مثال ٤ من واقع الحياة - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 معكوس الدوال المثلثية

المفاهيم الأساسية

معكوس الدوال المثلثية: إذا كانت النسبة المثلثية لزاوية حادة معروفة، يمكن إيجاد قياس الزاوية باستعمال الدالة العكسية المناسبة.

• الرموز: إذا كان جا أ = س، فإن جا⁻¹ س = ق د أ.
• الرموز: إذا كان جتا أ = س، فإن جتا⁻¹ س = ق د أ.
• الرموز: إذا كان ظا أ = س، فإن ظا⁻¹ س = ق د أ.

خريطة المفاهيم

```markmap

النسب المثلثية

التعريف

حساب المثلثات

النسبة المثلثية

النسب الأساسية

الجيب (جا)

#### المقابل / الوتر

جيب التمام (جتا)

#### المجاور / الوتر

الظل (ظا)

#### المقابل / المجاور

خطوات الحل

1. استعمال نظرية فيثاغورس (إذا لزم)

2. كتابة النسب باستخدام أطوال الأضلاع

استعمال الحاسبة

وضع الدرجات (Mode: Degrees)

تقريب النتائج

حل المثلث القائم

المعطيات المطلوبة

#### طولي ضلعين

#### طول ضلع وقياس زاوية حادة

الخطوات

#### 1. إيجاد الزاوية المجهولة

#### 2. اختيار النسبة المناسبة (جا، جتا، ظا)

#### 3. حل المعادلة لإيجاد الضلع المجهول

معكوس الدوال المثلثية

الغرض

#### إيجاد قياس الزاوية المجهولة إذا علمت النسبة

الرموز

#### جا⁻¹ س

#### جتا⁻¹ س

#### ظا⁻¹ س

خطوات الاستعمال

#### 1. كتابة النسبة المثلثية للزاوية

#### 2. استعمال الدالة العكسية المناسبة على الحاسبة

#### 3. تقريب النتيجة حسب المطلوب

```

نقاط مهمة

• لحساب ارتفاع نهاية جهاز السير: استخدمت نسبة الجيب (جا ١٠° = الارتفاع / ٢)، ثم حولت الناتج من أمتار إلى سنتيمترات.
• لإيجاد قياس زاوية مجهولة: استخدم نسبة جيب التمام (جتا ص = المجاور / الوتر)، ثم استخدمت الدالة العكسية جتا⁻¹ على الحاسبة.
• تذكر: استخدم وضع الدرجات (Degrees) في الحاسبة عند العمل مع النسب المثلثية.

---

حل مثال

مثال ٤: إيجاد طول الضلع المجهول

المسألة: يضع المدرب جهاز التمرين الرياضي مائلاً بمقدار ١٠°، فإذا كان طول سطح السير على الجهاز ٢م، فكم يجب رفع نهايته عن الأرض بالسنتيمترات تقريباً؟

الحل:

المثلث قائم الزاوية، حيث الوتر (طول السير) = ٢ م، والزاوية = ١٠°، والمطلوب هو طول الضلع المقابل للزاوية (هـ).

النسبة المناسبة هي الجيب: جا ١٠° = هـ / ٢

بالتعويض: هـ = ٢ × جا ١٠°

باستخدام الحاسبة: جا ١٠° ≈ ٠.١٧٣٦٤٨

إذن: هـ ≈ ٢ × ٠.١٧٣٦٤٨ ≈ ٠.٣٤٧٢٩٦ م

للتحويل إلى سنتيمترات: ٠.٣٤٧٢٩٦ × ١٠٠ ≈ ٣٤.٧٣ سم

الإجابة التقريبية: يجب رفع نهاية الجهاز حوالي ٣٥ سم.

مثال ٥: إيجاد قياس الزاوية المجهولة

المسألة: أوجد ق د ص إلى أقرب درجة (في المثلث س ص ع القائم في ع، حيث ص ع = ٨، س ص = ١٩).

الحل:

بالنسبة للزاوية ص، الضلع المجاور هو ص ع = ٨، والوتر هو س ص = ١٩.

النسبة المناسبة هي جيب التمام: جتا ص = المجاور / الوتر = ٨ / ١٩

لإيجاد قياس الزاوية، نستخدم الدالة العكسية: ق د ص = جتا⁻¹ (٨ / ١٩)

باستخدام الحاسبة: جتا⁻¹ (٨ ÷ ١٩) ≈ ٦٥.٠٩٨٩٣٧°

الإجابة مقربة لأقرب درجة: ق د ص ≈ ٦٥°.

---

تحقق من فهمك

السؤال ٤

المسألة: ما طول لوح تزلج يصنع مع سطح الأرض زاوية قياسها ٢٥°، ويرتفع طرفه ٢م؟

الحل:

المثلث قائم، حيث الارتفاع (٢م) هو الضلع المقابل للزاوية ٢٥°، والمطلوب هو طول اللوح (الوتر).

النسبة المناسبة هي الجيب: جا ٢٥° = المقابل / الوتر = ٢ / الوتر

بالتعويض: الوتر = ٢ / جا ٢٥°

باستخدام الحاسبة: جا ٢٥° ≈ ٠.٤٢٢٦١٨

إذن: طول اللوح ≈ ٢ / ٠.٤٢٢٦١٨ ≈ ٤.٧٣٢ م

الإجابة: طول لوح التزلج حوالي ٤.٧٣ متر.

السؤال ٥

المسألة: أوجد ق د س مقرباً إلى أقرب درجة إذا كان س ص = ١٤، ص ع = ٥ (في المثلث س ص ع القائم في ع).

الحل:

بالنسبة للزاوية س، الضلع المقابل هو ص ع = ٥، والوتر هو س ص = ١٤.

النسبة المناسبة هي الجيب: جا س = المقابل / الوتر = ٥ / ١٤

لإيجاد قياس الزاوية: ق د س = جا⁻¹ (٥ / ١٤)

باستخدام الحاسبة: جا⁻¹ (٥ ÷ ١٤) ≈ ٢٠.٩٢٤٨°

الإجابة مقربة لأقرب درجة: ق د س ≈ ٢١°.

إيجاد طول الضلع المجهول تمرين: يضع المدرب جهاز التمرين الرياضي مائلاً بمقدار ١٠°، فإذا كان طول سطح السير على الجهاز ٢ م، فكم يجب رفع نهايته عن الأرض بالسنتيمترات تقريباً؟ جا ١٠° = هـ / ٢ (تعريف الجيب) ٢ × جا ١٠° = هـ (اضرب كلا الطرفين في ٢) ٠,٣٥ ≈ هـ (استعمل الحاسبة) فتكون قيمة هـ بالأمتار تساوي ٠,٣٥، اضرب ٠,٣٥ في ١٠٠ لتحويل الأمتار إلى سنتمترات. يرفع المدرب الجهاز ٣٥ سم تقريباً.

للتمتع بصحة مثالية يجب على جميع الأشخاص من العمر ١٦-٦٥، التدرب لمدة ٣٠ دقيقة على الأقل على نشاط متوسط الشدة لمدة خمسة أيام في الأسبوع.

تحقق من فهمك ٤) لوح التزلج: ما طول لوح تزلج يصنع مع سطح الأرض زاوية قياسها ٢٥°، ويرتفع طرفه ٢ م؟

يُعبر عن قاعدة الدالة المثلثية إذا علمت الجيب أو جيب التمام أو الظل لزاوية حادة، فيمكنك إيجاد قياسها باستعمال معكوس النسب المثلثية.

إذا كانت ∠ أ زاوية حادة، وكان: التعبير اللفظي: إذا كانت جا أ = س فإن معكوس جيب س ورمزه جا⁻¹ س يساوي قياس ∠ أ. الرموز: إذا كان جا أ = س، فإن جا⁻¹ س = ق ∠ أ. التعبير اللفظي: إذا كانت جتا أ = س، فإن معكوس جيب تمام س ورمزه جتا⁻¹ س يساوي قياس ∠ أ. الرموز: إذا كان جتا أ = س، فإن جتا⁻¹ س = ق ∠ أ. التعبير اللفظي: إذا كانت ظا أ = س، فإن معكوس ظل س ورمزه ظا⁻¹ س يساوي قياس ∠ أ. الرموز: إذا كان ظا أ = س، فإن ظا⁻¹ س = ق ∠ أ.

إيجاد قياس الزاوية المجهولة أوجد ق ∠ ص إلى أقرب درجة. تعلم طول الضلع المجاور للزاوية ص وقياس الوتر. استعمل نسبة جيب التمام. جتا ص = ٨ / ١٩ (تعريف جيب التمام) استعمل الحاسبة البيانية ودالة جتا⁻¹ [cos⁻¹] لإيجاد قياس الزاوية. اضغط على المفاتيح: trig cos⁻¹ ( 8 ÷ 19 ) enter 65.098937 لذا فإن ق ∠ ص ≈ ٦٥°.

تحقق من فهمك ٥) أوجد ق ∠ س مقرباً إلى أقرب درجة إذا كان س ص = ١٤، ص ع = ٥ .

--- SECTION: مثال ٤ من واقع الحياة --- إيجاد طول الضلع المجهول تمرين: يضع المدرب جهاز التمرين الرياضي مائلاً بمقدار ١٠°، فإذا كان طول سطح السير على الجهاز ٢ م، فكم يجب رفع نهايته عن الأرض بالسنتيمترات تقريباً؟ جا ١٠° = هـ / ٢ (تعريف الجيب) ٢ × جا ١٠° = هـ (اضرب كلا الطرفين في ٢) ٠,٣٥ ≈ هـ (استعمل الحاسبة) فتكون قيمة هـ بالأمتار تساوي ٠,٣٥، اضرب ٠,٣٥ في ١٠٠ لتحويل الأمتار إلى سنتمترات. يرفع المدرب الجهاز ٣٥ سم تقريباً. --- SECTION: الربط مع الحياة --- للتمتع بصحة مثالية يجب على جميع الأشخاص من العمر ١٦-٦٥، التدرب لمدة ٣٠ دقيقة على الأقل على نشاط متوسط الشدة لمدة خمسة أيام في الأسبوع. --- SECTION: ٤ --- تحقق من فهمك ٤) لوح التزلج: ما طول لوح تزلج يصنع مع سطح الأرض زاوية قياسها ٢٥°، ويرتفع طرفه ٢ م؟ يُعبر عن قاعدة الدالة المثلثية إذا علمت الجيب أو جيب التمام أو الظل لزاوية حادة، فيمكنك إيجاد قياسها باستعمال معكوس النسب المثلثية. --- SECTION: مفهوم أساسي: معكوس الدوال المثلثية --- إذا كانت ∠ أ زاوية حادة، وكان: التعبير اللفظي: إذا كانت جا أ = س فإن معكوس جيب س ورمزه جا⁻¹ س يساوي قياس ∠ أ. الرموز: إذا كان جا أ = س، فإن جا⁻¹ س = ق ∠ أ. التعبير اللفظي: إذا كانت جتا أ = س، فإن معكوس جيب تمام س ورمزه جتا⁻¹ س يساوي قياس ∠ أ. الرموز: إذا كان جتا أ = س، فإن جتا⁻¹ س = ق ∠ أ. التعبير اللفظي: إذا كانت ظا أ = س، فإن معكوس ظل س ورمزه ظا⁻¹ س يساوي قياس ∠ أ. الرموز: إذا كان ظا أ = س، فإن ظا⁻¹ س = ق ∠ أ. --- SECTION: مثال ٥ --- إيجاد قياس الزاوية المجهولة أوجد ق ∠ ص إلى أقرب درجة. تعلم طول الضلع المجاور للزاوية ص وقياس الوتر. استعمل نسبة جيب التمام. جتا ص = ٨ / ١٩ (تعريف جيب التمام) استعمل الحاسبة البيانية ودالة جتا⁻¹ [cos⁻¹] لإيجاد قياس الزاوية. اضغط على المفاتيح: trig cos⁻¹ ( 8 ÷ 19 ) enter 65.098937 لذا فإن ق ∠ ص ≈ ٦٥°. --- SECTION: ٥ --- تحقق من فهمك ٥) أوجد ق ∠ س مقرباً إلى أقرب درجة إذا كان س ص = ١٤، ص ع = ٥ . --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: مثلث قائم الزاوية يمثل جهاز المشي المائل. الوتر يمثل سطح السير وطوله ٢ م. الزاوية بين الوتر والقاعدة الأفقية هي ١٠°. الضلع المقابل للزاوية يمثل الارتفاع ويرمز له بالرمز 'هـ'. Context: يوضح كيفية تطبيق دالة الجيب لإيجاد الارتفاع المجهول في سياق واقعي. **IMAGE**: Untitled Description: صورة فوتوغرافية لرجل يرتدي ملابس رياضية يستخدم جهاز مشي كهربائي (treadmill) في صالة ألعاب رياضية. Context: ربط المفهوم الرياضي بتطبيق من واقع الحياة. **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: التعبير اللفظي | الرموز Rows: Row 1: إذا كانت جا أ = س فإن معكوس جيب س ورمزه جا⁻¹ س يساوي قياس ∠ أ. | إذا كان جا أ = س، فإن جا⁻¹ س = ق ∠ أ. Row 2: إذا كانت جتا أ = س، فإن معكوس جيب تمام س ورمزه جتا⁻¹ س يساوي قياس ∠ أ. | إذا كان جتا أ = س، فإن جتا⁻¹ س = ق ∠ أ. Row 3: إذا كانت ظا أ = س، فإن معكوس ظل س ورمزه ظا⁻¹ س يساوي قياس ∠ أ. | إذا كان ظا أ = س، فإن ظا⁻¹ س = ق ∠ أ. Context: تعريف القواعد الأساسية لمعكوس النسب المثلثية. **DIAGRAM**: Untitled Description: مثلث قائم الزاوية س ص ع. الزاوية القائمة عند الرأس 'ع'. الوتر س ص طوله ١٩. الضلع ص ع (المجاور للزاوية ص) طوله ٨. المطلوب إيجاد قياس الزاوية ص. Context: يوضح كيفية استخدام معكوس جيب التمام لإيجاد قياس زاوية مجهولة بمعلومية المجاور والوتر.