المثلث القائم الزاوية - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 نظرية فيثاغورس (تطبيقات ومعكوس النظرية)

المفاهيم الأساسية

معكوس نظرية فيثاغورس: إذا كانت الأطوال أ، ب، جـ لأضلاع مثلث تحقق المعادلة جـ² = أ² + ب² ، فإن المثلث قائم الزاوية. وإذا كانت جـ² ≠ أ² + ب² ، لا يكون المثلث قائم الزاوية.

ثلاثية فيثاغورس: مجموعة من ثلاثة أعداد صحيحة بحيث جـ أكبر هذه الأعداد. ومن الأمثلة على ذلك "٣، ٤، ٥"، "٥، ١٢، ١٣". و تتحقق مضاعفات ثلاثيات فيثاغورس؛ لذا فإن "٦، ٨، ١٠" أيضاً من ثلاثيات فيثاغورس.

خريطة المفاهيم

```markmap

نظرية فيثاغورس

التعريف

نص لفظي

• إذا كان المثلث قائم الزاوية
• فإن مربع الوتر = مجموع مربعي ساقيه

صيغة رياضية

• ج² = أ² + ب²
• حيث ج هو الوتر، أ و ب هما الساقان

تطبيقات

إيجاد طول ضلع مجهول

• في المثلث القائم
• إذا عُلم طولا الساقين، نجد الوتر
• إذا عُلم الوتر وأحد الساقين، نجد الساق الأخرى

تحديد إذا كان المثلث قائمًا

• بالتحقق من تطابق العلاقة

استخدامات عملية

• حساب قطر شاشة التلفاز (معروف العرض والارتفاع)

معكوس نظرية فيثاغورس

التعريف

• إذا تحققت العلاقة ج² = أ² + ب² في أضلاع مثلث
• فإن المثلث قائم الزاوية

استخدامه

• تحديد إذا كانت مجموعة أطوال تشكل مثلثاً قائم الزاوية

ثلاثيات فيثاغورس

تعريف

• ثلاثة أعداد صحيحة تحقق العلاقة

أمثلة

• ٣، ٤، ٥
• ٥، ١٢، ١٣
• مضاعفاتها (مثل: ٦، ٨، ١٠)

```

نقاط مهمة

• يمكن استخدام نظرية فيثاغورس لحساب أبعاد في الحياة الواقعية، مثل ارتفاع شراع زورق نهري.
• عند إيجاد طول ضلع باستخدام النظرية، نأخذ القيمة الموجبة للجذر التربيعي فقط لأن الطول موجب.
• معكوس العبارة الشرطية (إذا كان... فإن...) يتم بتبديل الفرض والنتيجة.

---

حل مثال

مثال ٢ (من واقع الحياة): إيجاد طول ضلع في مثلث قائم

* المسألة: شراع زورق نهري على شكل مثلث قائم الزاوية. طول الوتر (الشراع) = ٦ م، طول إحدى الساقين (القاعدة) = ٣ م. أوجد ارتفاع الشراع (الساق الأخرى).

* الحل:

1. نطبق نظرية فيثاغورس: (ع²) + (٣²) = (٦²)

2. ع² + ٩ = ٣٦

3. ع² = ٣٦ - ٩ = ٢٧

4. ع = ±√٢٧ ≈ ±٥.٢

5. نأخذ القيمة الموجبة: ع ≈ ٥.٢ م

* الإجابة: ارتفاع الشراع ≈ ٥.٢ أمتار.

مثال ٣: التحقق من أن المثلث قائم الزاوية

* المسألة: حدد إذا كانت الأطوال ٩، ١٢، ١٦ يمكن أن تشكل أضلاع مثلث قائم الزاوية.

* الحل:

1. نحدد الضلع الأكبر (جـ) = ١٦، أ = ٩، ب = ١٢.

2. نتحقق من معكوس نظرية فيثاغورس: هل جـ² = أ² + ب² ؟

3. نحسب: أ² + ب² = (٩²) + (١٢²) = ٨١ + ١٤٤ = ٢٢٥

4. نحسب: جـ² = (١٦²) = ٢٥٦

5. نجد أن ٢٥٦ ≠ ٢٢٥، أي جـ² ≠ أ² + ب²

* الإجابة: قياسات هذه الأضلاع لا تشكل مثلثاً قائم الزاوية.

---

تحقق من فهمك

السؤال ٢:

* المسألة: طول أطول ضلع في الشراع (الوتر) = ٩ م، طول أقصر ضلع فيه (أحد الساقين) = ٤ م. فأوجد ارتفاع الشراع (الساق الأخرى).

* الحل:

1. نفرض أن الارتفاع = ع.

2. طبق نظرية فيثاغورس: (ع²) + (٤²) = (٩²)

3. ع² + ١٦ = ٨١

4. ع² = ٨١ - ١٦ = ٦٥

5. ع = √٦٥ ≈ ٨.١ م (نأخذ القيمة الموجبة)

* الإجابة: ارتفاع الشراع ≈ ٨.١ أمتار.

السؤال ٣ (جزء ٣):

* المسألة: حدد إذا كانت مجموعة الأطوال ٣٠، ٤٠، ٥٠ تشكل مثلثاً قائم الزاوية أم لا.

* الحل:

1. الضلع الأكبر (جـ) = ٥٠، أ = ٣٠، ب = ٤٠.

2. نتحقق: هل جـ² = أ² + ب² ؟

3. نحسب: أ² + ب² = (٣٠²) + (٤٠²) = ٩٠٠ + ١٦٠٠ = ٢٥٠٠

4. نحسب: جـ² = (٥٠²) = ٢٥٠٠

5. نجد أن ٢٥٠٠ = ٢٥٠٠، أي جـ² = أ² + ب²

* الإجابة: نعم، هذه الأطوال تشكل مثلثاً قائم الزاوية (وهي مضاعفات للثلاثية ٣، ٤، ٥).

مثال ٢ من واقع الحياة: إيجاد طول ضلع في مثلث قائم

إبحار: يكون شراع الزورق النهري على صورة مثلث قائم الزاوية كما في الشكل المجاور، أوجد ارتفاع هذا الشراع.

٦^٢ = ع^٢ + ٣^٢ (نظرية فيثاغورس) ٣٦ = ع^٢ + ٩ (ربّع) ٢٧ = ع^٢ (اطرح ٩ من كلا الطرفين) ± ٥,٢ ≈ ع (أوجد الجذر التربيعي لكلا الطرفين) ٥,٢ ≈ ع (استعمل القيمة الموجبة) ارتفاع الشراع ٥,٢ أمتار تقريبًا.

تحقق من فهمك ٢) لنفرض أن طول أطول ضلع في الشراع ٩ م، وطول أقصر ضلع فيه ٤ م. فأوجد ارتفاع الشراع.

المثلث القائم الزاوية: إذا استُبدل الفرض والنتيجة أحدهما مكان الآخر في العبارة الشرطية (إذا كان فإن)، فإن نتيجة ذلك سيكون معكوس العبارة الأصلية. ويمكن استعمال معكوس نظرية فيثاغورس لتحديد إذا كان المثلث قائم الزاوية أم لا.

إذا كانت الأطوال أ، ب، جـ لأضلاع مثلث تحقق المعادلة جـ^٢ = أ^٢ + ب^٢، فإن المثلث قائم الزاوية. وإذا كانت جـ^٢ ≠ أ^٢ + ب^٢، لا يكون المثلث قائم الزاوية.

ثلاثية فيثاغورس: مجموعة من ثلاثة أعداد صحيحة موجبة تحقق المعادلة جـ^٢ = أ^٢ + ب^٢، حيث جـ أكبر هذه الأعداد. ومن الأمثلة على ذلك "٣، ٤، ٥"، "٥، ١٢، ١٣". وتتحقق مضاعفات ثلاثيات فيثاغورس أيضًا معكوس نظرية فيثاغورس؛ لذا فإن "٦، ٨، ١٠" أيضًا من ثلاثيات فيثاغورس.

مثال ٣: التحقق من أن المثلث قائم الزاوية حدّد إذا كانت الأطوال "٩، ١٢، ١٦" يمكن أن تشكّل أضلاع مثلث قائم الزاوية أم لا. بما أن طول الضلع الأكبر ١٦، فإن جـ = ١٦، أ = ٩، ب = ١٢. جـ^٢ = أ^٢ + ب^٢ (نظرية فيثاغورس) ١٦^٢ ؟ ٩^٢ + ١٢^٢ (عوّض جـ = ١٦، أ = ٩، ب = ١٢) ٢٥٦ ؟ ٨١ + ١٤٤ (ربّع) ٢٥٦ ≠ ٢٢٥ (اجمع) بما أن جـ^٢ ≠ أ^٢ + ب^٢، فإن قياسات هذه الأضلاع لا تشكّل مثلثًا قائم الزاوية.

تحقق من فهمك حدّد إذا كانت مجموعة الأطوال الآتية تشكّل أضلاع مثلث قائم الزاوية أم لا:

الزورق النهري زورق شراعي يتوسطه صاري عمودي على سطحه يثبت تقريبًا في الثلث الأول من مقدمته. ويتصل بهذا الصاري أفقيًا عمود آخر يسمى البومة يكوّن قاعدة للشراع المثلث على الصاري. وللقارب شراعات: أمامي؛ وهو الصغير، وخلفي وهو الشراع الرئيسي.

وزارة التعليم Ministry of Education 2024 - 1446 الدرس ٩-٤: نظرية فيثاغورس ١٥٩

مثال ٢ من واقع الحياة: إيجاد طول ضلع في مثلث قائم إبحار: يكون شراع الزورق النهري على صورة مثلث قائم الزاوية كما في الشكل المجاور، أوجد ارتفاع هذا الشراع. ٦^٢ = ع^٢ + ٣^٢ (نظرية فيثاغورس) ٣٦ = ع^٢ + ٩ (ربّع) ٢٧ = ع^٢ (اطرح ٩ من كلا الطرفين) ± ٥,٢ ≈ ع (أوجد الجذر التربيعي لكلا الطرفين) ٥,٢ ≈ ع (استعمل القيمة الموجبة) ارتفاع الشراع ٥,٢ أمتار تقريبًا. --- SECTION: 2 --- تحقق من فهمك ٢) لنفرض أن طول أطول ضلع في الشراع ٩ م، وطول أقصر ضلع فيه ٤ م. فأوجد ارتفاع الشراع. --- SECTION: المثلث القائم الزاوية --- المثلث القائم الزاوية: إذا استُبدل الفرض والنتيجة أحدهما مكان الآخر في العبارة الشرطية (إذا كان فإن)، فإن نتيجة ذلك سيكون معكوس العبارة الأصلية. ويمكن استعمال معكوس نظرية فيثاغورس لتحديد إذا كان المثلث قائم الزاوية أم لا. --- SECTION: مفهوم أساسي: معكوس نظرية فيثاغورس --- إذا كانت الأطوال أ، ب، جـ لأضلاع مثلث تحقق المعادلة جـ^٢ = أ^٢ + ب^٢، فإن المثلث قائم الزاوية. وإذا كانت جـ^٢ ≠ أ^٢ + ب^٢، لا يكون المثلث قائم الزاوية. --- SECTION: ثلاثية فيثاغورس --- ثلاثية فيثاغورس: مجموعة من ثلاثة أعداد صحيحة موجبة تحقق المعادلة جـ^٢ = أ^٢ + ب^٢، حيث جـ أكبر هذه الأعداد. ومن الأمثلة على ذلك "٣، ٤، ٥"، "٥، ١٢، ١٣". وتتحقق مضاعفات ثلاثيات فيثاغورس أيضًا معكوس نظرية فيثاغورس؛ لذا فإن "٦، ٨، ١٠" أيضًا من ثلاثيات فيثاغورس. --- SECTION: مثال ٣ --- مثال ٣: التحقق من أن المثلث قائم الزاوية حدّد إذا كانت الأطوال "٩، ١٢، ١٦" يمكن أن تشكّل أضلاع مثلث قائم الزاوية أم لا. بما أن طول الضلع الأكبر ١٦، فإن جـ = ١٦، أ = ٩، ب = ١٢. جـ^٢ = أ^٢ + ب^٢ (نظرية فيثاغورس) ١٦^٢ ؟ ٩^٢ + ١٢^٢ (عوّض جـ = ١٦، أ = ٩، ب = ١٢) ٢٥٦ ؟ ٨١ + ١٤٤ (ربّع) ٢٥٦ ≠ ٢٢٥ (اجمع) بما أن جـ^٢ ≠ أ^٢ + ب^٢، فإن قياسات هذه الأضلاع لا تشكّل مثلثًا قائم الزاوية. --- SECTION: 3 --- تحقق من فهمك حدّد إذا كانت مجموعة الأطوال الآتية تشكّل أضلاع مثلث قائم الزاوية أم لا: أ. ٣٠، ٤٠، ٥٠ ب. ٦، ١٢، ١٨ --- SECTION: الربط مع الحياة --- الزورق النهري زورق شراعي يتوسطه صاري عمودي على سطحه يثبت تقريبًا في الثلث الأول من مقدمته. ويتصل بهذا الصاري أفقيًا عمود آخر يسمى البومة يكوّن قاعدة للشراع المثلث على الصاري. وللقارب شراعات: أمامي؛ وهو الصغير، وخلفي وهو الشراع الرئيسي. وزارة التعليم Ministry of Education 2024 - 1446 الدرس ٩-٤: نظرية فيثاغورس ١٥٩ --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: Untitled Description: صورة فوتوغرافية لزورق شراعي أبيض في الماء، يظهر فيه الشراع الرئيسي الكبير والشراع الأمامي الصغير. Context: توضيح واقعي لموضوع المثال ٢ المتعلق بأشرعة الزوارق. **DIAGRAM**: Untitled Description: رسم توضيحي لشراع زورق على شكل مثلث قائم الزاوية. Context: تمثيل هندسي للمسألة الحسابية في المثال ٢ لتطبيق نظرية فيثاغورس. **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: معكوس نظرية فيثاغورس Rows: Row 1: إذا كانت الأطوال أ، ب، جـ لأضلاع مثلث تحقق المعادلة جـ^٢ = أ^٢ + ب^٢، فإن المثلث قائم الزاوية. وإذا كانت جـ^٢ ≠ أ^٢ + ب^٢، لا يكون المثلث قائم الزاوية. Context: تلخيص القاعدة الرياضية لمعكوس نظرية فيثاغورس في إطار بارز.