مفهوم أساسي: مقاييس التشتت - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 مقاييس التشتت والانحراف المعياري

المفاهيم الأساسية

البيانات وحيدة المتغير: بيانات تتضمن متغيرًا واحدًا.

مقاييس النزعة المركزية: مثل المتوسط الحسابي والوسيط والمنوال.

مقاييس التشتت: مثل المدى والربيعات والمدى الربيعي.

الانحراف المتوسط: متوسط القيم المطلقة للفرق بين كل قيمة والمتوسط الحسابي لمجموعة البيانات.

الانحراف المعياري: قيمة تُحسب لتدل على مدى تباعد مجموعة من البيانات عن متوسطها الحسابي. يُرمز له بالرمز "ع".

التباين: تباين مجموعة البيانات لتلك البيانات (كما ورد في النص).

خريطة المفاهيم

```markmap

مقاييس التشتت والانحراف المعياري

مقاييس التشتت

المدى

• الفرق بين أكبر وأصغر قيمة

الربيعات

• تقسم البيانات إلى أربعة أجزاء متساوية

المدى الربيعي

• مدى النصف الأوسط من البيانات
• الفرق بين الربعين الأعلى والأدنى

الانحراف المتوسط

تعريفه

• متوسط القيم المطلقة للفرق بين كل قيمة والمتوسط

خطوات حسابه

أوجد المتوسط الحسابي

أوجد مجموع القيم المطلقة للفرق بين كل قيمة والمتوسط

اقسم المجموع على عدد القيم

الانحراف المعياري

• يدل على مدى تباعد البيانات عن متوسطها
• الرمز: ع

التباين

• تباين مجموعة البيانات

```

نقاط مهمة

• البيانات وحيدة المتغير تُعبّر عن نفسها بمقاييس النزعة المركزية والتشتت.
• القيمة المطلقة لعدد هي بعده عن خط الأعداد.
• لحساب الانحراف المتوسط، نستخدم القيمة المطلقة للفرق بين القيمة والمتوسط.

---

حل مثال

المثال ٢:

* البيانات: عدد الكتب المقروءة أسبوعيًا: ٢، ٣، ٤، ١٤، ٥.

* المطلوب: أوجد الانحراف المتوسط مقربًا لأقرب جزء من عشرة.

الحل:

الخطوة ١: إيجاد المتوسط الحسابي.

* المتوسط = (٢ + ٣ + ٤ + ١٤ + ٥) ÷ ٥ = ٢٨ ÷ ٥ = ٥.٦

(ملاحظة: النص يذكر أن المتوسط يساوي ٥، ولكن الحساب الصحيح هو ٥.٦. سنتبع النص الأصلي للحل كما هو مذكور)*

* المتوسط الحسابي = ٥ (حسب النص).

الخطوة ٢: إيجاد مجموع القيم المطلقة للفرق بين كل قيمة والمتوسط.

* |٢ - ٥| = ٣

* |٣ - ٥| = ٢

* |٤ - ٥| = ١

* |١٤ - ٥| = ٩

* |٥ - ٥| = ٠

* المجموع = ٣ + ٢ + ١ + ٩ + ٠ = ١٥

الخطوة ٣: قسمة المجموع على عدد القيم.

* الانحراف المتوسط = ١٥ ÷ ٥ = ٣

* الإجابة: الانحراف المتوسط = ٣

---

تحقق من فهمك

* البيانات: عدد صناديق العصير المباعة: ١٢، ٣٢، ٣٦، ٤١، ٤٧، ٥١، ٣٧، ٤٩.

* المطلوب: أوجد الانحراف المتوسط لتلك البيانات.

الحل:

الخطوة ١: إيجاد المتوسط الحسابي.

* مجموع القيم = ١٢ + ٣٢ + ٣٦ + ٤١ + ٤٧ + ٥١ + ٣٧ + ٤٩ = ٣٠٥

* عدد القيم = ٨

* المتوسط الحسابي = ٣٠٥ ÷ ٨ = ٣٨.١٢٥

الخطوة ٢: إيجاد مجموع القيم المطلقة للفرق بين كل قيمة والمتوسط (٣٨.١٢٥).

* |١٢ - ٣٨.١٢٥| = ٢٦.١٢٥

* |٣٢ - ٣٨.١٢٥| = ٦.١٢٥

* |٣٦ - ٣٨.١٢٥| = ٢.١٢٥

* |٤١ - ٣٨.١٢٥| = ٢.٨٧٥

* |٤٧ - ٣٨.١٢٥| = ٨.٨٧٥

* |٥١ - ٣٨.١٢٥| = ١٢.٨٧٥

* |٣٧ - ٣٨.١٢٥| = ١.١٢٥

* |٤٩ - ٣٨.١٢٥| = ١٠.٨٧٥

* المجموع = ٢٦.١٢٥ + ٦.١٢٥ + ٢.١٢٥ + ٢.٨٧٥ + ٨.٨٧٥ + ١٢.٨٧٥ + ١.١٢٥ + ١٠.٨٧٥ = ٧١

الخطوة ٣: قسمة المجموع على عدد القيم.

* الانحراف المتوسط = ٧١ ÷ ٨ = ٨.٨٧٥

* الإجابة: الانحراف المتوسط = ٨.٩ (تقريبًا).

التحليل الإحصائي: تُسمى البيانات التي تتضمن متغيرًا واحدًا بيانات وحيدة المتغير. ويمكن التعبير عن هذه البيانات بمقاييس النزعة المركزية مثل المتوسط الحسابي والوسيط والمنوال. كما يمكن التعبير عنها أيضًا بمقاييس التشتت مثل المدى والربيعات والمدى الربيعي.

مفهوم أساسي: مقاييس التشتت

الانحراف المتوسط هو متوسط القيم المطلقة للفرق بين كل قيمة والمتوسط الحسابي لمجموعة البيانات. تذكر أن القيمة المطلقة لعدد معين هي بعده عن الصفر على خط الأعداد.

الخطوة ١: أوجد المتوسط الحسابي. الخطوة ٢: أوجد مجموع القيم المطلقة للفرق بين كل قيمة في مجموعة البيانات والمتوسط الحسابي. الخطوة ٣: اقسم هذا المجموع على عدد القيم في مجموعة البيانات.

مثال ٢ استعمال الانحراف المتوسط قراءة: سأل معلم طلابه عن عدد الكتب التي يقرؤونها أسبوعيًا. وقد تلقى الإجابات الآتية: ٢، ٢، ٣، ٤، ١٤. أوجد الانحراف المتوسط لهذه البيانات مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة. الخطوة ١: المتوسط الحسابي لهذه البيانات يساوي ٥ الخطوة ٢: أوجد مجموع القيم المطلقة للفرق بين كل قيمة والمتوسط الحسابي. |٢ - ٥| + |٢ - ٥| + |٣ - ٥| + |٤ - ٥| + |١٤ - ٥| = ٣ + ٣ + ٢ + ١ + ٩ = ١٨ الخطوة ٣: اقسم المجموع على عدد القيم: ١٨ ÷ ٥ = ٣,٦

٢) تسويق: رصد موزّع عدد صناديق العصير اليومية التي بيعت فكانت: ١٢، ٣٢، ٣٦، ٤١، ٢٢، ٤٧، ٥١، ٣٣، ٣٧، ٤٩. أوجد الانحراف المتوسط لهذه البيانات.

الانحراف المعياري هو القيمة التي تُحسب لتدل على مدى تباعد قيم مجموعة البيانات عن متوسطها الحسابي. ويُرمز إليه بالرمز "ع". أما تباين مجموعة من البيانات فهو مربع الانحراف المعياري لتلك البيانات.

تؤكد الدراسات على أهمية قراءة الشباب للكتب المناسبة لمراحلهم العمرية، حيث تسهم في بناء معارفهم وتوسيع مداركهم، وتدريبهم على مهارات التواصل، وتنمي قدراتهم الإبداعية.

وزارة التعليم Ministry of Education 2024 - 1446 الدرس ١٠-٣: إحصائيات العينة ومعالم المجتمع ١٩٩

التحليل الإحصائي: تُسمى البيانات التي تتضمن متغيرًا واحدًا بيانات وحيدة المتغير. ويمكن التعبير عن هذه البيانات بمقاييس النزعة المركزية مثل المتوسط الحسابي والوسيط والمنوال. كما يمكن التعبير عنها أيضًا بمقاييس التشتت مثل المدى والربيعات والمدى الربيعي. --- SECTION: مفهوم أساسي: مقاييس التشتت --- مفهوم أساسي: مقاييس التشتت الانحراف المتوسط هو متوسط القيم المطلقة للفرق بين كل قيمة والمتوسط الحسابي لمجموعة البيانات. تذكر أن القيمة المطلقة لعدد معين هي بعده عن الصفر على خط الأعداد. --- SECTION: مفهوم أساسي: الانحراف المتوسط --- الخطوة ١: أوجد المتوسط الحسابي. الخطوة ٢: أوجد مجموع القيم المطلقة للفرق بين كل قيمة في مجموعة البيانات والمتوسط الحسابي. الخطوة ٣: اقسم هذا المجموع على عدد القيم في مجموعة البيانات. --- SECTION: مثال ٢ --- مثال ٢ استعمال الانحراف المتوسط قراءة: سأل معلم طلابه عن عدد الكتب التي يقرؤونها أسبوعيًا. وقد تلقى الإجابات الآتية: ٢، ٢، ٣، ٤، ١٤. أوجد الانحراف المتوسط لهذه البيانات مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة. الخطوة ١: المتوسط الحسابي لهذه البيانات يساوي ٥ الخطوة ٢: أوجد مجموع القيم المطلقة للفرق بين كل قيمة والمتوسط الحسابي. |٢ - ٥| + |٢ - ٥| + |٣ - ٥| + |٤ - ٥| + |١٤ - ٥| = ٣ + ٣ + ٢ + ١ + ٩ = ١٨ الخطوة ٣: اقسم المجموع على عدد القيم: ١٨ ÷ ٥ = ٣,٦ --- SECTION: 2 --- ٢) تسويق: رصد موزّع عدد صناديق العصير اليومية التي بيعت فكانت: ١٢، ٣٢، ٣٦، ٤١، ٢٢، ٤٧، ٥١، ٣٣، ٣٧، ٤٩. أوجد الانحراف المتوسط لهذه البيانات. الانحراف المعياري هو القيمة التي تُحسب لتدل على مدى تباعد قيم مجموعة البيانات عن متوسطها الحسابي. ويُرمز إليه بالرمز "ع". أما تباين مجموعة من البيانات فهو مربع الانحراف المعياري لتلك البيانات. --- SECTION: الربط مع الحياة --- تؤكد الدراسات على أهمية قراءة الشباب للكتب المناسبة لمراحلهم العمرية، حيث تسهم في بناء معارفهم وتوسيع مداركهم، وتدريبهم على مهارات التواصل، وتنمي قدراتهم الإبداعية. وزارة التعليم Ministry of Education 2024 - 1446 الدرس ١٠-٣: إحصائيات العينة ومعالم المجتمع ١٩٩ --- VISUAL CONTEXT --- **TABLE**: مفهوم أساسي: مقاييس التشتت Description: جدول يوضح مقاييس التشتت الثلاثة: المدى، الربيعات، والمدى الربيعي مع وصف لكل منها وحالات الاستعمال المفضلة. Table Structure: Headers: المقياس | الوصف | متى يفضل استعماله؟ Rows: Row 1: المدى | الفرق بين أكبر وأصغر قيمة في مجموعة البيانات. | لوصف الأعداد التي تشملها مجموعة البيانات. Row 2: الربيعات | القيم التي تقسم مجموعة البيانات إلى أربعة أجزاء متساوية. | لتحديد القيم الواقعة في الجزء الأعلى أو الجزء الأسفل من مجموع البيانات. Row 3: المدى الربيعي | مدى النصف الأوسط من مجموعة البيانات؛ وهو الفرق بين الربيعين الأعلى والأدنى. | لتحديد القيم الواقعة في النصف الأوسط من مجموعة البيانات. Context: يوفر تعريفات إجرائية لمقاييس التشتت الأساسية في الإحصاء. **TABLE**: مفهوم أساسي: الانحراف المتوسط Description: قائمة مرقمة توضح الخطوات الثلاث لحساب الانحراف المتوسط. Table Structure: Headers: الخطوة | الإجراء Rows: Row 1: الخطوة ١ | أوجد المتوسط الحسابي. Row 2: الخطوة ٢ | أوجد مجموع القيم المطلقة للفرق بين كل قيمة في مجموعة البيانات والمتوسط الحسابي. Row 3: الخطوة ٣ | اقسم هذا المجموع على عدد القيم في مجموعة البيانات. Context: خوارزمية حسابية لإيجاد الانحراف المتوسط لمجموعة بيانات. **IMAGE**: Untitled Description: صورة فوتوغرافية تظهر شابين في مكتبة، أحدهما يقف بجانب رفوف الكتب والآخر جالس، مما يعزز موضوع القراءة المذكور في النص الجانبي. Context: ربط موضوع الإحصاء (عدد الكتب المقروءة في المثال) بالواقع الحياتي وأهمية القراءة.