مثال ٢ من واقع الحياة - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 استعمال قانون المسافة بين النقطتين

المفاهيم الأساسية

قانون المسافة بين نقطتين: ف = \sqrt{(س_2 - س_1)^2 + (ص_2 - ص_1)^2}

خريطة المفاهيم

```markmap

قانون المسافة بين نقطتين

الأساس

يعتمد على نظرية فيثاغورس

يستعمل في أنظمة مثل (GPS)

القانون

الصيغة اللفظية

#### المسافة = الجذر التربيعي لـ (فرق السينات)^2 + (فرق الصادات)^2

الصيغة الرياضية

#### ف = \sqrt{(س_2 - س_1)^2 + (ص_2 - ص_1)^2}

التمثيل الهندسي

تشكل المسافة وتراً في مثلث قائم

الضلع الأفقي = |س₂ - س₁|

الضلع الرأسي = |ص₂ - ص₁|

تطبيقات من واقع الحياة

تحديد مدى مناسبة المسافة بين جهاز ومشاهد

مثال: تلفاز في (١,١١) ومقعد في (٧,٢)

#### المسافة ≈ ١٠.٨ قدم

#### النتيجة: الغرفة غير مناسبة (المسافة < ١٣ قدم الموصى بها)

إيجاد الإحداثي المجهول

عند معرفة المسافة وإحداثيات نقطة واحدة

قد يكون هناك قيمتان ممكنتان للمتغير

#### لأن النقطة يمكن أن تكون لها البعد نفسه من اتجاهين مختلفين

مثال: المسافة بين (٤,٧) و (أ,٣) = ٥ وحدات

#### النتيجة: أ = ٧ أو أ = ١

```

نقاط مهمة

• يمكن استعمال القانون لتحديد مدى مناسبة مسافة الأجهزة الإلكترونية (كالتلفاز) عن المشاهدين للسلامة.
• عند إيجاد إحداثي مجهول باستخدام القانون، قد نحصل على قيمتين محتملتين.
• كل مربع في المستوى المرفق مع المثال يمثل قدمًا واحدة.

---

حل مثال

مثال ٢: ترفيه

* المعطيات: موقع التلفاز: (١, ١١)، موقع المقعد: (٧, ٢). المسافة الموصى بها للسلامة: ١٣ قدمًا على الأقل.

* الحل:

1. تطبيق قانون المسافة: ف = \sqrt{(7 - 1)^2 + (2 - 11)^2}

2. التبسيط: ف = \sqrt{(6)^2 + (-9)^2} = \sqrt{36 + 81} = \sqrt{117}

3. النتيجة: ف \approx ١٠.٨ \text{ قدم}

* الاستنتاج: المسافة الفعلية (≈١٠.٨ قدم) أقل من المسافة الموصى بها (١٣ قدم). إذن، غرفة صالح ليست مناسبة لوضع التلفاز بهذا الترتيب.

مثال ٣: إيجاد الإحداثي المجهول

* المعطيات: المسافة بين النقطتين (٤, ٧) و (أ, ٣) تساوي ٥ وحدات.

* الحل:

1. تطبيق القانون: 5 = \sqrt{(أ - 4)^2 + (3 - 7)^2}

2. التربيع والتبسيط: 25 = (أ - 4)^2 + 16

3. حل المعادلة: (أ - 4)^2 = 9

4. أخذ الجذر: أ - 4 = \pm 3

5. القيم الممكنة: أ = 7 أو أ = 1

---

تحقق من فهمك

١)

* المعطيات: موقع الميكروفون: (٩, ٠). المسافة الموصى بها: ٨ أقدام على الأقل.

* الحل المطلوب: تطبيق قانون المسافة بين النقطة (٩, ٠) ونقطة المقعد المعطاة سابقًا (٧, ٢) ومقارنة النتيجة بـ ٨ أقدام.

٢)

* المعطيات: المسافة بين النقطتين (٢, ٦) و (أ, ٠) تساوي ١٠ وحدات.

* الحل المطلوب: اتبع خطوات مثال ٣ لإيجاد القيم الممكنة للمتغير (أ).

استعمال قانون المسافة بين النقطتين ترفيه: يمتلك صالح مسرحًا منزليًا. ويوضع التلفاز والمقاعد عادة في ركنين متقابلين من الغرفة؛ حيث يوصي صانعو التلفاز المشاهدين بالجلوس بعيدًا عنه مسافة لا تقل عن ١٣ قدمًا من أجل السلامة. فإذا كان طول كل مربع في المستوى المجاور ١ قدم، فهل غرفة صالح مناسبة لوضع التلفاز بداخلها؟ مقدمة شاشة التلفاز عند النقطة (١، ١١)، وأول مقعد عند النقطة (٧، ٢).

ف = √((س₂ - س₁)² + (ص₂ - ص₁)²) ف = √((٧ - ١)² + (٢ - ١١)²) ف = √(٦² + (-٩)²) ف = √(٣٦ + ٨١) = √١١٧ ≈ ١٠.٨ أقدام تقريبًا. لا، اتساع الغرفة ليس كافيًا لهذا الجهاز.

٢) يوصي صانعو مكبرات الصوت (الميكروفونات) بوضعها على مسافة لا تقل عن ٨ أقدام من مكان الجلوس. فإذا وضع ميكروفون في النقطة (٠، ٩)، فهل غرفة صالح مناسبة لوضع الجهاز؟ فسر ذلك.

يمكنك استعمال قانون المسافة بين نقطتين عند معرفة المسافة بينهما ومعرفة إحداثيات إحداهما لإيجاد الإحداثي المجهول للنقطة الأخرى.

إيجاد الإحداثي المجهول أوجد القيم الممكنة للمتغير (أ) إذا كانت المسافة بين النقطتين (٤، ٧)، (أ، ٣) تساوي ٥ وحدات. ف = √((س₂ - س₁)² + (ص₂ - ص₁)²) ٥ = √((أ - ٤)² + (٣ - ٧)²) ٥ = √((أ - ٤)² + (-٤)²) ٥ = √((أ - ٤)² + ١٦) ٢٥ = (أ - ٤)² + ١٦ ٠ = (أ - ٤)² - ٩ ٠ = (أ - ٤ - ٣)(أ - ٤ + ٣) ٠ = (أ - ٧)(أ - ١) أ - ١ = ٠ أو أ - ٧ = ٠ أ = ١ أو أ = ٧

٣) أوجد القيم الممكنة للمتغير (أ) إذا كانت المسافة بين النقطتين (٢، أ)، (-٦، ٢) تساوي ١٠ وحدات.

قيمتان ممكنتان: عند إيجاد الإحداثي المجهول، يكون أمامك خياران؛ لأن النقطة يمكن أن تكون لها البعد نفسه، ومن اتجاهين مختلفين.

شَهِدَ المجتمعُ السعوديُّ الافتتاحَ الرَّسميَّ للتلفزيون في التاسع من ربيع الأول من عام ١٣٨٥ هـ الموافق ٧ يوليو ١٩٦٥ م، وذلك في عهد الملك فيصل -رحمه الله- ويبلغ عدد قنواته حاليًا ٧ قنوات تُغطّي مجالاتٍ مُختلفة.

الدرس ٩-٥: المسافة بين نقطتين ١٦٥

--- SECTION: مثال ٢ من واقع الحياة --- استعمال قانون المسافة بين النقطتين ترفيه: يمتلك صالح مسرحًا منزليًا. ويوضع التلفاز والمقاعد عادة في ركنين متقابلين من الغرفة؛ حيث يوصي صانعو التلفاز المشاهدين بالجلوس بعيدًا عنه مسافة لا تقل عن ١٣ قدمًا من أجل السلامة. فإذا كان طول كل مربع في المستوى المجاور ١ قدم، فهل غرفة صالح مناسبة لوضع التلفاز بداخلها؟ مقدمة شاشة التلفاز عند النقطة (١، ١١)، وأول مقعد عند النقطة (٧، ٢). ف = √((س₂ - س₁)² + (ص₂ - ص₁)²) ف = √((٧ - ١)² + (٢ - ١١)²) ف = √(٦² + (-٩)²) ف = √(٣٦ + ٨١) = √١١٧ ≈ ١٠.٨ أقدام تقريبًا. لا، اتساع الغرفة ليس كافيًا لهذا الجهاز. --- SECTION: تحقق من فهمك --- ٢) يوصي صانعو مكبرات الصوت (الميكروفونات) بوضعها على مسافة لا تقل عن ٨ أقدام من مكان الجلوس. فإذا وضع ميكروفون في النقطة (٠، ٩)، فهل غرفة صالح مناسبة لوضع الجهاز؟ فسر ذلك. يمكنك استعمال قانون المسافة بين نقطتين عند معرفة المسافة بينهما ومعرفة إحداثيات إحداهما لإيجاد الإحداثي المجهول للنقطة الأخرى. --- SECTION: مثال ٣ --- إيجاد الإحداثي المجهول أوجد القيم الممكنة للمتغير (أ) إذا كانت المسافة بين النقطتين (٤، ٧)، (أ، ٣) تساوي ٥ وحدات. ف = √((س₂ - س₁)² + (ص₂ - ص₁)²) ٥ = √((أ - ٤)² + (٣ - ٧)²) ٥ = √((أ - ٤)² + (-٤)²) ٥ = √((أ - ٤)² + ١٦) ٢٥ = (أ - ٤)² + ١٦ ٠ = (أ - ٤)² - ٩ ٠ = (أ - ٤ - ٣)(أ - ٤ + ٣) ٠ = (أ - ٧)(أ - ١) أ - ١ = ٠ أو أ - ٧ = ٠ أ = ١ أو أ = ٧ --- SECTION: تحقق من فهمك --- ٣) أوجد القيم الممكنة للمتغير (أ) إذا كانت المسافة بين النقطتين (٢، أ)، (-٦، ٢) تساوي ١٠ وحدات. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- قيمتان ممكنتان: عند إيجاد الإحداثي المجهول، يكون أمامك خياران؛ لأن النقطة يمكن أن تكون لها البعد نفسه، ومن اتجاهين مختلفين. --- SECTION: الربط مع الحياة --- شَهِدَ المجتمعُ السعوديُّ الافتتاحَ الرَّسميَّ للتلفزيون في التاسع من ربيع الأول من عام ١٣٨٥ هـ الموافق ٧ يوليو ١٩٦٥ م، وذلك في عهد الملك فيصل -رحمه الله- ويبلغ عدد قنواته حاليًا ٧ قنوات تُغطّي مجالاتٍ مُختلفة. الدرس ٩-٥: المسافة بين نقطتين ١٦٥ --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: استعمال قانون المسافة بين النقطتين Description: The graph shows a grid where a dashed line connects a TV icon at (1, 11) to a sofa icon at (7, 2). The grid is labeled with numbers 1-9 on the x-axis and 1-12 on the y-axis. X-axis: x Y-axis: y Context: Visualizes the distance problem in Example 2, allowing students to see the coordinates used in the distance formula calculation. **IMAGE**: Untitled Description: A screenshot of a news broadcast showing a man in traditional Saudi attire (ghutra and agal) speaking. The screen has a news ticker at the bottom and a logo in the top left corner. Context: Provides a visual connection to the 'Connection to Life' sidebar about the history of Saudi television.