان طولاهما ١٥ و ٧ وحدة.

* المطلوب: طول الوتر (جـ).

* الحل:

1. طبق نظرية فيثاغورس: جـ² = ١٥² + ٧²

2. جـ² = ٢٢٥ + ٤٩ = ٢٧٤

3. جـ = \sqrt{٢٧٤}

4. جـ \approx ١٦.٥٥ (بالتقريب)

* النتيجة: طول الضلع المجهول هو ١٦.٥٥ وحدة تقريبًا.

---

تحقق من فهمك

(أ)

* المعطيات: ساقان طولاهما ٧ و ١٠ وحدة.

* المطلوب: طول الوتر (جـ).

* الحل:

1. جـ² = ٧² + ١٠²

2. جـ² = ٤٩ + ١٠٠ = ١٤٩

3. جـ = \sqrt{١٤٩}

4. جـ \approx ١٢.٢١ (باستعمال الحاسبة)

* النتيجة: طول الوتر هو ١٢.٢١ وحدة تقريبًا.

(ب)

* ملاحظة: الحل المقدم في النص للجزء (ب) من "تحقق من فهمك" مطابق تمامًا للحل الجزء (ب) من "مثال ١". بناءً على ذلك:

* المعطيات: ساقان طولاهما ١٥ و ٧ وحدة.

* المطلوب: طول الوتر (جـ).

* الحل:

1. جـ² = ١٥² + ٧²

2. جـ² = ٢٢٥ + ٤٩ = ٢٧٤

3. جـ = \sqrt{٢٧٤}

4. جـ \approx ١٦.٥٥ (بالتقريب)

* النتيجة: طول الضلع المجهول هو ١٦.٥٥ وحدة تقريبًا.

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

٩-٤ نظرية فيثاغورس

تُقاس أجهزة التلفاز بطول قطر شاشاتها، حيث يمكن استعمال نظرية فيثاغورس لإيجاد قياس القطر إذا كان ارتفاع الشاشة وعرضها معلومين. نظرية فيثاغورس: يُسمّى الضلع المقابل للزاوية القائمة في المثلث القائم وتراً، وهو أطول الأضلاع في المثلث ويسمّى كلّ من الضلعين الآخرين ساقاً.

درست حل معادلات تربيعية باستعمال خاصية الجذر التربيعي.

• أحل مسائل باستعمال نظرية فيثاغورس. • أحدد إذا كان المثلث المعطى قائم الزاوية أم لا.

الوتر الساق المعكوس ثلاثية فيثاغورس

التعبير اللفظي: إذا كان المثلث قائم الزاوية فإن مربع الوتر يساوي مجموع مربعي ضلعيه (ساقيه). الرموز: جـ² = أ² + ب²

أوجد طول الضلع المجهول في كل مما يأتي، وقرب الحل إلى أقرب جزء من مئة إذا لزم الأمر: أ) جـ² = أ² + ب² (نظرية فيثاغورس) جـ² = ١٠² + ٢٤² (أ = ١٠، ب = ٢٤) جـ² = ١٠٠ + ٥٧٦ (ربّع) جـ² = ٦٧٦ (بسّط) جـ = ±√٦٧٦ (أوجد الجذر التربيعي لكلا الطرفين) جـ = ±٢٦ (٢٦² = ٦٧٦) بما أن طول الضلع لا يكون سالباً؛ لذا فإن طول الضلع المجهول هو ٢٦ وحدة. ب) جـ² = أ² + ب² (نظرية فيثاغورس) ١٥² = ٧² + ب² (جـ = ١٥، أ = ٧) ٢٢٥ = ٤٩ + ب² (ربّع) ١٧٦ = ب² (اطرح ٤٩ من كلا الطرفين) ±√١٧٦ = ب (أوجد الجذر التربيعي لكلا الطرفين) ±١٣,٢٧ ≈ ب (استعمل الحاسبة لإيجاد قيمة √١٧٦) فيكون الطول المجهول هو ٢٧,١٣ وحدة تقريبًا.

في المثلث أ ب جـ يُرمز للضلع المقابل للزاوية أ بالرمز أ، والمقابل للزاوية ب بالرمز ب، والمقابل للزاوية جـ بالرمز جـ.

أوجد طول الضلع المجهول في كل مما يأتي، وقرب الحل إلى أقرب جزء من مئة إذا لزم الأمر:

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa ٩-٤ نظرية فيثاغورس --- SECTION: لماذا؟ --- تُقاس أجهزة التلفاز بطول قطر شاشاتها، حيث يمكن استعمال نظرية فيثاغورس لإيجاد قياس القطر إذا كان ارتفاع الشاشة وعرضها معلومين. نظرية فيثاغورس: يُسمّى الضلع المقابل للزاوية القائمة في المثلث القائم وتراً، وهو أطول الأضلاع في المثلث ويسمّى كلّ من الضلعين الآخرين ساقاً. --- SECTION: فيما سبق --- درست حل معادلات تربيعية باستعمال خاصية الجذر التربيعي. --- SECTION: والآن --- • أحل مسائل باستعمال نظرية فيثاغورس. • أحدد إذا كان المثلث المعطى قائم الزاوية أم لا. --- SECTION: المفردات --- الوتر الساق المعكوس ثلاثية فيثاغورس --- SECTION: مفهوم أساسي: نظرية فيثاغورس --- التعبير اللفظي: إذا كان المثلث قائم الزاوية فإن مربع الوتر يساوي مجموع مربعي ضلعيه (ساقيه). الرموز: جـ² = أ² + ب² --- SECTION: مثال ١: إيجاد طول ضلع في مثلث قائم --- أوجد طول الضلع المجهول في كل مما يأتي، وقرب الحل إلى أقرب جزء من مئة إذا لزم الأمر: أ) جـ² = أ² + ب² (نظرية فيثاغورس) جـ² = ١٠² + ٢٤² (أ = ١٠، ب = ٢٤) جـ² = ١٠٠ + ٥٧٦ (ربّع) جـ² = ٦٧٦ (بسّط) جـ = ±√٦٧٦ (أوجد الجذر التربيعي لكلا الطرفين) جـ = ±٢٦ (٢٦² = ٦٧٦) بما أن طول الضلع لا يكون سالباً؛ لذا فإن طول الضلع المجهول هو ٢٦ وحدة. ب) جـ² = أ² + ب² (نظرية فيثاغورس) ١٥² = ٧² + ب² (جـ = ١٥، أ = ٧) ٢٢٥ = ٤٩ + ب² (ربّع) ١٧٦ = ب² (اطرح ٤٩ من كلا الطرفين) ±√١٧٦ = ب (أوجد الجذر التربيعي لكلا الطرفين) ±١٣,٢٧ ≈ ب (استعمل الحاسبة لإيجاد قيمة √١٧٦) فيكون الطول المجهول هو ٢٧,١٣ وحدة تقريبًا. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- في المثلث أ ب جـ يُرمز للضلع المقابل للزاوية أ بالرمز أ، والمقابل للزاوية ب بالرمز ب، والمقابل للزاوية جـ بالرمز جـ. --- SECTION: تحقق من فهمك --- أوجد طول الضلع المجهول في كل مما يأتي، وقرب الحل إلى أقرب جزء من مئة إذا لزم الأمر: أ١. أوجد طول الضلع المجهول جـ في المثلث القائم الذي ساقاه ٦ و ٨. ب١. أوجد طول الضلع المجهول أ في المثلث القائم الذي وتره ١٦ وساقه ١٢. --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: Untitled Description: QR code for digital lesson access. **IMAGE**: Untitled Description: صورة لشاشة تلفاز تعرض منظراً طبيعياً، تستخدم لتوضيح تطبيق نظرية فيثاغورس في قياس قطر الشاشة. **DIAGRAM**: Untitled Description: مثلث قائم الزاوية أ ب جـ، حيث جـ هو الوتر المقابل للزاوية القائمة، وأ، ب هما الساقان. Context: يوضح العلاقة بين أضلاع المثلث القائم الزاوية في نظرية فيثاغورس. **DIAGRAM**: Untitled Description: مثلث قائم الزاوية بساقين طولهما ١٠ و ٢٤، والمطلوب إيجاد طول الوتر جـ. X-axis: 24 Y-axis: 10 **DIAGRAM**: Untitled Description: مثلث قائم الزاوية بوتر طوله ١٥ وساق طولها ٧، والمطلوب إيجاد طول الساق الأخرى ب. **DIAGRAM**: Untitled Description: مثلث قائم الزاوية بساقين طولهما ٦ و ٨، والمطلوب إيجاد طول الوتر جـ. **DIAGRAM**: Untitled Description: مثلث قائم الزاوية بوتر طوله ١٦ وساق طولها ١٢، والمطلوب إيجاد طول الساق الأخرى أ.