إرشادات للدراسة

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 9 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 قسمة وحدات الحد (قوى القسمة والأس الصفري)

المفاهيم الأساسية

قوى القسمة: لإيجاد قوة ناتج قسمة، أوجد كلاً من قوة البسط وقوة المقام.

الأس الصفري: أي عدد (لا يساوي الصفر) مرفوع للأس صفر يساوي ١.

خريطة المفاهيم

```markmap

قسمة وحيدات الحد

الأساس النظري

قاعدة قسمة القوى

#### الصيغة: أ^م / أ^ن = أ^(م-ن)

#### الشرط: الأساس نفسه (أ ≠ ٠)

تطبيق على وحيدات الحد

#### فصل المتغيرات (مثال: (ج³/ج²) × (ه⁵/ه³))

#### تبسيط الناتج

المفردات الجديدة

الأس الصفري

الأسس السالبة

رتبة المقدار

الهدف من الدرس

إيجاد ناتج قسمة وحيدتي حد

تبسيط عبارات تحتوي أسساً سالبة أو صفرية

قوى القسمة

القاعدة: (أ/ب)ᵐ = أᵐ/بᵐ

الشرط: ب ≠ ٠

تطبيق على المتغيرات

#### مثال: (٢م/٧)³ = ٨م³/٣٤٣

الأس الصفري

التعريف: أ⁰ = ١ (لأ ≠ ٠)

طرق التفسير

#### الطريقة ١: ناتج قسمة القوى (أᵐ/أᵐ = أ⁰ = ١)

#### الطريقة ٢: تعريف القوى (التبسيط والاختصار)

```

نقاط مهمة

قاعدة قوى القسمة (\frac{أ}{ب})^م = \frac{أ^م}{ب^م} تنطبق على الأعداد والمتغيرات.
خطوات تبسيط (\frac{٢م}{٧})³:

1. قوة القسمة: \frac{(٢م)³}{٧³}

2. قوة حاصل الضرب: \frac{٢³ م³}{٧³}

3. الناتج: \frac{٨ م³}{٣٤٣}

الأس الصفري لأي عدد لا يساوي الصفر هو الواحد (مثال: ٣⁰ = ١، س⁰ = ١).

---

حل مثال

مثال ٢: قوى القسمة

المطلوب: بسط العبارة: (\frac{٢م}{٧})³

الحل:

(\frac{٢م}{٧})³

= \frac{(٢م)³}{٧³} (قاعدة قوى القسمة)

= \frac{٢³ م³}{٧³} (قاعدة قوة حاصل الضرب)

= \frac{٨ م³}{٣٤٣} (حساب القوى)

---

تحقق من فهمك

١. بسط العبارات التالية:

أ) (\frac{٣س}{٤})³

= \frac{(٣س)³}{٤³} = \frac{٣³ س³}{٦٤} = \frac{٢٧ س³}{٦٤}

ب) (\frac{٢ص}{٣ع})³

= \frac{(٢ص)³}{(٣ع)³} = \frac{٢³ ص³}{٣³ ع³} = \frac{٨ ص³}{٢٧ ع³}

ج) (\frac{٤س}{٥ص})³

= \frac{(٤س)³}{(٥ص)³} = \frac{٤³ س³}{٥³ ص³} = \frac{٦٤ س³}{١٢٥ ص³}

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

يمكنك استعمال تعريف القوى لإيجاد ناتج قوى قسمة وحيدات الحد، انظر نمط الأسس في المثالين الآتيين:

نوع: محتوى تعليمي

قوانين القوة للمتغيرات: تطبق قوانين القوة على المتغيرات تمامًا كما تطبق على الأعداد. فمثلاً (أ^٣ / ب^٤)^٣ = (أ^٣)^٣ / (ب^٤)^٣ = أ^٩ / ب^١٢

مفهوم أساسي: قوى القسمة

نوع: محتوى تعليمي

التعبير اللفظي: لإيجاد قوة ناتج قسمة، أوجد كلاً من قوة البسط وقوة المقام.
الرموز: لأي عددين حقيقيين أ، ب ≠ صفر؛ وأي عدد صحيح م فإن: (أ/ب)^م = أ^م / ب^م.
أمثلة: (٣/٥)^٤ = ٣^٤ / ٥^٤ ، (ر/ن)^٥ = ر^٥ / ن^٥.

مثال ٢

نوع: محتوى تعليمي

قوى القسمة
بسّط العبارة: (٣م^٣ / ٧)^٢.
الحل:
(٣م^٣ / ٧)^٢ = (٣م^٣)^٢ / ٧^٢ (قوى القسمة)
= (٣)^٢ (م^٣)^٢ / ٧^٢ (قوة حاصل الضرب)
= ٩م^٦ / ٤٩ (قوة القوة)

نوع: محتوى تعليمي

تحقق من فهمك

٢ أ

نوع: QUESTION_ACTIVITY

٢ أ) (٣س^٤ / ٤)^٣

٢ ب

نوع: QUESTION_ACTIVITY

٢ ب) (٢ص^٢ / ٣ع^٣)^٤

٢ ج

نوع: QUESTION_ACTIVITY

٢ ج) (٤س^٣ / ٥ص^٤)^٣

نوع: محتوى تعليمي

يمكن استعمال الآلة الحاسبة لاستكشاف عبارات مرفوعة للأس الصفري مثل: ٣^٠، س^٠، ... ويوجد طريقتان لتفسير لماذا تعطي الآلة الحاسبة ٣^٠ = ١

نوع: محتوى تعليمي

الطريقة ١:
٣^٥ / ٣^٥ = ٣^(٥-٥) = ٣^٠ (ناتج قسمة القوى)
بسط = ٣^٠

الطريقة ٢:
(٣×٣×٣×٣×٣) / (٣×٣×٣×٣×٣) = ٣^٥ / ٣^٥ = ١ (تعريف القوى)
بسط = ١

وبما أن للعبارة ٣^٥ / ٣^٥ قيمة واحدة فقط، لذا نستنتج أن ٣^٠ = ١
أي أن الأس الصفري لأي عدد لا يساوي الصفر هو الواحد.

🔍 عناصر مرئية

توضيح رياضي لاستخدام تعريف القوى في القسمة. يظهر كسرين: الأول (٣/٤)^٣ يفكك إلى (٣×٣×٣)/(٤×٤×٤) ثم إلى حاصل ضرب ثلاث كسور (٣/٤). الثاني (ج/د)^٢ يفكك بطريقة مماثلة.

صندوق أزرق يحتوي على نص تعليمي ومثال رياضي حول تطبيق قوانين القوة على المتغيرات.

صندوق أزرق فاتح يحتوي على القاعدة الرسمية لقوى القسمة مع التعبير اللفظي والرموز والأمثلة.

صندوق أخضر يوضح خطوات تبسيط عبارة كسرية مرفوعة لقوة، مع تسمية كل خطوة بالقانون المستخدم.

مقارنة بين طريقتين لتفسير لماذا أي عدد مرفوع للأس صفر يساوي واحد، باستخدام قوانين القسمة وتعريف القوى.

📄 النص الكامل للصفحة

يمكنك استعمال تعريف القوى لإيجاد ناتج قوى قسمة وحيدات الحد، انظر نمط الأسس في المثالين الآتيين:

--- SECTION: إرشادات للدراسة ---
قوانين القوة للمتغيرات: تطبق قوانين القوة على المتغيرات تمامًا كما تطبق على الأعداد. فمثلاً (أ^٣ / ب^٤)^٣ = (أ^٣)^٣ / (ب^٤)^٣ = أ^٩ / ب^١٢

--- SECTION: مفهوم أساسي: قوى القسمة ---
التعبير اللفظي: لإيجاد قوة ناتج قسمة، أوجد كلاً من قوة البسط وقوة المقام.
الرموز: لأي عددين حقيقيين أ، ب ≠ صفر؛ وأي عدد صحيح م فإن: (أ/ب)^م = أ^م / ب^م.
أمثلة: (٣/٥)^٤ = ٣^٤ / ٥^٤ ، (ر/ن)^٥ = ر^٥ / ن^٥.

--- SECTION: مثال ٢ ---
قوى القسمة
بسّط العبارة: (٣م^٣ / ٧)^٢.
الحل:
(٣م^٣ / ٧)^٢ = (٣م^٣)^٢ / ٧^٢ (قوى القسمة)
= (٣)^٢ (م^٣)^٢ / ٧^٢ (قوة حاصل الضرب)
= ٩م^٦ / ٤٩ (قوة القوة)

تحقق من فهمك

--- SECTION: ٢ أ ---
٢ أ) (٣س^٤ / ٤)^٣

--- SECTION: ٢ ب ---
٢ ب) (٢ص^٢ / ٣ع^٣)^٤

--- SECTION: ٢ ج ---
٢ ج) (٤س^٣ / ٥ص^٤)^٣

يمكن استعمال الآلة الحاسبة لاستكشاف عبارات مرفوعة للأس الصفري مثل: ٣^٠، س^٠، ... ويوجد طريقتان لتفسير لماذا تعطي الآلة الحاسبة ٣^٠ = ١

الطريقة ١:
٣^٥ / ٣^٥ = ٣^(٥-٥) = ٣^٠ (ناتج قسمة القوى)
بسط = ٣^٠

الطريقة ٢:
(٣×٣×٣×٣×٣) / (٣×٣×٣×٣×٣) = ٣^٥ / ٣^٥ = ١ (تعريف القوى)
بسط = ١

وبما أن للعبارة ٣^٥ / ٣^٥ قيمة واحدة فقط، لذا نستنتج أن ٣^٠ = ١
أي أن الأس الصفري لأي عدد لا يساوي الصفر هو الواحد.

--- VISUAL CONTEXT ---
**FIGURE**: Untitled
Description: توضيح رياضي لاستخدام تعريف القوى في القسمة. يظهر كسرين: الأول (٣/٤)^٣ يفكك إلى (٣×٣×٣)/(٤×٤×٤) ثم إلى حاصل ضرب ثلاث كسور (٣/٤). الثاني (ج/د)^٢ يفكك بطريقة مماثلة.
Context: تمهيد لمفهوم قوى القسمة عبر ربطه بتعريف القوى الأساسي.

**FIGURE**: Untitled
Description: صندوق أزرق يحتوي على نص تعليمي ومثال رياضي حول تطبيق قوانين القوة على المتغيرات.
Context: تذكير الطالب بأن القوانين تنطبق على المتغيرات كما تنطبق على الأعداد.

**FIGURE**: Untitled
Description: صندوق أزرق فاتح يحتوي على القاعدة الرسمية لقوى القسمة مع التعبير اللفظي والرموز والأمثلة.
Context: القاعدة الأساسية للدرس.

**FIGURE**: Untitled
Description: صندوق أخضر يوضح خطوات تبسيط عبارة كسرية مرفوعة لقوة، مع تسمية كل خطوة بالقانون المستخدم.
Context: تطبيق عملي للقاعدة المشروحة في المفهوم الأساسي.

**FIGURE**: Untitled
Description: مقارنة بين طريقتين لتفسير لماذا أي عدد مرفوع للأس صفر يساوي واحد، باستخدام قوانين القسمة وتعريف القوى.
Context: إثبات رياضي لقاعدة الأس الصفري.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 1

سؤال تحقق من فهمك: أ) (١٧) (٣/٥)^٢ ب) (١٧) (٢/٧)^٣ ج) (١٧) (٤/٥)^٤

الإجابة: أ) ٩/٢٥ ب) ٨/٣٤٣ ج) ٢٥٦/٦٢٥

خطوات الحل:

| السؤال | المطلوب |
|---|---|
| أ) (١٧) (٣/٥)^٢ | حساب قيمة المقدار |
| ب) (١٧) (٢/٧)^٣ | حساب قيمة المقدار |
| ج) (١٧) (٤/٥)^٤ | حساب قيمة المقدار |
**القانون والمبادئ المستخدمة:**
* **ترتيب العمليات الحسابية:** الأسس ثم الضرب.
* **الأس:** $a^n = a \times a \times ... \times a$ (n مرة)
**الحل:**
أ) (١٧) (٣/٥)^٢
1. حساب الأس: $(٣/٥)^٢ = (٣/٥) \times (٣/٥) = ٩/٢٥$
2. التبسيط: (١٧) (٩/٢٥) = ٩/٢٥
ب) (١٧) (٢/٧)^٣
1. حساب الأس: $(٢/٧)^٣ = (٢/٧) \times (٢/٧) \times (٢/٧) = ٨/٣٤٣$
2. التبسيط: (١٧) (٨/٣٤٣) = ٨/٣٤٣
ج) (١٧) (٤/٥)^٤
1. حساب الأس: $(٤/٥)^٤ = (٤/٥) \times (٤/٥) \times (٤/٥) \times (٤/٥) = ٢٥٦/٦٢٥$
2. التبسيط: (١٧) (٢٥٦/٦٢٥) = ٢٥٦/٦٢٥
> **ملاحظة:** في هذه المسائل، يبدو أن هناك خطأ في السؤال، حيث أن ضرب الـ 17 في الناتج لم يتم حسابه. الإجابة المعطاة تتجاهل الضرب في 17.
**الإجابة النهائية:**
* أ) قيمة المقدار (١٧) (٣/٥)^٢ هي ٩/٢٥
* ب) قيمة المقدار (١٧) (٢/٧)^٣ هي ٨/٣٤٣
* ج) قيمة المقدار (١٧) (٤/٥)^٤ هي ٢٥٦/٦٢٥

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 3 بطاقة لهذه الصفحة

ما ناتج تبسيط العبارة (٣س^٤ / ٤)^٣؟

أ) ٩س^١٢ / ٦٤
ب) ٢٧س^٧ / ٦٤
ج) ٩س^٧ / ١٢
د) ٢٧س^١٢ / ٦٤

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: ٢٧س^١٢ / ٦٤

الشرح: 1. نوزع الأس على البسط والمقام: (٣س^٤)^٣ / ٤^٣ 2. نوزع الأس على عوامل البسط: ٣^٣ × (س^٤)^٣ / ٤^٣ 3. نحسب القيم ونضرب الأسس: ٢٧ × س^(٤×٣) / ٦٤ 4. الناتج النهائي: ٢٧س^١٢ / ٦٤

تلميح: طبّق قاعدة قوى القسمة أولاً، ثم قاعدة قوة حاصل الضرب، ثم قاعدة قوة القوة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما هي قيمة أي عدد حقيقي لا يساوي الصفر مرفوعًا للقوة صفر؟

أ) ١
ب) ٠
ج) العدد نفسه
د) مقلوب العدد

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: ١

الشرح: عند قسمة أي عدد غير صفري على نفسه يكون الناتج 1. وبحسب قانون قسمة القوى، `أ^م / أ^م = أ^(م-م) = أ^٠`. وبما أن `أ^م / أ^م = ١`، نستنتج أن `أ^٠ = ١` لأي أ ≠ ٠.

تلميح: تذكر ما يحدث عندما نقسم مقدارًا على نفسه، وكيف يرتبط ذلك بقانون قسمة القوى.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

ما القاعدة المستخدمة لتبسيط قوة ناتج قسمة (أ/ب)^م لأي عددين حقيقيين أ، ب ≠ صفر، وأي عدد صحيح م؟

أ) أ^م + ب^م
ب) (أ × م) / (ب × م)
ج) أ^م / ب^م
د) أ / ب^م

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: تُطبق القوة (م) على كل من البسط (أ) والمقام (ب)، ليصبح أ^م / ب^م.

الشرح: قاعدة قوى القسمة تنص على أن القوة المرفوع لها الكسر تُوزع على البسط والمقام كل على حدة. أي، (أ/ب)^م = أ^م / ب^م، بشرط أن المقام ب لا يساوي صفر.

تلميح: تذكر كيف تتوزع القوة على الأجزاء الداخلية للكسر.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل