📝 ملخص الصفحة
📚 المثلثات المتشابهة
المفاهيم الأساسية
المثلثات المتشابهة: مثلثان تكون فيهما الزوايا المتناظرة متطابقة والأضلاع المتناظرة متناسبة.
الأضلاع المتناظرة: أضلاع في مثلثين متشابهين تقابل الزوايا المتطابقة.
قياس الزاوية (ق ∠): ترميز يُقرأ "قياس الزاوية".
خريطة المفاهيم
```markmap
المثلثات المتشابهة
أساسيات
ترميز قياس الزاوية
رسم المثلثات المتداخلة
تحديد التشابه
شرط التشابه (تناسب الأضلاع)
مثال تطبيقي
إيجاد المجهول
استخدام التناسب
الضرب التبادلي
```
نقاط مهمة
- عند رسم مثلثين متداخلين، يجب التأكد من وضع العناصر المتناظرة في الموقع نفسه ووضع إشارات عليها.
- إذا كانت النسب بين أطوال الأضلاع المتناظرة في مثلثين متساوية، فإن المثلثين متشابهان.
- يمكن استخدام التناسب والضرب التبادلي لإيجاد قياسات الأضلاع المجهولة في المثلثات المتشابهة.
---
حل مثال
مثال ٣: أوجد قياسات العناصر المجهولة في المثلثين المتشابهين الآتين:
(بناءً على الشكل ٣ والوصف النصي)
- المعطيات: في المثلث أ ب ج: أج = ١٢.٥، ج ب = ٥، ∠ج = ٩٠°، ∠أ = ٣٨°.
في المثلث ل ك ر: ل ر = ٥، ر ك = ٨، ∠ر = ٩٠°، ∠ل = ٣٨°.
- المطلوب: إيجاد أب (في المثلث الأول) ول ك (في المثلث الثاني).
- الحل:
١. تحديد الأضلاع المتناظرة: بما أن ∠أ = ∠ل = ٣٨° وكلاهما قائما (∠ج = ∠ر = ٩٠°)، فإن الضلع أج متناظر مع ل ر، والضلع ج ب متناظر مع ر ك، والضلع أب (المجهول) متناظر مع ل ك (المجهول).
٢. إعداد التناسب: (أج / ل ر) = (أب / ل ك)
٣. تعويض القيم المعروفة: (١٢.٥ / ٥) = (أب / ل ك) → ٢.٥ = (أب / ل ك)
ملاحظة: النص يشير إلى وجود عملية ضرب تبادلي وقسمة نتج عنها أ = ١٧.٥، مما يشير إلى أن أحد القيم المجهولة (ل ك أو أب) يساوي ١٧.٥. كما ورد أن القياسات المجهولة هي: ٢٠، ٥، ١٧.٥.
---
تحقق من فهمك
٢) حدد ما إذا كان Δ د أ ب (أب = ٦، ب جـ = ١٢، أجـ = ٢٠) يشابه Δ ع ك ل (ع ك = ٣، ك ل = ٨، ع ل = ٩). برر إجابتك.
- الحل: نفحص تناسب الأضلاع المتناظرة. نرتب أطوال أضلاع المثلث الأول تصاعدياً: ٦، ١٢، ٢٠.
نرتب أطوال أضلاع المثلث الثاني تصاعدياً: ٣، ٨، ٩.
نشكل النسب: ٦/٣ = ٢، ١٢/٨ = ١.٥، ٢٠/٩ ≈ ٢.٢٢.
بما أن النسب غير متساوية، فالمثلثان غير متشابهين.
أ، ب، جـ) أوجد قياسات العناصر المجهولة في المثلثين المتشابهين الآتين:
(يظهر النص نفسه مكرراً لعدة أسئلة، ويشير إلى استخدام التناسب والضرب التبادلي. الحل العام هو كما في "مثال ٣" أعلاه، مع تطبيقه على القيم في كل شكل من الأشكال المرافقة (الشكل ٢، الشكل ٣، الشكل ٤، الشكل ٥، الشكل ٦، الشكل ٧). النتيجة النهائية المذكورة هي: قياسات العناصر المجهولة: ٢٠، ٥، ١٧.٥).
---
> 📝 ملاحظة: هذه الصفحة تحتوي على أسئلة تقويمية - راجع تبويب الواجبات للإجابات الكاملة.
📋 المحتوى المنظم
📖 محتوى تعليمي مفصّل
نوع: محتوى تعليمي
يمكنك أيضًا استعمال المقارنة بين نسب أطوال الأضلاع المتناظرة؛ لتحديد إن كان المثلثان متشابهين.
مثال ٢
نوع: محتوى تعليمي
تحديد المثلثين المتشابهين
حدد ما إذا كان المثلثان الآتيان متشابهين أم لا، وبرر إجابتك:
إذا كان Δ ف س ز، Δ و س ص متشابهين، فإن أطوال أضلاعهما المتناظرة متناسبة.
ف س / و س = ١٢ / ٤ = ٣، س ز / س ص = ١٥ / ٥ = ٣، ف ز / و ص = ٩ / ٣ = ٣.
بما أن الأضلاع المتناظرة متناسبة، فإن Δ ف س ز ~ Δ و س ص.
2
نوع: QUESTION_HOMEWORK
٢) حدد ما إذا كان Δ أ ب ج والذي فيه أب = ٦، ب ج = ١٦، أ ج = ٢٠ يشابه Δ ع ك ل، حيث ع ك = ٣، ك ل = ٨، ع ل = ٩. وفسر إجابتك.
نوع: محتوى تعليمي
إيجاد قياسات العناصر المجهولة: يمكنك استعمال التناسب لإيجاد قياسات العناصر المجهولة، عندما تكون بعض أطوال أضلاع المثلثات المتشابهة معلومة.
مثال ٣
نوع: محتوى تعليمي
إيجاد قياسات العناصر المجهولة
أوجد قياسات العناصر المجهولة في المثلثين المتشابهين الآتيين:
الأضلاع المتناظرة في المثلثات المتشابهة متناسبة
أ ب / ك ل = أ ج / ل ر => أ / ٨ = ١٢,٥ / ٥ => ٥أ = ١٠٠ => أ = ٢٠
ب ج / ك ر = أ ج / ل ر => جـ / ٧ = ١٢,٥ / ٥ => ٥جـ = ٨٧,٥ => جـ = ١٧,٥
قياسات العناصر المجهولة ٢٠، ٥، ١٧,٥.
3أ
نوع: QUESTION_HOMEWORK
تحقق من فهمك
٣أ)
3ب
نوع: QUESTION_HOMEWORK
٣ب)
قراءة الرياضيات
نوع: NON_EDUCATIONAL
قياس الزوايا
ق ∠ أ يُقرأ: قياس الزاوية أ.
إرشادات للدراسة
نوع: NON_EDUCATIONAL
المثلثات المتداخلة
في المثلثين المتداخلين يمكنك رسم كل منهما على حدة، مع التأكد من كون العناصر المتناظرة في الموقع نفسه، وضع إشارات لتوضيح الزوايا والأضلاع المتناظرة.
🔍 عناصر مرئية
A diagram showing two nested right-angled triangles sharing a common vertex 'س' at the far right. The larger triangle is Δ ف س ز. The smaller triangle is Δ و س ص. Vertex 'و' is on segment 'ف س' and vertex 'ص' is on segment 'ز س'. Segment 'و ص' is parallel to 'ف ز'. Right angle symbols are present at vertices 'ف' and 'و'. Lengths are explicitly labeled: segment 'ف س' = 12, segment 'و س' = 4, segment 'ز س' = 15, segment 'ص س' = 5, segment 'ف ز' = 9, and segment 'و ص' = 3.
Two separate triangles labeled Δ ك ل ر and Δ أ ب ج.
Triangle ك ل ر (left): Angles are ∠ك = 38°, ∠ل = 60°, ∠ر = 82°. Side lengths are ك ل = 8, ل ر = 5, ر ك = 7.
Triangle أ ب ج (right): Angles are ∠ب = 38°, ∠أ = 60°, ∠ج = 82°. Side lengths are أ ب = أ (variable), ب ج = جـ (variable), أ ج = 12.5.
Two separate triangles.
Right triangle: Angles are 87°, 43°, and س°. Side lengths are hypotenuse = 24, one leg = 10, and the other leg = ب.
Left triangle: Angles are 87°, 43°, and 50°. Side lengths are hypotenuse = 8, one leg = 7 (labeled with Arabic numeral V), and the third side is unlabeled.
A diagram of two nested right-angled triangles sharing a common acute angle at the far left.
The smaller triangle has a vertical height of 5 and a horizontal base of 7.
The larger triangle has a vertical height of 'س' and a total horizontal base of 11.
Both triangles have right angle symbols at their bottom-right vertices.
🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة
عدد البطاقات: 4 بطاقة لهذه الصفحة
ما الطريقة التي يمكن استعمالها لتحديد ما إذا كان مثلثان متشابهين باستخدام أطوال أضلاعهما؟
- أ) مقارنة مجموع قياسات الزوايا الداخلية؛ فإذا كانت متساوية، يكون المثلثان متشابهين.
- ب) مقارنة أطوال الأضلاع المتناظرة؛ فإذا كانت متساوية، يكون المثلثان متشابهين.
- ج) مقارنة نسب أطوال الأضلاع المتناظرة؛ فإذا كانت النسب متساوية، يكون المثلثان متشابهين.
- د) مقارنة نسب محيطيهما؛ فإذا كانت النسبة تساوي ١، يكون المثلثان متشابهين.
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: مقارنة نسب أطوال الأضلاع المتناظرة؛ فإذا كانت النسب متساوية، يكون المثلثان متشابهين.
الشرح: لتحديد تشابه مثلثين باستخدام أطوال أضلاعهما، يتم مقارنة النسب بين كل زوج من الأضلاع المتناظرة. إذا كانت هذه النسب متساوية لجميع الأزواج الثلاثة، فإن المثلثين يكونان متشابهين. هذا يعتمد على تعريف التشابه الذي ينص على أن أطوال الأضلاع المتناظرة متناسبة.
تلميح: تذكر أن التشابه يعتمد على تناسب الأضلاع وتساوي الزوايا.
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط
ما المبدأ الأساسي الذي يُستخدم لإيجاد قياسات العناصر المجهولة (مثل أطوال الأضلاع) في المثلثات المتشابهة؟
- أ) مجموع قياسات الزوايا المتناظرة يكون متساوياً دائماً.
- ب) الأضلاع المتناظرة في المثلثات المتشابهة تكون متناسبة، مما يتيح تكوين معادلات تناسب لحل المجهول.
- ج) الفرق بين أطوال الأضلاع المتناظرة يكون ثابتاً.
- د) حاصل ضرب أطوال الأضلاع المتناظرة يكون متساوياً.
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: الأضلاع المتناظرة في المثلثات المتشابهة تكون متناسبة، مما يتيح تكوين معادلات تناسب لحل المجهول.
الشرح: في المثلثات المتشابهة، تكون الأضلاع المتناظرة متناسبة. هذا يعني أن نسبة طول أي ضلع في المثلث الأول إلى طول الضلع المناظر له في المثلث الثاني هي ثابتة. يمكن استخدام هذه الخاصية لكتابة تناسب (معادلة تحتوي على نسبتين متساويتين) وحل هذه المعادلة لإيجاد أطوال الأضلاع المجهولة.
تلميح: تذكر العلاقة بين الأضلاع في المثلثات المتشابهة.
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل
إذا كان `Δ أ ب ج` يشابه `Δ ك ل ر`، وكانت أطوال الأضلاع `أ ب = أ`، `ك ل = ٨`، `أ ج = ١٢,٥`، `ل ر = ٥`. ما المعادلة الصحيحة التي يمكن استخدامها لإيجاد قيمة `أ`؟
- أ) أ / ٥ = ٨ / ١٢,٥
- ب) أ × ٥ = ٨ × ١٢,٥
- ج) أ / ٨ = ١٢,٥ / ٥
- د) ٨ / أ = ٥ / ١٢,٥
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: أ / ٨ = ١٢,٥ / ٥
الشرح: بما أن المثلثين متشابهان، فإن الأضلاع المتناظرة متناسبة. الضلع `أ ب` يناظر الضلع `ك ل`، والضلع `أ ج` يناظر الضلع `ل ر`. لذا، التناسب الصحيح هو: `أ ب / ك ل = أ ج / ل ر`. بالتعويض بالقيم المعطاة: `أ / ٨ = ١٢,٥ / ٥`.
تلميح: قارن الأضلاع المتناظرة بشكل صحيح لتكوين التناسب.
التصنيف: سؤال اختبار | المستوى: متوسط
عند التعامل مع المثلثات المتداخلة المتشابهة، ما هي الخطوة الموصى بها لتبسيط الحل؟
- أ) تجاهل الجزء المتداخل من المثلثين تماماً.
- ب) استخدام نظرية فيثاغورس على المثلث الأكبر.
- ج) مضاعفة قياسات الأضلاع والزوايا للمثلث الأصغر.
- د) رسم كل مثلث على حدة، مع التأكد من كون العناصر المتناظرة في الموقع نفسه ووضع إشارات لتوضيحها.
الإجابة الصحيحة: d
الإجابة: رسم كل مثلث على حدة، مع التأكد من كون العناصر المتناظرة في الموقع نفسه ووضع إشارات لتوضيحها.
الشرح: المثلثات المتداخلة يمكن أن تكون مربكة بصرياً. لتسهيل عملية تحديد الأضلاع والزوايا المتناظرة وتطبيق التناسب، من الأفضل رسم كل مثلث منها بشكل منفصل. هذا يساعد على تنظيم المعلومات وتجنب الأخطاء في تحديد العناصر المتناظرة.
تلميح: فكر في كيفية جعل المشكلة أوضح بصرياً.
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط