مثال ٢ - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 حل المثلث القائم الزاوية

المفاهيم الأساسية

حل المثلث: إيجاد القياسات المجهولة لأضلاع المثلث القائم وزواياه.

رموز أضلاع المثلث: يرمز إلى طول الضلع المقابل للزاوية أ بالرمز أ، وإلى طول الضلع المقابل للزاوية ب بالرمز ب، وإلى طول الضلع المقابل للزاوية ج بالرمز ج.

خريطة المفاهيم

```markmap

النسب المثلثية

التعريف

حساب المثلثات

النسبة المثلثية

النسب الأساسية

الجيب (جا)

#### المقابل / الوتر

جيب التمام (جتا)

#### المجاور / الوتر

الظل (ظا)

#### المقابل / المجاور

خطوات الحل

1. استعمال نظرية فيثاغورس (إذا لزم)

2. كتابة النسب باستخدام أطوال الأضلاع

استعمال الحاسبة

وضع الدرجات (Mode: Degrees)

تقريب النتائج

حل المثلث القائم

المعطيات المطلوبة

#### طولي ضلعين

#### طول ضلع وقياس زاوية حادة

الخطوات

#### 1. إيجاد الزاوية المجهولة

#### 2. اختيار النسبة المناسبة (جا، جتا، ظا)

#### 3. حل المعادلة لإيجاد الضلع المجهول

```

نقاط مهمة

• يجب ضبط الآلة الحاسبة على وضع الدرجات (Degrees) قبل إيجاد قيم النسب المثلثية.
• يمكن تقريب نتائج النسب المثلثية إلى أقرب جزء من عشرة، أو ألف، أو عشرة آلاف حسب المطلوب.
• لحل مثلث قائم، يكفي معرفة: 1) طولي ضلعين، أو 2) طول ضلع وقياس زاوية حادة واحدة.

---

حل مثال

مثال ٢: إيجاد `جتا ٤٢°` باستخدام الحاسبة.

* الإجراء: ضع الحاسبة على وضع الدرجات، ثم أدخل الزاوية 42 وأوجد قيمة جيب التمام.

* النتيجة: `جتا ٤٢° ≈ ٠٫٧٤٣١` (مقربًا إلى أقرب جزء من ألف).

مثال ٣: حل المثلث القائم (الموضح بالشكل 1) حيث `ب ≈ ٤١°`، والضلع المقابل له `= ٦`.

* الخطوة ١ (إيجاد الزاوية د): `د = ٩٠° - ٤١° = ٤٩°`.

* الخطوة ٢ (إيجاد الضلع أ - المجاور للزاوية ب):

* النسبة المناسبة: الظل.

* `ظا ٤١° = ٦ / أ`

* `أ = ٦ / ظا ٤١° ≈ ٦٫٩`

* الخطوة ٣ (إيجاد الوتر جـ):

* النسبة المناسبة: الجيب.

* `جا ٤١° = ٦ / جـ`

* `جـ = ٦ / جا ٤١° ≈ ٩٫١`

* الحل النهائي: `أ ≈ ٦٫٩`، `جـ ≈ ٩٫١`، `د = ٤٩°`.

---

تحقق من فهمك

٢) ب) ظا ٧٦°: استخدم الحاسبة (وضع الدرجات) لإيجاد القيمة.

٢) ج) جا ٥٥°: استخدم الحاسبة (وضع الدرجات) لإيجاد القيمة.

١٣): حل المثلث القائم (الموضح بالشكل 2) حيث `ب ≈ ٥٥°`، والضلع المقابل له `= ٩`.

* الخطوة ١ (إيجاد الزاوية د): `د = ٩٠° - ٥٥° = ٣٥°`.

* الخطوة ٢ (إيجاد الضلع أ - المجاور للزاوية ب):

* النسبة المناسبة: الظل.

* `ظا ٥٥° = ٩ / أ`

* `أ = ٩ / ظا ٥٥°`

* الخطوة ٣ (إيجاد الوتر جـ):

* النسبة المناسبة: الجيب.

* `جا ٥٥° = ٩ / جـ`

* `جـ = ٩ / جا ٥٥°`

(يتم إكمال الحساب باستخدام الحاسبة للحصول على القيم العددية).

استعمال الحاسبة لإيجاد قيم العبارات استعمل الحاسبة لإيجاد جتا ٤٢° إلى أقرب جزء من عشرة آلاف. اضغط على المفاتيح: [on] [1 New Document] [1:Add Calculator] [trig] [COS] [42] [enter] قرّب إلى أقرب جزء من ألف. جتا ٤٢° ≈ ٠,٧٤٣١

تحقق من فهمك

استعمل النسب المثلثية: عندما تجد القياسات المجهولة لأضلاع المثلث القائم وزواياه، فإنك تكون بذلك قد قمت بحل المثلث، ويمكنك إيجاد القياسات المجهولة إذا علمت طولي ضلعين في المثلث، أو طول ضلع وقياس إحدى الزاويتين الحادتين.

حل المثلث حُلّ المثلث القائم الزاوية مقرّبًا طول كل ضلع إلى أقرب جزء من عشرة. الخطوة ١: أوجد قياس ∠أ. ١٨٠° - (٩٠° + ٤١°) = ٤٩°. قياس ∠أ = ٤٩°. الخطوة ٢: أوجد أ. بما أن قياس الضلع المقابل للزاوية ب معطى وتريد إيجاد قياس الضلع المجاور للزاوية ب، فاستعمل نسبة الظل. ظا ٤١° = ٦ / أ (تعريف الظل) أ ظا ٤١° = ٦ (اضرب كلا الطرفين في أ) أ = ٦ / ظا ٤١° ≈ ٦,٩ تقريبًا (اقسم الطرفين على ظا ٤١°، استعمل الحاسبة) لذا يكون أ = ب جـ ≈ ٦,٩ تقريبًا. الخطوة ٣: أوجد جـ. بما أن قياس الضلع المقابل للزاوية ب معطى وتريد إيجاد قياس الوتر، فاستعمل نسبة الجيب. جا ٤١° = ٦ / جـ (تعريف الجيب) جـ جا ٤١° = ٦ (اضرب كلا الطرفين في جـ) جـ = ٦ / جا ٤١° ≈ ٩,١ تقريبًا (اقسم الطرفين على جا ٤١°، استعمل الحاسبة) ولذا فإن جـ = أ ب ≈ ٩,١ تقريبًا.

تحقق من فهمك

تذكر رموز أطوال أضلاع المثلث. يُرمز إلى طول الضلع المقابل للرأس أ في المثلث أ ب جـ بالرمز أ، وإلى طول الضلع المقابل للرأس ب بالرمز ب، وإلى طول الضلع المقابل للرأس جـ بالرمز جـ.

وضع الآلة الحاسبة (mode). كن متأكدًا من وضع الآلة الحاسبة (mode) للعمل بالدرجات.

١٧٦ الفصل ٩: المعادلات الجذرية والمثلثات

--- SECTION: مثال ٢ --- استعمال الحاسبة لإيجاد قيم العبارات استعمل الحاسبة لإيجاد جتا ٤٢° إلى أقرب جزء من عشرة آلاف. اضغط على المفاتيح: [on] [1 New Document] [1:Add Calculator] [trig] [COS] [42] [enter] قرّب إلى أقرب جزء من ألف. جتا ٤٢° ≈ ٠,٧٤٣١ --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك ٢أ. جا ٣١° ٢ب. ظا ٧٦° ٢ج. جتا ٥٥° استعمل النسب المثلثية: عندما تجد القياسات المجهولة لأضلاع المثلث القائم وزواياه، فإنك تكون بذلك قد قمت بحل المثلث، ويمكنك إيجاد القياسات المجهولة إذا علمت طولي ضلعين في المثلث، أو طول ضلع وقياس إحدى الزاويتين الحادتين. --- SECTION: مثال ٣ --- حل المثلث حُلّ المثلث القائم الزاوية مقرّبًا طول كل ضلع إلى أقرب جزء من عشرة. الخطوة ١: أوجد قياس ∠أ. ١٨٠° - (٩٠° + ٤١°) = ٤٩°. قياس ∠أ = ٤٩°. الخطوة ٢: أوجد أ. بما أن قياس الضلع المقابل للزاوية ب معطى وتريد إيجاد قياس الضلع المجاور للزاوية ب، فاستعمل نسبة الظل. ظا ٤١° = ٦ / أ (تعريف الظل) أ ظا ٤١° = ٦ (اضرب كلا الطرفين في أ) أ = ٦ / ظا ٤١° ≈ ٦,٩ تقريبًا (اقسم الطرفين على ظا ٤١°، استعمل الحاسبة) لذا يكون أ = ب جـ ≈ ٦,٩ تقريبًا. الخطوة ٣: أوجد جـ. بما أن قياس الضلع المقابل للزاوية ب معطى وتريد إيجاد قياس الوتر، فاستعمل نسبة الجيب. جا ٤١° = ٦ / جـ (تعريف الجيب) جـ جا ٤١° = ٦ (اضرب كلا الطرفين في جـ) جـ = ٦ / جا ٤١° ≈ ٩,١ تقريبًا (اقسم الطرفين على جا ٤١°، استعمل الحاسبة) ولذا فإن جـ = أ ب ≈ ٩,١ تقريبًا. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك ٣أ. حُلّ المثلث القائم الزاوية الموضح في الرسم. ٣ب. حُلّ المثلث القائم الزاوية الموضح في الرسم. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- تذكر رموز أطوال أضلاع المثلث. يُرمز إلى طول الضلع المقابل للرأس أ في المثلث أ ب جـ بالرمز أ، وإلى طول الضلع المقابل للرأس ب بالرمز ب، وإلى طول الضلع المقابل للرأس جـ بالرمز جـ. --- SECTION: تنبيه ١ --- وضع الآلة الحاسبة (mode). كن متأكدًا من وضع الآلة الحاسبة (mode) للعمل بالدرجات. ١٧٦ الفصل ٩: المعادلات الجذرية والمثلثات --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: Untitled Description: لقطة شاشة لآلة حاسبة بيانية تعرض حساب جيب التمام للزاوية ٤٢ درجة. يظهر في السطر الأول cos(42) وفي الجهة المقابلة النتيجة 0.743145. Context: توضيح كيفية ظهور النتيجة على شاشة الحاسبة عند حساب النسب المثلثية. **DIAGRAM**: Untitled Description: مثلث قائم الزاوية أ ب جـ. الزاوية القائمة عند الرأس جـ (أعلى اليسار). الرأس أ يقع في أعلى اليمين، والرأس ب يقع في أسفل اليسار. الزاوية ب قياسها ٤١°. الضلع المقابل للزاوية ب (الضلع أ جـ) طوله ٦ وحدات. الضلع المجاور للزاوية ب هو ب جـ (يُرمز له بـ 'أ' في الحل)، والوتر هو أ ب (يُرمز له بـ 'جـ' في الحل). Key Values: ∠جـ = 90°, ∠ب = 41°, أ جـ = 6 **DIAGRAM**: Untitled Description: مثلث قائم الزاوية. الزاوية القائمة تقع عند الرأس جـ في أعلى اليمين. الرأس أ يقع في أعلى اليسار، والرأس ب يقع في أسفل اليمين. الزاوية أ قياسها ٣٥°. الوتر (الضلع أ ب) طوله ٧ وحدات. Key Values: ∠جـ = 90°, ∠أ = 35°, أ ب (الوتر) = 7 **DIAGRAM**: Untitled Description: مثلث قائم الزاوية. الزاوية القائمة تقع عند الرأس جـ في الأعلى. الرأس أ يقع في أسفل اليسار، والرأس ب يقع في أسفل اليمين. الزاوية أ قياسها ٥١°. الضلع المقابل للزاوية أ (الضلع ب جـ) طوله ١١ وحدة. Key Values: ∠جـ = 90°, ∠أ = 51°, ب جـ = 11