إرشادات للدراسة - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 الأسس السالبة

المفاهيم الأساسية

رتبة المقدار: تعبير عن العدد مقربًا إلى أقرب قوى العشرة. (مثال: 950000000000 ≈ 10¹¹)

خريطة المفاهيم

```markmap

قسمة وحيدات الحد

الأساس النظري

قاعدة قسمة القوى

#### الصيغة: أ^م / أ^ن = أ^(م-ن)

#### الشرط: الأساس نفسه (أ ≠ ٠)

تطبيق على وحيدات الحد

#### فصل المتغيرات (مثال: (ج³/ج²) × (ه⁵/ه³))

#### تبسيط الناتج

المفردات الجديدة

الأس الصفري

#### التعريف: أ⁰ = ١ (لأ ≠ ٠)

#### طرق التفسير

##### الطريقة ١: ناتج قسمة القوى (أᵐ/أᵐ = أ⁰ = ١)

##### الطريقة ٢: تعريف القوى (التبسيط والاختصار)

الأسس السالبة

#### التعريف: أ⁻ⁿ = ١/أⁿ (لأ ≠ ٠)

#### العلاقة: مقلوب أ⁻ⁿ هو أⁿ

#### الهدف: كتابة العبارة بأسس موجبة فقط

رتبة المقدار

#### التعريف: تعبير عن العدد مقربًا إلى أقرب قوى العشرة

#### الهدف: مقارنة المقادير وتقدير الحسابات وإجرائها بسرعة

الهدف من الدرس

إيجاد ناتج قسمة وحيدتي حد

تبسيط عبارات تحتوي أسساً سالبة أو صفرية

قوى القسمة

القاعدة: (أ/ب)ᵐ = أᵐ/بᵐ

الشرط: ب ≠ ٠

تطبيق على المتغيرات

#### مثال: (٢م/٧)³ = ٨م³/٣٤٣

إرشادات للدراسة

انتبه للأقواس عند التبسيط

#### (٥س)² = ٢٥س²

#### ٥س² = ٥س²

الإشارة السالبة

#### تأكد من موقع الإشارة السالبة

##### ٥⁻¹ = ١/٥

##### -٥⁻¹ = -١/٥

```

نقاط مهمة

• عند تبسيط عبارات تحتوي أسسًا سالبة، يمكن كتابة العبارة على صورة حاصل ضرب كسور اعتيادية ثم تطبيق قاعدة الأسس السالبة.
• خاصية الأسس السالبة: ن⁻² = \frac{١}{ن²} و ر⁻³ = \frac{١}{ر³}.
• عند قسمة القوى للأساس نفسه، نطرح الأسس: أ³ / أ⁻¹ = أ³⁻⁽⁻¹⁾ = أ⁴.
• رتبة المقدار تُستخدم لتقدير النسب في التطبيقات الواقعية، مثل مقارنة الأطوال.

---

حل مثال (مثال ٤)

أ) \frac{ن⁻² ف⁴}{ر⁻٣} = \frac{ف⁴ ر³}{ن²}

ب) \frac{٢ أ³ ب⁻² جـ⁻⁵}{٤ أ⁻¹ ب⁻³ جـ⁻⁴} = \frac{أ⁴ ب}{٢ جـ}

جـ) (\frac{١}{٥})⁻² (د⁴)⁻¹ (ب⁻³)⁻١ = \frac{٢٥ ب³}{د⁴}

---

تحقق من فهمك

٤أ) \frac{ف⁻³ س²}{و⁻⁶} = \frac{س² و⁶}{ف³}

٤ب) \frac{٣٢ أ⁻³ ب⁻²}{٤ أ⁻² ب⁻⁴} = \frac{٨ ب²}{أ}

٤جـ) \frac{٥ جـ⁻³ ك⁻٢ م⁻⁶}{٢٥ ك⁻⁴ م⁻²} = \frac{ك²}{٥ جـ³ م⁴}

---

> 📝 ملاحظة: هذه الصفحة تحتوي على أسئلة تقويمية - راجع تبويب الواجبات للإجابات الكاملة.

مثال ٤ الأسس السالبة

بسط كل عبارة مما يأتي، مفترضًا أن المقام لا يساوي صفرًا: أ) (ن^-٥ ف^٤) / ر^-٢ (ن^-٥ ف^٤) / ر^-٢ = (ن^-٥ / ١) (ف^٤ / ١) (١ / ر^-٢) ... اكتب العبارة على صورة حاصل ضرب كسور اعتيادية = (١ / ن^٥) (ف^٤ / ١) (ر^٢ / ١) ... ن^-٥ = ١ / ن^٥ ، ١ / ر^-٢ = ر^٢ = (ف^٤ ر^٢) / ن^٥ ... اضرب ب) (٢ د^٢ ب^٣ ج^-٥) / (١٠ د^-٣ ب^-١ ج^-٤) (٢ د^٢ ب^٣ ج^-٥) / (١٠ د^-٣ ب^-١ ج^-٤) = (٢ / ١٠) (د^٢ / د^-٣) (ب^٣ / ب^-١) (ج^-٥ / ج^-٤) ... جمع القوى للأساس نفسه = (١ / ٥) (د^(٢ - (-٣))) (ب^(٣ - (-١))) (ج^(-٥ - (-٤))) ... اقسم القوى، خاصية الأسس السالبة = (١ / ٥) د^٥ ب^٤ ج^-١ ... بسط = (١ / ٥) (د^٥) (ب^٤) (١ / ج) ... خاصية الأسس السالبة = (د^٥ ب^٤) / ٥ ج ... اضرب

الإشارة السالبة تأكد من موقع الإشارة السالبة. فمثلاً، ٥^-١ = ١ / ٥، في حين أن -١٥ ≠ ١ / ١٥

تحقق من فهمك

تحقق من فهمك

تستعمل رتبة المقدار لمقارنة المقادير وتقدير الحسابات وإجرائها بسرعة، وتعبر عن العدد مقربًا إلى أقرب قوى العشرة. فمثلاً العدد ٩٥٠٠٠٠٠٠٠٠٠ مقربًا إلى أقرب قوى العشرة هو ١٠^١١ أو ١٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠، لذا فإن رتبة المقدار ٩٥٠٠٠٠٠٠٠٠٠ هي ١٠^١١.

مثال ٥ من واقع الحياة تطبيق خواص الأسس

طول: افترض أن معدل طول الرجل ١,٧ متر، ومعدل طول النملة هو ٠,٠٠٠٨ متر. فكم مرة تقريبًا يساوي طول الرجل بالنسبة لطول النملة؟ افهم: علينا إيجاد رتبة طول كل من الرجل والنملة، ثم إيجاد النسبة بينهما. خطط: قرب كل طول إلى أقرب قوة للعدد ١٠، ثم أوجد نسبة طول الرجل إلى طول النملة. حل: بما أن معدل طول الرجل قريب من ١ متر؛ لذا تكون رتبة طوله هي ١٠^٠ أمتار. وبما أن معدل طول النملة يساوي ٠,٠٠١ متر تقريبًا؛ لذا فرتبة طول النملة هي ١٠^-٣ أمتار.

يوجد أكثر من ١٤٠٠٠ نوع من النمل في الكرة الأرضية. وبعضها يستطيع حمل أشياء كتلتها تعادل كتلة النملة ٥٠ مرة.

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 الدرس ٦-٢: قسمة وحيدات الحد ٢١

مثال ٤ الأسس السالبة بسط كل عبارة مما يأتي، مفترضًا أن المقام لا يساوي صفرًا: أ) (ن^-٥ ف^٤) / ر^-٢ (ن^-٥ ف^٤) / ر^-٢ = (ن^-٥ / ١) (ف^٤ / ١) (١ / ر^-٢) ... اكتب العبارة على صورة حاصل ضرب كسور اعتيادية = (١ / ن^٥) (ف^٤ / ١) (ر^٢ / ١) ... ن^-٥ = ١ / ن^٥ ، ١ / ر^-٢ = ر^٢ = (ف^٤ ر^٢) / ن^٥ ... اضرب ب) (٢ د^٢ ب^٣ ج^-٥) / (١٠ د^-٣ ب^-١ ج^-٤) (٢ د^٢ ب^٣ ج^-٥) / (١٠ د^-٣ ب^-١ ج^-٤) = (٢ / ١٠) (د^٢ / د^-٣) (ب^٣ / ب^-١) (ج^-٥ / ج^-٤) ... جمع القوى للأساس نفسه = (١ / ٥) (د^(٢ - (-٣))) (ب^(٣ - (-١))) (ج^(-٥ - (-٤))) ... اقسم القوى، خاصية الأسس السالبة = (١ / ٥) د^٥ ب^٤ ج^-١ ... بسط = (١ / ٥) (د^٥) (ب^٤) (١ / ج) ... خاصية الأسس السالبة = (د^٥ ب^٤) / ٥ ج ... اضرب --- SECTION: إرشادات للدراسة --- الإشارة السالبة تأكد من موقع الإشارة السالبة. فمثلاً، ٥^-١ = ١ / ٥، في حين أن -١٥ ≠ ١ / ١٥ تحقق من فهمك --- SECTION: ٤ --- تحقق من فهمك ٤أ. (ف^-٣ و س^٢) / (و ص^-٦) ٤ب. (٣٢ د^-٨ ب^٣ ج^-٤) / (٤ د^٣ ب^٢ ج^-٢) ٤ج. (٥ ج^-٣ ك^٢ م^-٦) / (٢٥ ك^-٤ م^-٢) تستعمل رتبة المقدار لمقارنة المقادير وتقدير الحسابات وإجرائها بسرعة، وتعبر عن العدد مقربًا إلى أقرب قوى العشرة. فمثلاً العدد ٩٥٠٠٠٠٠٠٠٠٠ مقربًا إلى أقرب قوى العشرة هو ١٠^١١ أو ١٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠، لذا فإن رتبة المقدار ٩٥٠٠٠٠٠٠٠٠٠ هي ١٠^١١. مثال ٥ من واقع الحياة تطبيق خواص الأسس طول: افترض أن معدل طول الرجل ١,٧ متر، ومعدل طول النملة هو ٠,٠٠٠٨ متر. فكم مرة تقريبًا يساوي طول الرجل بالنسبة لطول النملة؟ افهم: علينا إيجاد رتبة طول كل من الرجل والنملة، ثم إيجاد النسبة بينهما. خطط: قرب كل طول إلى أقرب قوة للعدد ١٠، ثم أوجد نسبة طول الرجل إلى طول النملة. حل: بما أن معدل طول الرجل قريب من ١ متر؛ لذا تكون رتبة طوله هي ١٠^٠ أمتار. وبما أن معدل طول النملة يساوي ٠,٠٠١ متر تقريبًا؛ لذا فرتبة طول النملة هي ١٠^-٣ أمتار. --- SECTION: الربط مع الحياة --- يوجد أكثر من ١٤٠٠٠ نوع من النمل في الكرة الأرضية. وبعضها يستطيع حمل أشياء كتلتها تعادل كتلة النملة ٥٠ مرة. وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 الدرس ٦-٢: قسمة وحيدات الحد ٢١ --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: Untitled Description: صورة فوتوغرافية لنملة حمراء تحمل ورقة خضراء كبيرة فوق رأسها، توضح قدرة النمل على حمل أوزان ثقيلة. Context: تستخدم الصورة لربط مفهوم رتبة المقدار والنسبة بمثال من واقع الحياة يتعلق بطول النملة مقارنة بطول الإنسان.