فيما سبق - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 النسب المثلثية

المفاهيم الأساسية

حساب المثلثات: دراسة العلاقة بين زوايا المثلث وأضلاعه.

النسبة المثلثية: نسبة تقارن بين طولي ضلعين من أضلاع المثلث القائم.

الجيب (جا): نسبة الضلع المقابل للزاوية إلى الوتر.

جيب التمام (جتا): نسبة الضلع المجاور للزاوية إلى الوتر.

الظل (ظا): نسبة الضلع المقابل للزاوية إلى الضلع المجاور لها.

حل المثلث: إيجاد قياسات جميع زوايا وأضلاع المثلث.

خريطة المفاهيم

```markmap

النسب المثلثية

التعريف

حساب المثلثات

النسبة المثلثية

النسب الأساسية

الجيب (جا)

#### المقابل / الوتر

جيب التمام (جتا)

#### المجاور / الوتر

الظل (ظا)

#### المقابل / المجاور

خطوات الحل

1. استعمال نظرية فيثاغورس (إذا لزم)

2. كتابة النسب باستخدام أطوال الأضلاع

```

نقاط مهمة

• النسب المثلثية تستعمل لحساب زاوية ارتفاع أو انحدار طريق (مثل: انحدار ٢٥٪).
• النسب تُعرّف للزوايا الحادة في المثلث القائم الزاوية فقط.
• لحساب النسب، يجب معرفة أطوال الأضلاع أو استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد الضلع المجهول أولاً.

---

حل مثال

مثال ١: إيجاد نسب الجيب وجيب التمام، والظل للزاوية أ

المعطيات: مثلث قائم الزاوية في جـ، الوتر (أ ب) = ١٥، الضلع (جـ ب) = ٩ (المقابل للزاوية أ).

المطلوب: جا أ، جتا أ، ظا أ.

الحل:

إيجاد الضلع المجهول (أ جـ) المجاور للزاوية أ باستخدام نظرية فيثاغورس:

(أ جـ)^٢ + (جـ ب)^٢ = (أ ب)^٢

(أ جـ)^٢ + ٩^٢ = ١٥^٢

(أ جـ)^٢ + ٨١ = ٢٢٥

(أ جـ)^٢ = ١٤٤

أ جـ = ١٢

كتابة النسب المثلثية للزاوية أ:

- جا أ = المقابل / الوتر = ٩ / ١٥ = ٣ / ٥

- جتا أ = المجاور / الوتر = ١٢ / ١٥ = ٤ / ٥

- ظا أ = المقابل / المجاور = ٩ / ١٢ = ٣ / ٤

---

تحقق من فهمك

١) أوجد قيم النسب المثلثية الثلاث للزاوية ب (في نفس المثلث السابق).

الحل:

في المثلث نفسه (القائم في جـ)، بالنسبة للزاوية ب:

• الضلع المقابل للزاوية ب هو (أ جـ) = ١٢.
• الضلع المجاور للزاوية ب هو (جـ ب) = ٩.
• الوتر (أ ب) = ١٥.

إذن:

• جا ب = المقابل / الوتر = ١٢ / ١٥ = ٤ / ٥
• جتا ب = المجاور / الوتر = ٩ / ١٥ = ٣ / ٥
• ظا ب = المقابل / المجاور = ١٢ / ٩ = ٤ / ٣

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

٧-٩ النسب المثلثية

درست استعمال نظرية فيثاغورس.

• أجد النسب المثلثية للزوايا. • أستعمل النسب المثلثية لحل المثلث.

حساب المثلثات النسب المثلثية الجيب جيب التمام الظل حل المثلث معكوس الجيب معكوس جيب التمام معكوس الظل

يعني معدل انحدار طريق بنسبة ٢٥٪ أن الطريق ترتفع أو تنحدر ٢٥ قدمًا لكل ١٠٠ قدم أفقيًا. ويمكن استعمال النسب المثلثية لإيجاد قياس زاوية ارتفاع الطريق أو انحدارها. النسب المثلثية: حساب المثلثات هو دراسة العلاقة بين زوايا المثلث وأضلاعه. والنسبة المثلثية هي النسبة التي تقارن بين طولي ضلعين من أضلاع المثلث القائم. والنسب المثلثية الثلاث الأكثر شيوعًا هي الجيب، وجيب التمام، والظل، وهي موضحة في الجدول أدناه:

مفهوم أساسي: النسب المثلثية

مثال ١: إيجاد نسب الجيب وجيب التمام، والظل أوجد قيم النسب المثلثية الثلاث للزاوية أ. الخطوة ١: استعمل نظرية فيثاغورس لإيجاد أ ج. أ² + ب² = ج² (نظرية فيثاغورس) ٩² + ب² = ١٥² (أ = ٩، ج = ١٥) ٨١ + ب² = ٢٢٥ (ربع) ب² = ١٤٤ (اطرح ٨١ من كلا الطرفين) ب = ١٢ (أوجد الجذر التربيعي لكلا الطرفين) الخطوة ٢: استعمل أطوال الأضلاع لكتابة النسب المثلثية. جا أ = المقابل / الوتر = ٩ / ١٥ = ٣ / ٥ جتا أ = المجاور / الوتر = ١٢ / ١٥ = ٤ / ٥ ظا أ = المقابل / المجاور = ٩ / ١٢ = ٣ / ٤

تحقق من فهمك ١) أوجد قيم النسب المثلثية الثلاث للزاوية ب.

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa ٧-٩ النسب المثلثية --- SECTION: فيما سبق --- درست استعمال نظرية فيثاغورس. --- SECTION: والآن --- • أجد النسب المثلثية للزوايا. • أستعمل النسب المثلثية لحل المثلث. --- SECTION: المفردات --- حساب المثلثات النسب المثلثية الجيب جيب التمام الظل حل المثلث معكوس الجيب معكوس جيب التمام معكوس الظل --- SECTION: لماذا؟ --- يعني معدل انحدار طريق بنسبة ٢٥٪ أن الطريق ترتفع أو تنحدر ٢٥ قدمًا لكل ١٠٠ قدم أفقيًا. ويمكن استعمال النسب المثلثية لإيجاد قياس زاوية ارتفاع الطريق أو انحدارها. النسب المثلثية: حساب المثلثات هو دراسة العلاقة بين زوايا المثلث وأضلاعه. والنسبة المثلثية هي النسبة التي تقارن بين طولي ضلعين من أضلاع المثلث القائم. والنسب المثلثية الثلاث الأكثر شيوعًا هي الجيب، وجيب التمام، والظل، وهي موضحة في الجدول أدناه: --- SECTION: مفهوم أساسي --- مفهوم أساسي: النسب المثلثية --- SECTION: مثال ١ --- مثال ١: إيجاد نسب الجيب وجيب التمام، والظل أوجد قيم النسب المثلثية الثلاث للزاوية أ. الخطوة ١: استعمل نظرية فيثاغورس لإيجاد أ ج. أ² + ب² = ج² (نظرية فيثاغورس) ٩² + ب² = ١٥² (أ = ٩، ج = ١٥) ٨١ + ب² = ٢٢٥ (ربع) ب² = ١٤٤ (اطرح ٨١ من كلا الطرفين) ب = ١٢ (أوجد الجذر التربيعي لكلا الطرفين) الخطوة ٢: استعمل أطوال الأضلاع لكتابة النسب المثلثية. جا أ = المقابل / الوتر = ٩ / ١٥ = ٣ / ٥ جتا أ = المجاور / الوتر = ١٢ / ١٥ = ٤ / ٥ ظا أ = المقابل / المجاور = ٩ / ١٢ = ٣ / ٤ --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك ١) أوجد قيم النسب المثلثية الثلاث للزاوية ب. --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: Untitled Description: QR code for digital lesson link to ien.edu.sa **IMAGE**: Untitled Description: A triangular road warning sign showing a car on a slope. Text inside the triangle says 'منحدر %25'. Below the triangle is a yellow sign with '٥٠٠ متر' (500 meters). Context: Illustrates the real-world application of slopes and trigonometric ratios in road engineering. **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: التعبير اللفظي | الرموز | النموذج Rows: Row 1: جيب الزاوية أ = الضلع المقابل للزاوية أ / الوتر | جا أ = أ / ج | رسم لمثلث قائم الزاوية أ ب ج، الزاوية القائمة عند ج. الضلع المقابل للزاوية أ هو 'أ'، والمجاور هو 'ب'، والوتر هو 'ج'. Row 2: جيب تمام الزاوية أ = الضلع المجاور للزاوية أ / الوتر | جتا أ = ب / ج | نفس النموذج السابق Row 3: ظل الزاوية أ = الضلع المقابل للزاوية أ / الضلع المجاور للزاوية أ | ظا أ = أ / ب | نفس النموذج السابق Context: Defines the three primary trigonometric ratios (Sine, Cosine, Tangent) using verbal descriptions, symbols, and a geometric model. **DIAGRAM**: Untitled Description: Right-angled triangle with vertices labeled أ, ب, ج. The right angle is at vertex ج. The hypotenuse (أب) has a length of 15. The side opposite to angle أ (بج) has a length of 9. The side adjacent to angle أ (أج) is labeled with the variable 'ب'. Context: Visual aid for solving Example 1 and the 'Check Your Understanding' question.