📋 المحتوى المنظم
📖 محتوى تعليمي مفصّل
نوع: محتوى تعليمي
مثال ٣ حُلّ كل مثلث قائم فيما يأتي مقربًا طول كل ضلع إلى أقرب جزء من عشرة:
26
نوع: QUESTION_HOMEWORK
٢٦) مثلث قائم الزاوية ص ع س، فيه الوتر ص س = ١٦، والزاوية س = ٤٧°.
27
نوع: QUESTION_HOMEWORK
٢٧) مثلث قائم الزاوية ك ل جـ، فيه الضلع ل جـ = ٩، والزاوية جـ = ٦٨°.
28
نوع: QUESTION_HOMEWORK
٢٨) مثلث قائم الزاوية ر ب جـ، فيه الضلع ب جـ = ٧، والزاوية جـ = ١٤°.
29
نوع: محتوى تعليمي
مثال ٤ ٢٩) سلّم كهربائي: يبلغ طول السلّم الكهربائي في أحد الأسواق الكبيرة ٣٥ مترًا، وقياس الزاوية التي يكوّنها مع الأرض ٢٩°، أوجد ارتفاع السلم.
نوع: محتوى تعليمي
مثال ٥ أوجد ق ∠ جـ لكل مثلث قائم الزاوية فيما يأتي مقربًا إلى أقرب درجة:
30
نوع: QUESTION_HOMEWORK
٣٠) مثلث قائم الزاوية ل ك جـ، فيه ل ك = ٦، ك جـ = ١٠.
31
نوع: QUESTION_HOMEWORK
٣١) مثلث قائم الزاوية جـ ك ل، فيه جـ ك = ٥، جـ ل = ١٦.
32
نوع: QUESTION_HOMEWORK
٣٢) مثلث قائم الزاوية ك جـ ل، فيه ك جـ = ١١، جـ ل = ١٧.
33
نوع: QUESTION_HOMEWORK
٣٣) وقف الملك عبدالعزيز: يصل ارتفاع أبراج وقف الملك عبدالعزيز المطلة على المسجد الحرام إلى ٤٠٠ متر. ينظر عمار إلى أعلى الأبراج بزاوية ٥٥°. فما بُعد عمار عن قاعدة الأبراج؟
34
نوع: QUESTION_HOMEWORK
٣٤) غابات: يقدّر حارس غابة ارتفاع شجرة بنحو ٥٠ مترًا. فإذا كان الحارس يقف على بعد ٣٠ مترًا من قاعدة الشجرة، فما مقياس الزاوية التي يشكّلها مع قمة الشجرة؟
نوع: محتوى تعليمي
في السؤالين ٣٥-٣٦، افترض أن ∠ أ زاوية حادة في المثلث القائم أ ب جـ، ثم أوجد:
35
نوع: QUESTION_HOMEWORK
٣٥) جا أ، ظا أ إذا كان جتا أ = ٣/٤.
36
نوع: QUESTION_HOMEWORK
٣٦) ظا أ، جتا أ إذا كان جا أ = ٢/٧.
37
نوع: QUESTION_HOMEWORK
٣٧) تمثيلات متعددة: سوف تكتشف في هذه المسألة العلاقة بين دوال الجيب ودوال جيب التمام.
38
نوع: QUESTION_HOMEWORK
٣٨) غواصات: إذا نزلت غوّاصة مسافة ٣ أميال قطريًا بزاوية مقدارها ١٠° مع قاع محيط. فكم يصبح بعدها عن سطح الماء؟
الربط مع الحياة
نوع: محتوى تعليمي
يبلغ طول أطول شجرة معمّرة نحو ١١٥ مترًا. وهناك نحو ١٣٥ شجرة من هذا النوع يزيد طولها على ١٠٧ أمتار.
نوع: METADATA
الدرس ٩-٧: النسب المثلثية ١٧٩
🔍 عناصر مرئية
مثلث قائم الزاوية ص ع س. الزاوية القائمة عند ع. الوتر ص س طوله ١٦. الزاوية عند س قياسها ٤٧°.
مثلث قائم الزاوية ك ل جـ. الزاوية القائمة عند ل. الضلع ل جـ طوله ٩. الزاوية عند جـ قياسها ٦٨°.
مثلث قائم الزاوية ر ب جـ. الزاوية القائمة عند ب. الضلع ب جـ طوله ٧. الزاوية عند جـ قياسها ١٤°.
رسم لسلّم كهربائي طوله ٣٥ مترًا يميل بزاوية ٢٩° مع الأرض. الارتفاع المطلوب إيجاده يمثل الضلع المقابل للزاوية.
مثلث قائم الزاوية ل ك جـ. الزاوية القائمة عند ك. الضلع ل ك = ٦، والضلع ك جـ = ١٠.
مثلث قائم الزاوية جـ ك ل. الزاوية القائمة عند ك. الضلع جـ ك = ٥، والوتر جـ ل = ١٦.
مثلث قائم الزاوية ك جـ ل. الزاوية القائمة عند ك. الضلع ك جـ = ١١، والوتر جـ ل = ١٧.
مثلث قائم الزاوية في ب. أ ب = ٣، ب جـ = ٤، أ جـ = ٥.
مثلث قائم الزاوية في ك. هـ ك = ٥، ك ل = ١٢، هـ ل = ١٣.
مثلث قائم الزاوية في ص. س ص = ٤٠، ص ز = ٩، س ز = ٤١.
📄 النص الكامل للصفحة
مثال ٣ حُلّ كل مثلث قائم فيما يأتي مقربًا طول كل ضلع إلى أقرب جزء من عشرة:
--- SECTION: 26 ---
٢٦) مثلث قائم الزاوية ص ع س، فيه الوتر ص س = ١٦، والزاوية س = ٤٧°.
--- SECTION: 27 ---
٢٧) مثلث قائم الزاوية ك ل جـ، فيه الضلع ل جـ = ٩، والزاوية جـ = ٦٨°.
--- SECTION: 28 ---
٢٨) مثلث قائم الزاوية ر ب جـ، فيه الضلع ب جـ = ٧، والزاوية جـ = ١٤°.
--- SECTION: 29 ---
مثال ٤ ٢٩) سلّم كهربائي: يبلغ طول السلّم الكهربائي في أحد الأسواق الكبيرة ٣٥ مترًا، وقياس الزاوية التي يكوّنها مع الأرض ٢٩°، أوجد ارتفاع السلم.
مثال ٥ أوجد ق ∠ جـ لكل مثلث قائم الزاوية فيما يأتي مقربًا إلى أقرب درجة:
--- SECTION: 30 ---
٣٠) مثلث قائم الزاوية ل ك جـ، فيه ل ك = ٦، ك جـ = ١٠.
--- SECTION: 31 ---
٣١) مثلث قائم الزاوية جـ ك ل، فيه جـ ك = ٥، جـ ل = ١٦.
--- SECTION: 32 ---
٣٢) مثلث قائم الزاوية ك جـ ل، فيه ك جـ = ١١، جـ ل = ١٧.
--- SECTION: 33 ---
٣٣) وقف الملك عبدالعزيز: يصل ارتفاع أبراج وقف الملك عبدالعزيز المطلة على المسجد الحرام إلى ٤٠٠ متر. ينظر عمار إلى أعلى الأبراج بزاوية ٥٥°. فما بُعد عمار عن قاعدة الأبراج؟
--- SECTION: 34 ---
٣٤) غابات: يقدّر حارس غابة ارتفاع شجرة بنحو ٥٠ مترًا. فإذا كان الحارس يقف على بعد ٣٠ مترًا من قاعدة الشجرة، فما مقياس الزاوية التي يشكّلها مع قمة الشجرة؟
في السؤالين ٣٥-٣٦، افترض أن ∠ أ زاوية حادة في المثلث القائم أ ب جـ، ثم أوجد:
--- SECTION: 35 ---
٣٥) جا أ، ظا أ إذا كان جتا أ = ٣/٤.
--- SECTION: 36 ---
٣٦) ظا أ، جتا أ إذا كان جا أ = ٢/٧.
--- SECTION: 37 ---
٣٧) تمثيلات متعددة: سوف تكتشف في هذه المسألة العلاقة بين دوال الجيب ودوال جيب التمام.
أ. جدوليًا: انقل الجدول الآتي وأكمله مستعملًا المثلثات أعلاه:
ب. لفظيًا: خمّن علاقة مجموع مربعي دالتي الجيب وجيب التمام لزاوية حادة في مثلث قائم الزاوية.
--- SECTION: 38 ---
٣٨) غواصات: إذا نزلت غوّاصة مسافة ٣ أميال قطريًا بزاوية مقدارها ١٠° مع قاع محيط. فكم يصبح بعدها عن سطح الماء؟
--- SECTION: الربط مع الحياة ---
يبلغ طول أطول شجرة معمّرة نحو ١١٥ مترًا. وهناك نحو ١٣٥ شجرة من هذا النوع يزيد طولها على ١٠٧ أمتار.
الدرس ٩-٧: النسب المثلثية ١٧٩
--- VISUAL CONTEXT ---
**DIAGRAM**: Untitled
Description: مثلث قائم الزاوية ص ع س. الزاوية القائمة عند ع. الوتر ص س طوله ١٦. الزاوية عند س قياسها ٤٧°.
Key Values: الوتر = ١٦, الزاوية س = ٤٧°
**DIAGRAM**: Untitled
Description: مثلث قائم الزاوية ك ل جـ. الزاوية القائمة عند ل. الضلع ل جـ طوله ٩. الزاوية عند جـ قياسها ٦٨°.
Key Values: المجاور لـ جـ = ٩, الزاوية جـ = ٦٨°
**DIAGRAM**: Untitled
Description: مثلث قائم الزاوية ر ب جـ. الزاوية القائمة عند ب. الضلع ب جـ طوله ٧. الزاوية عند جـ قياسها ١٤°.
Key Values: المجاور لـ جـ = ٧, الزاوية جـ = ١٤°
**DIAGRAM**: Untitled
Description: رسم لسلّم كهربائي طوله ٣٥ مترًا يميل بزاوية ٢٩° مع الأرض. الارتفاع المطلوب إيجاده يمثل الضلع المقابل للزاوية.
Key Values: طول السلم (الوتر) = ٣٥ م, زاوية الميل = ٢٩°
**DIAGRAM**: Untitled
Description: مثلث قائم الزاوية ل ك جـ. الزاوية القائمة عند ك. الضلع ل ك = ٦، والضلع ك جـ = ١٠.
Key Values: المقابل لـ جـ = ٦, المجاور لـ جـ = ١٠
**DIAGRAM**: Untitled
Description: مثلث قائم الزاوية جـ ك ل. الزاوية القائمة عند ك. الضلع جـ ك = ٥، والوتر جـ ل = ١٦.
Key Values: المجاور لـ جـ = ٥, الوتر = ١٦
**DIAGRAM**: Untitled
Description: مثلث قائم الزاوية ك جـ ل. الزاوية القائمة عند ك. الضلع ك جـ = ١١، والوتر جـ ل = ١٧.
Key Values: المجاور لـ جـ = ١١, الوتر = ١٧
**DIAGRAM**: Untitled
Description: مثلث قائم الزاوية في ب. أ ب = ٣، ب جـ = ٤، أ جـ = ٥.
Key Values: أ ب = ٣, ب جـ = ٤, أ جـ = ٥
**DIAGRAM**: Untitled
Description: مثلث قائم الزاوية في ك. هـ ك = ٥، ك ل = ١٢، هـ ل = ١٣.
Key Values: هـ ك = ٥, ك ل = ١٢, هـ ل = ١٣
**DIAGRAM**: Untitled
Description: مثلث قائم الزاوية في ص. س ص = ٤٠، ص ز = ٩، س ز = ٤١.
Key Values: س ص = ٤٠, ص ز = ٩, س ز = ٤١
**TABLE**: Untitled
Description: No description
Table Structure:
Headers: المثلث | النسب المثلثية | جا² | جتا² | جا² + جتا² =
Rows:
Row 1: أ ب جـ | جا أ = ... جتا أ = ... | جا² أ = ... | جتا² أ = ... | ______
Row 2: هـ ك ل | جا هـ = ... جتا هـ = ... | جا² هـ = ... | جتا² هـ = ... | ______
Row 3: س ص ز | جا س = ... جتا س = ... | جا² س = ... | جتا² س = ... | ______
Empty cells: جميع خلايا النسب والعمليات الحسابية فارغة ليتم ملؤها من قبل الطالب
🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة
عدد البطاقات: 5 بطاقة لهذه الصفحة
مثلث قائم الزاوية ص ع س، فيه الوتر ص س = ١٦، والزاوية س = ٤٧°. أوجد طول الضلعين ص ع وع س مقربًا لأقرب جزء من عشرة.
- أ) ص ع ≈ ١٠.٩، ع س ≈ ١١.٧
- ب) ص ع ≈ ١١.٧، ع س ≈ ١٠.٩
- ج) ص ع ≈ ١٤.٦، ع س ≈ ٨.٧
- د) ص ع ≈ ٨.٧، ع س ≈ ١٤.٦
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: ص ع ≈ ١١.٧، ع س ≈ ١٠.٩
الشرح: ١. الزاوية ع قائمة (٩٠°).
٢. لإيجاد ص ع (الضلع المقابل للزاوية س): جا(٤٧°) = ص ع / ١٦ => ص ع = ١٦ × جا(٤٧°) ≈ ١٦ × ٠.٧٣١٤ ≈ ١١.٧.
٣. لإيجاد ع س (الضلع المجاور للزاوية س): جتا(٤٧°) = ع س / ١٦ => ع س = ١٦ × جتا(٤٧°) ≈ ١٦ × ٠.٦٨٢٠ ≈ ١٠.٩.
تلميح: استخدم دوال الجيب وجيب التمام لإيجاد الأضلاع المقابلة والمجاورة للزاوية المعلومة.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط
مثلث قائم الزاوية ك ل جـ، فيه الضلع ل جـ = ٩، والزاوية جـ = ٦٨°. أوجد طول الضلعين ك ل وك جـ مقربًا لأقرب جزء من عشرة.
- أ) ك ل ≈ ١٧.٥، ك جـ ≈ ١٩.٨
- ب) ك ل ≈ ٢٤.٠، ك جـ ≈ ٢٢.٣
- ج) ك ل ≈ ٢٢.٣، ك جـ ≈ ٢٤.٠
- د) ك ل ≈ ٨.٣، ك جـ ≈ ٩.٧
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: ك ل ≈ ٢٢.٣، ك جـ ≈ ٢٤.٠
الشرح: ١. الزاوية ل قائمة (٩٠°).
٢. لإيجاد ك ل (الضلع المقابل للزاوية جـ): ظا(٦٨°) = ك ل / ٩ => ك ل = ٩ × ظا(٦٨°) ≈ ٩ × ٢.٤٧٥١ ≈ ٢٢.٣.
٣. لإيجاد ك جـ (الوتر): جتا(٦٨°) = ٩ / ك جـ => ك جـ = ٩ / جتا(٦٨°) ≈ ٩ / ٠.٣٧٤٦ ≈ ٢٤.٠.
تلميح: استخدم دالة الظل لإيجاد الضلع المقابل ودالة جيب التمام لإيجاد الوتر.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط
مثلث قائم الزاوية ر ب جـ، فيه الضلع ب جـ = ٧، والزاوية جـ = ١٤°. أوجد طول الضلعين ر ب ور جـ مقربًا لأقرب جزء من عشرة.
- أ) ر ب ≈ ٧.٠، ر جـ ≈ ٧.٢
- ب) ر ب ≈ ١.٧، ر جـ ≈ ٧.٢
- ج) ر ب ≈ ٦.٨، ر جـ ≈ ٧.٠
- د) ر ب ≈ ٧.٢، ر جـ ≈ ١.٧
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: ر ب ≈ ١.٧، ر جـ ≈ ٧.٢
الشرح: ١. الزاوية ب قائمة (٩٠°).
٢. لإيجاد ر ب (الضلع المقابل للزاوية جـ): ظا(١٤°) = ر ب / ٧ => ر ب = ٧ × ظا(١٤°) ≈ ٧ × ٠.٢٤٩٣ ≈ ١.٧.
٣. لإيجاد ر جـ (الوتر): جتا(١٤°) = ٧ / ر جـ => ر جـ = ٧ / جتا(١٤°) ≈ ٧ / ٠.٩٧٠٣ ≈ ٧.٢.
تلميح: الضلع ب جـ مجاور للزاوية جـ. استخدم دالة الظل لإيجاد الضلع المقابل ودالة جيب التمام لإيجاد الوتر.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط
سلّم كهربائي: يبلغ طول السلّم الكهربائي في أحد الأسواق الكبيرة ٣٥ مترًا، وقياس الزاوية التي يكوّنها مع الأرض ٢٩°. أوجد ارتفاع السلم مقربًا لأقرب جزء من عشرة.
- أ) ارتفاع السلم ≈ ٣٠.٦ متر
- ب) ارتفاع السلم ≈ ٧.٢ متر
- ج) ارتفاع السلم ≈ ١٧.٠ متر
- د) ارتفاع السلم ≈ ٣٣.٥ متر
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: ارتفاع السلم ≈ ١٧.٠ متر
الشرح: ١. ارتفاع السلم هو الضلع المقابل للزاوية ٢٩°.
٢. طول السلم هو الوتر (٣٥ مترًا).
٣. نستخدم دالة الجيب: جا(٢٩°) = الارتفاع / ٣٥.
٤. الارتفاع = ٣٥ × جا(٢٩°) ≈ ٣٥ × ٠.٤٨٤٨ ≈ ١٧.٠ متر.
تلميح: ارتفاع السلم يمثل الضلع المقابل للزاوية، وطول السلم يمثل الوتر.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط
مثلث قائم الزاوية ل ك جـ، فيه ل ك = ٦، ك جـ = ١٠. أوجد ق ∠ جـ مقربًا إلى أقرب درجة.
- أ) ق ∠ جـ ≈ ٥٩°
- ب) ق ∠ جـ ≈ ٣٧°
- ج) ق ∠ جـ ≈ ٣١°
- د) ق ∠ جـ ≈ ٥٣°
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: ق ∠ جـ ≈ ٣١°
الشرح: ١. الضلع المقابل للزاوية جـ هو ل ك = ٦.
٢. الضلع المجاور للزاوية جـ هو ك جـ = ١٠.
٣. نستخدم دالة الظل: ظا(جـ) = المقابل / المجاور = ٦ / ١٠ = ٠.٦.
٤. ق ∠ جـ = ظا⁻¹(٠.٦) ≈ ٣٠.٩٦°، وبالتقريب لأقرب درجة يكون ٣١°.
تلميح: الضلع ل ك مقابل للزاوية جـ، والضلع ك جـ مجاور لها.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط