مثال 3

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 9 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 الأسس (خاصية الأسس الصفرية والسالبة)

المفاهيم الأساسية

الأس الصفري: أي عدد غير الصفر مرفوع للقوة صفر يساوي ١.

الأس السالب: لأي عدد حقيقي أ ≠ ٠، وأي عدد صحيح ن، فإن: أ^{-ن} = \frac{١}{أ^ن}. ومقلوب أ^{-ن} هو أ^ن.

العبارة في أبسط صورة: تحتوي على أسس موجبة فقط، ويظهر كل أساس مرة واحدة فقط، ولا تتضمن قوى القوى، وجميع الكسور في أبسط صورة.

خريطة المفاهيم

```markmap

قسمة وحيدات الحد

الأساس النظري

قاعدة قسمة القوى

#### الصيغة: أ^م / أ^ن = أ^(م-ن)

#### الشرط: الأساس نفسه (أ ≠ ٠)

تطبيق على وحيدات الحد

#### فصل المتغيرات (مثال: (ج³/ج²) × (ه⁵/ه³))

#### تبسيط الناتج

المفردات الجديدة

الأس الصفري

#### التعريف: أ⁰ = ١ (لأ ≠ ٠)

#### طرق التفسير

##### الطريقة ١: ناتج قسمة القوى (أᵐ/أᵐ = أ⁰ = ١)

##### الطريقة ٢: تعريف القوى (التبسيط والاختصار)

الأسس السالبة

#### التعريف: أ⁻ⁿ = ١/أⁿ (لأ ≠ ٠)

#### العلاقة: مقلوب أ⁻ⁿ هو أⁿ

#### الهدف: كتابة العبارة بأسس موجبة فقط

رتبة المقدار

الهدف من الدرس

إيجاد ناتج قسمة وحيدتي حد

تبسيط عبارات تحتوي أسساً سالبة أو صفرية

قوى القسمة

القاعدة: (أ/ب)ᵐ = أᵐ/بᵐ

الشرط: ب ≠ ٠

تطبيق على المتغيرات

#### مثال: (٢م/٧)³ = ٨م³/٣٤٣

إرشادات للدراسة

انتبه للأقواس عند التبسيط

#### (٥س)² = ٢٥س²

#### ٥س² = ٥س²

```

نقاط مهمة

قاعدة قسمة القوى: أ^م / أ^ن = أ^{م-ن} (عندما يكون الأساس نفسه ولا يساوي صفرًا).
أي عدد (غير الصفر) مرفوع للقوة صفر يساوي ١.
خاصية الأس السالب تربط بين القوة السالبة والمقلوب: أ^{-ن} = \frac{١}{أ^ن}.
العبارة تكون في أبسط صورتها عندما تحتوي على أسس موجبة فقط.

---

حل مثال

مثال ٣: بسط كل عبارة مما يأتي، مفترضاً أن المقام لا يساوي صفرًا:

(أ)

\frac{٤س^٢}{٩س^٢} = \frac{٤}{٩} \quad \text{(باختصار } س^٢ \text{ من البسط والمقام)}

(ب)

\frac{س^٥}{س^٣} = س^{٥-٣} = س^٢

(ج)

\frac{(٢ن^٤جـ^٣هـ^٢)}{(٣ن^٣جـ^٥هـ)} = \frac{٢}{٣} \times ن^{٤-٣} \times جـ^{٣-٥} \times هـ^{٢-١} = \frac{٢}{٣} ن^١ جـ^{-٢} هـ^١ = \frac{٢ ن هـ}{٣ جـ^٢}

(تم تحويل الأس السالب (جـ⁻²) إلى مقام لكتابة العبارة بأسس موجبة)

---

تحقق من فهمك

بسط العبارة:

\frac{ب جـ^٢}{ب^٢ جـ}

الحل:

\frac{ب جـ^٢}{ب^٢ جـ} = ب^{١-٢} \times جـ^{٢-١} = ب^{-١} \times جـ^{١} = \frac{جـ}{ب}

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

مفهوم أساسي: خاصية الأس الصفري

نوع: محتوى تعليمي

التعبير اللفظي: أي عدد غير الصفر مرفوع للقوة صفر يساوي 1
الرموز: لأي عدد حقيقي أ لا يساوي صفرًا فإن: أ^0 = 1
أمثلة: 15^0 = 1 ، (ب/ج)^0 = 1 ، (2/7)^0 = 1

نوع: محتوى تعليمي

الأس الصفري
بسط كل عبارة مما يأتي، مفترضًا أن المقام لا يساوي صفرًا:
أ) (4 ن^2 ك^5 ر^2 / 9 ن^3 ك^2 ر)^0 = 1
ب) س^5 ص^0 / س^3 = س^5 (1) / س^3 = س^5 / س^3 = س^2

تحقق من فهمك

نوع: QUESTION_HOMEWORK

تحقق من فهمك

إرشادات للدراسة

نوع: محتوى تعليمي

الأس الصفري
انتبه للأقواس عند تبسيط أي عبارة. فالعبارة (5س)^0 تساوي 1، إلا أن العبارة 5 س^0 = 5

نوع: محتوى تعليمي

الأسس السالبة: قد تكون الأسس سالبة مثل: 2^-3 ، س^-3 ، ... ، ولاستقصاء معناها يمكنك تبسيط عبارات مثل س^2 / س^5 باستعمال الطريقتين الآتيتين:
الطريقة 1: س^2 / س^5 = س^(2-5) = س^-3 (ناتج قسمة القوى)
الطريقة 2: س^2 / س^5 = (س × س) / (س × س × س × س × س) = 1 / س^3 (تعريف القوى)
بما أن للعبارة س^2 / س^5 قيمة واحدة فقط، لذا نستنتج أن س^-3 = 1 / س^3

نوع: محتوى تعليمي

مفهوم أساسي: خاصية الأسس السالبة

نوع: محتوى تعليمي

التعبير اللفظي: لأي عدد حقيقي أ لا يساوي الصفر، ولأي عدد صحيح ن، فإن مقلوب أ^ن هو أ^-ن، ومقلوب أ^-ن هو أ^ن.
الرموز: لأي عدد حقيقي أ لا يساوي الصفر، وأي عدد صحيح ن، فإن: أ^-ن = 1 / أ^ن ، 1 / أ^-ن = أ^ن.
أمثلة: 2^-4 = 1 / 2^4 = 1 / 16 ، 1 / ج^-4 = ج^4

نوع: محتوى تعليمي

تُعد العبارة في أبسط صورة لها إذا احتوت على أسس موجبة فقط، وظهر كل أساس مرة واحدة فقط، ولا تتضمن قوى القوى، وأن تكون جميع الكسور الاعتيادية فيها في أبسط صورة.

نوع: METADATA

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

نوع: METADATA

20 الفصل 6: كثيرات الحدود

🔍 عناصر مرئية

A blue-bordered box containing the mathematical definition and examples of the zero exponent property. It highlights that any non-zero number raised to the power of zero is one.

A blue-bordered box explaining the negative exponent property, showing the relationship between negative exponents and reciprocals with symbolic notation and numerical examples.

A yellow-themed sidebar box titled 'Study Instructions' that warns students about the effect of parentheses on zero exponents, contrasting (5s)^0 and 5s^0.

📄 النص الكامل للصفحة

مفهوم أساسي: خاصية الأس الصفري

التعبير اللفظي: أي عدد غير الصفر مرفوع للقوة صفر يساوي 1
الرموز: لأي عدد حقيقي أ لا يساوي صفرًا فإن: أ^0 = 1
أمثلة: 15^0 = 1 ، (ب/ج)^0 = 1 ، (2/7)^0 = 1

--- SECTION: مثال 3 ---
الأس الصفري
بسط كل عبارة مما يأتي، مفترضًا أن المقام لا يساوي صفرًا:
أ) (4 ن^2 ك^5 ر^2 / 9 ن^3 ك^2 ر)^0 = 1
ب) س^5 ص^0 / س^3 = س^5 (1) / س^3 = س^5 / س^3 = س^2

--- SECTION: تحقق من فهمك ---
تحقق من فهمك
3أ. ب^4 ج^2 د^0 / ب^2 ج
3ب. (2 ن^4 ج^2 هـ^3 / 15 ن^3 ج^9 هـ^6)^0

--- SECTION: إرشادات للدراسة ---
الأس الصفري
انتبه للأقواس عند تبسيط أي عبارة. فالعبارة (5س)^0 تساوي 1، إلا أن العبارة 5 س^0 = 5

الأسس السالبة: قد تكون الأسس سالبة مثل: 2^-3 ، س^-3 ، ... ، ولاستقصاء معناها يمكنك تبسيط عبارات مثل س^2 / س^5 باستعمال الطريقتين الآتيتين:
الطريقة 1: س^2 / س^5 = س^(2-5) = س^-3 (ناتج قسمة القوى)
الطريقة 2: س^2 / س^5 = (س × س) / (س × س × س × س × س) = 1 / س^3 (تعريف القوى)
بما أن للعبارة س^2 / س^5 قيمة واحدة فقط، لذا نستنتج أن س^-3 = 1 / س^3

مفهوم أساسي: خاصية الأسس السالبة

التعبير اللفظي: لأي عدد حقيقي أ لا يساوي الصفر، ولأي عدد صحيح ن، فإن مقلوب أ^ن هو أ^-ن، ومقلوب أ^-ن هو أ^ن.
الرموز: لأي عدد حقيقي أ لا يساوي الصفر، وأي عدد صحيح ن، فإن: أ^-ن = 1 / أ^ن ، 1 / أ^-ن = أ^ن.
أمثلة: 2^-4 = 1 / 2^4 = 1 / 16 ، 1 / ج^-4 = ج^4

تُعد العبارة في أبسط صورة لها إذا احتوت على أسس موجبة فقط، وظهر كل أساس مرة واحدة فقط، ولا تتضمن قوى القوى، وأن تكون جميع الكسور الاعتيادية فيها في أبسط صورة.

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

20 الفصل 6: كثيرات الحدود

--- VISUAL CONTEXT ---
**FIGURE**: Untitled
Description: A blue-bordered box containing the mathematical definition and examples of the zero exponent property. It highlights that any non-zero number raised to the power of zero is one.
Context: Provides the foundational rule for simplifying expressions with zero exponents.

**FIGURE**: Untitled
Description: A blue-bordered box explaining the negative exponent property, showing the relationship between negative exponents and reciprocals with symbolic notation and numerical examples.
Context: Provides the foundational rule for simplifying expressions with negative exponents.

**SIDEBAR**: Untitled
Description: A yellow-themed sidebar box titled 'Study Instructions' that warns students about the effect of parentheses on zero exponents, contrasting (5s)^0 and 5s^0.
Context: Clarifies common misconceptions regarding the application of exponent rules to grouped terms.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 1

سؤال 1: تحقق من فهمك: بسط كل عبارة مما يأتي، مفترضًا أن المقام لا يساوي صفرًا: أ) (٢أ)٣ ب) (٣ب)٤ ج) (٥أ)٢

الإجابة: أ) ٨أ٣ ب) ٨١ب٤ ج) ٢٥أ٢

خطوات الحل:

**الهدف:** تبسيط العبارات المعطاة باستخدام قوانين الأسس.
**القوانين المستخدمة:** 1. $(ab)^n = a^n b^n$ (قوة حاصل الضرب) 2. $(a^m)^n = a^{m \times n}$ (قوة القوة)
**أ) (2أ)³** 1. توزيع الأس على كل من المعامل والمتغير: $(2أ)^3 = 2^3 \times أ^3$ 2. حساب $2^3$: $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ 3. النتيجة النهائية: $8أ^3$
**ب) (3ب)⁴** 1. توزيع الأس على كل من المعامل والمتغير: $(3ب)^4 = 3^4 \times ب^4$ 2. حساب $3^4$: $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$ 3. النتيجة النهائية: $81ب^4$
**ج) (5أ)²** 1. توزيع الأس على كل من المعامل والمتغير: $(5أ)^2 = 5^2 \times أ^2$ 2. حساب $5^2$: $5^2 = 5 \times 5 = 25$ 3. النتيجة النهائية: $25أ^2$
**الإجابات النهائية:** أ) $8أ^3$ ب) $81ب^4$ ج) $25أ^2$

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 5 بطاقة لهذه الصفحة

ما هي خاصية الأس الصفري في الرياضيات؟

أ) أي عدد حقيقي لا يساوي الصفر مرفوع للقوة صفر يساوي 1.
ب) أي عدد حقيقي مرفوع للقوة صفر يساوي العدد نفسه.
ج) أي عدد حقيقي لا يساوي الصفر مرفوع للقوة صفر يساوي صفر.
د) أي عدد حقيقي مرفوع للقوة صفر يساوي الأساس مضروباً في 0.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: أي عدد حقيقي لا يساوي الصفر مرفوع للقوة صفر يساوي 1.

الشرح: تُعرّف خاصية الأس الصفري بأن أي أساس لا يساوي صفر مرفوع للأس صفر تكون قيمته 1. هذا ينطبق على الأعداد الحقيقية والمتغيرات على حد سواء.

تلميح: تذكر القاعدة الأساسية للأس الصفري، وما هو شرط تطبيقها.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما قيمة العبارة (4 ن^2 ك^5 ر^2 / 9 ن^3 ك^2 ر)^0، بافتراض أن المقام لا يساوي صفرًا؟

أ) 0
ب) 1
ج) (4 ن^2 ك^5 ر^2 / 9 ن^3 ك^2 ر)
د) تحدد قيم ن، ك، ر

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 1

الشرح: 1. بما أن العبارة بأكملها داخل الأقواس مرفوعة للأس صفر. 2. وحسب خاصية الأس الصفري، فإن أي مقدار (غير صفري) مرفوع للأس صفر يساوي 1. 3. لذلك، قيمة العبارة هي 1.

تلميح: ركز على الأس الخارجي للعبارة بأكملها.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

ما أبسط صورة للعبارة س^5 ص^0 / س^3، بافتراض أن س، ص لا تساوي صفرًا؟

أ) س^2
ب) س^8
ج) س^5
د) 1

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: س^2

الشرح: 1. بسط ص^0 أولاً: ص^0 = 1 (خاصية الأس الصفري). 2. تصبح العبارة: س^5 * 1 / س^3 = س^5 / س^3. 3. طبق قاعدة قسمة القوى: س^(5-3) = س^2. 4. أبسط صورة هي س^2.

تلميح: ابدأ بتبسيط الحد الذي يحتوي على الأس الصفري، ثم طبق قاعدة قسمة القوى.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما هي خاصية الأسس السالبة؟

أ) أ^-ن = 1 / أ^ن ، 1 / أ^-ن = أ^ن.
ب) أ^-ن = -أ^ن ، 1 / أ^-ن = -أ^ن.
ج) أ^-ن = أ^ن ، 1 / أ^-ن = 1 / أ^ن.
د) أ^-ن = أ / ن ، 1 / أ^-ن = ن / أ.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: أ^-ن = 1 / أ^ن ، 1 / أ^-ن = أ^ن.

الشرح: خاصية الأسس السالبة تنص على أن العدد المرفوع لأس سالب يساوي مقلوب ذلك العدد مرفوعًا لنفس الأس ولكن موجبًا، والعكس صحيح أيضًا.

تلميح: تذكر العلاقة بين الأسس السالبة والمقلوب.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما أبسط صورة للعبارة ب^4 ج^2 د^0 / ب^2 ج، بافتراض أن ب, ج, د لا تساوي صفرًا؟

أ) ب^2 ج
ب) ب^2 ج د
ج) ب^6 ج^3
د) ب^2 ج / د

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: ب^2 ج

الشرح: 1. بسط د^0: د^0 = 1. 2. بسط حدود ب: ب^4 / ب^2 = ب^(4-2) = ب^2. 3. بسط حدود ج: ج^2 / ج = ج^(2-1) = ج. 4. اضرب النتائج: ب^2 * ج * 1 = ب^2 ج. 5. أبسط صورة هي ب^2 ج.

تلميح: طبق خاصية الأس الصفري أولاً، ثم خاصية قسمة القوى للمتغيرات المتشابهة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط