مثال 4 من واقع الحياة القياسات غير المباشرة - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 المثلثات المتشابهة - تطبيقات

المفاهيم الأساسية

القياسات غير المباشرة: استخدام تشابه المثلثات لحساب أطوال أو ارتفاعات غير قابلة للقياس المباشر (مثل ارتفاع سارية أو شجرة) عن طريق مقارنة ظلالها مع ظل جسم معروف الطول.

خريطة المفاهيم

```markmap

المثلثات المتشابهة

أساسيات

ترميز قياس الزاوية

رسم المثلثات المتداخلة

تحديد التشابه

شرط التشابه (تناسب الأضلاع)

مثال تطبيقي

إيجاد المجهول

استخدام التناسب

الضرب التبادلي

تطبيقات عملية

القياسات غير المباشرة

#### باستخدام الظلال

##### مثال: قياس ارتفاع سارية

##### مثال: قياس ارتفاع شجرة

#### باستخدام مقياس الرسم

##### مثال: حساب المسافة الحقيقية من الخريطة

```

نقاط مهمة

• عند تشابه مثلثين، تكون النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة متساوية.
• يمكن استخدام ظل جسم معروف الطول لحساب ارتفاع جسم آخر غير معروف باستخدام التناسب: (ارتفاع الجسم 1 / طول ظله) = (ارتفاع الجسم 2 / طول ظله).
• مقياس الرسم في الخرائط هو نسبة ثابتة تستخدم لإيجاد المسافة الحقيقية: (المسافة على الخريطة) × (معامل مقياس الرسم) = المسافة الحقيقية.

---

حل مثال

مثال ٤ من واقع الحياة (قياس ارتفاع سارية العلم)

المعطيات:

• طول السلطان: 1.5 متر (أو 150 سم).
• طول ظل السلطان: 0.6 متر (أو 60 سم).
• طول ظل السارية: 90 سم.

الحل:

بسبب أشعة الشمس، يتشكل مثلثان متشابهان (الشخص وظله، والسارية وظلها).

نكتب التناسب:

ارتفاع السارية / طول ظل السارية = ارتفاع السلطان / طول ظل السلطان

\frac{س}{90} = \frac{1.5}{0.6}

نحل المعادلة باستخدام الضرب التبادلي:

0.6 \times س = 1.5 \times 90

0.6س = 135

س = \frac{135}{0.6} = 225

الناتج 225 سم، أي 2.25 متر.

ملاحظة: يبدو أن هناك خطأ مطبعي في الحل الوارد بالصفحة (س = ٦). الحساب الصحيح يعطي 2.25 متر.

مثال ٤ (قياس ارتفاع شجرة)

المعطيات (مستنتجة من النص غير المكتمل):

• طول ظل مريم: 75 سم.
• ارتفاع مريم: غير مذكور (يُفترض معروفاً).
• طول ظل الشجرة: 50 سم.

طريقة الحل (عامة):

ارسم شكلاً يمثل الموقف.

استخدم تناسب المثلثات المتشابهة:

ارتفاع الشجرة / طول ظل الشجرة = ارتفاع مريم / طول ظل مريم

عوض بالقيم المعروفة وأوجد المجهول.

---

> 📝 ملاحظة: هذه الصفحة تحتوي على أسئلة تقويمية - راجع تبويب الواجبات للإجابات الكاملة.

ظل: أراد سلطان قياس ارتفاع سارية العلم، فوقف بجانبها. إذا علمت أن طول سلطان متر و 50 سنتمترًا، وطول ظله 60 سنتمترًا، وطول ظل السارية في تلك اللحظة متران و 40 سنتمترًا، فما ارتفاع السارية؟ افهم: أوجد ارتفاع سارية العلم. خطط: ارسم شكلاً للموقف. حل: أشعة الشمس تشكّل مثلثات متشابهة. اكتب تناسبًا يقارن بين ارتفاعات الأجسام وأطوال ظلالها. لتكن س = ارتفاع سارية العلم ارتفاع السارية / طول سلطان = طول ظل السارية / طول ظل سلطان س / 1.5 = 2.4 / 0.6 0.6 س = 3.6 س = 6 فيكون ارتفاع سارية العلم يساوي 6 أمتار. تحقق: 6 / 1.5 = 2.4 / 0.6 3.6 = 3.6

تحقق من فهمك

4) خرائط: استعمل على خريطة المملكة مقياس رسم فيه كل 1 سم تمثل 250 كلم، إذا كانت المسافة بين جدة والمدينة المنورة على الخريطة 1.68 سم تقريبًا. فكم المسافة الحقيقية بينهما؟

تأكد

المثالان 1، 2

حدد ما إذا كان كل زوج من المثلثات في السؤالين الآتيين متشابهين أم لا، وبرر إجابتك:

1)

2)

مثال 3

في الأسئلة 3-6، إذا كان Δ أ ب جـ ~ Δ س ص ع، فأوجد قياسات العناصر المجهولة:

3) أ = 4، ب = 6، جـ = 8، س = 6

4) س = 9، ص = 15، ع = 21، جـ = 7

5) أ = 2، ب = 5، س = 10، ع = 30

6) ب = 6، جـ = 10، س = 30، ص = 15

مثال 4

7) أشجار: ترغب مريم في إيجاد ارتفاع شجرة في حديقتها، طول ظلها متران و 65 سنتمترًا. فإذا كان طول مريم متر و 50 سنتمترًا، وطول ظلها في تلك اللحظة 75 سنتمترًا. فما ارتفاع الشجرة؟

170 الفصل 9: المعادلات الجذرية والمثلثات

--- SECTION: مثال 4 من واقع الحياة القياسات غير المباشرة --- ظل: أراد سلطان قياس ارتفاع سارية العلم، فوقف بجانبها. إذا علمت أن طول سلطان متر و 50 سنتمترًا، وطول ظله 60 سنتمترًا، وطول ظل السارية في تلك اللحظة متران و 40 سنتمترًا، فما ارتفاع السارية؟ افهم: أوجد ارتفاع سارية العلم. خطط: ارسم شكلاً للموقف. حل: أشعة الشمس تشكّل مثلثات متشابهة. اكتب تناسبًا يقارن بين ارتفاعات الأجسام وأطوال ظلالها. لتكن س = ارتفاع سارية العلم ارتفاع السارية / طول سلطان = طول ظل السارية / طول ظل سلطان س / 1.5 = 2.4 / 0.6 0.6 س = 3.6 س = 6 فيكون ارتفاع سارية العلم يساوي 6 أمتار. تحقق: 6 / 1.5 = 2.4 / 0.6 3.6 = 3.6 تحقق من فهمك --- SECTION: 4 --- 4) خرائط: استعمل على خريطة المملكة مقياس رسم فيه كل 1 سم تمثل 250 كلم، إذا كانت المسافة بين جدة والمدينة المنورة على الخريطة 1.68 سم تقريبًا. فكم المسافة الحقيقية بينهما؟ تأكد المثالان 1، 2 حدد ما إذا كان كل زوج من المثلثات في السؤالين الآتيين متشابهين أم لا، وبرر إجابتك: --- SECTION: 1 --- 1) --- SECTION: 2 --- 2) مثال 3 في الأسئلة 3-6، إذا كان Δ أ ب جـ ~ Δ س ص ع، فأوجد قياسات العناصر المجهولة: --- SECTION: 3 --- 3) أ = 4، ب = 6، جـ = 8، س = 6 --- SECTION: 4 --- 4) س = 9، ص = 15، ع = 21، جـ = 7 --- SECTION: 5 --- 5) أ = 2، ب = 5، س = 10، ع = 30 --- SECTION: 6 --- 6) ب = 6، جـ = 10، س = 30، ص = 15 مثال 4 --- SECTION: 7 --- 7) أشجار: ترغب مريم في إيجاد ارتفاع شجرة في حديقتها، طول ظلها متران و 65 سنتمترًا. فإذا كان طول مريم متر و 50 سنتمترًا، وطول ظلها في تلك اللحظة 75 سنتمترًا. فما ارتفاع الشجرة؟ 170 الفصل 9: المعادلات الجذرية والمثلثات --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: رسم توضيحي يظهر سارية علم وسلطان مع ظلالهما لتوضيح تشابه المثلثات. سارية العلم لها ارتفاع مجهول 'س' وطول ظل 2.4 م. سلطان له ارتفاع 1.5 م وطول ظل 0.6 م. Key Values: ارتفاع سلطان: 1.5 م, ظل سلطان: 0.6 م, ظل السارية: 2.4 م, ارتفاع السارية: س **DIAGRAM**: Untitled Description: زوج من المثلثات القائمة الزاوية. المثلث الأول (الأيسر) له زاوية قائمة وزاوية حادة قياسها 50 درجة عند القاعدة. المثلث الثاني (الأيمن) له زاوية قائمة وزاوية حادة قياسها 40 درجة عند الرأس العلوي. Key Values: المثلث 1: زاوية 90°، زاوية 50°, المثلث 2: زاوية 90°، زاوية 40° **DIAGRAM**: Untitled Description: زوج من المثلثات القائمة الزاوية مع أطوال الأضلاع. المثلث الأكبر (الأيسر) أطوال أضلاعه: القاعدة 12، الارتفاع 8، الوتر 16. المثلث الأصغر (الأيمن) أطوال أضلاعه: القاعدة 3، الارتفاع 2، الوتر 4. Key Values: المثلث 1: أضلاع 8، 12، 16, المثلث 2: أضلاع 2، 3، 4 **DIAGRAM**: Untitled Description: رسم لمثلثين متشابهين Δ أ ب جـ و Δ س ص ع مع تسمية الرؤوس والأضلاع المقابلة لها بأحرف صغيرة. Key Values: المثلث 1: رؤوس أ، ب، جـ؛ أضلاع أ، ب، جـ, المثلث 2: رؤوس س، ص، ع؛ أضلاع س، ص، ع