مثال 4 من واقع الحياة - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 إحصائيات العينة ومعالم المجتمع

المفاهيم الأساسية

الانحراف المعياري: مقياس لمدى انتشار البيانات حول المتوسط الحسابي. كلما كان أكبر، كانت البيانات أكثر تباعدًا.

خريطة المفاهيم

```markmap

مقاييس التشتت والانحراف المعياري

مقاييس التشتت

المدى

• الفرق بين أكبر وأصغر قيمة

الربيعات

• تقسم البيانات إلى أربعة أجزاء متساوية

المدى الربيعي

• مدى النصف الأوسط من البيانات
• الفرق بين الربعين الأعلى والأدنى

الانحراف المتوسط

تعريفه

• متوسط القيم المطلقة للفرق بين كل قيمة والمتوسط

خطوات حسابه

أوجد المتوسط الحسابي

أوجد مجموع القيم المطلقة للفرق بين كل قيمة والمتوسط

اقسم المجموع على عدد القيم

الانحراف المعياري

• يدل على مدى تباعد البيانات عن متوسطها
• الرمز: ع

تفسير قيمته

• قيمة صغيرة: معظم البيانات قريبة جدًا من المتوسط
• قيمة كبيرة: البيانات متباعدة ومنتشرة على مدى أوسع، وقد تحتوي على قيم متطرفة

خطوات حسابه

أوجد المتوسط الحسابي (س)

أوجد التباين (ع²)

أوجد الجذر التربيعي للتباين

التباين

• تباين مجموعة البيانات
• الرمز: ع²

خطوات حسابه

أوجد المتوسط الحسابي (س)

أوجد مربع الفرق بين كل قيمة والمتوسط

اجمع النتائج ثم اقسم على عدد القيم

فئات البيانات

البيانات الكمية

• ناتجة عن القياس

البيانات النوعية

• بيانات تصنيفية

إحصائيات العينة ومعالم المجتمع

المجتمع

• جميع العناصر قيد الدراسة

العينة

• جزء من المجتمع يتم اختياره للدراسة

معلمة المجتمع

• قيمة عددية تصف خاصية للمجتمع بأكمله

إحصائية العينة

• قيمة عددية تصف خاصية للعينة فقط

```

نقاط مهمة

• يمكن تفسير مدى انتشار البيانات من خلال قيمة الانحراف المعياري.
• لحساب الانحراف المعياري باستخدام الآلة الحاسبة البيانية: (ON) → إدخال البيانات في القائمة → MENU → 4:Statistics → 1:Stat Calculations → 1:One-Variable Statistics.

---

حل مثال

مثال ١:

١. الموقف: تعليم.

* المجتمع: جميع طلاب الصف الثالث الثانوي في المدارس الثانوية في جدة.

* العينة: ١٠٠٣ طالب تم اختيارهم عشوائيًا.

* معلمة المجتمع: النسبة المئوية الحقيقية لجميع طلاب الثالث الثانوي في جدة الراغبين في دراسة الهندسة.

* إحصائية العينة: النسبة المئوية للطلاب في العينة (١٠٠٣ طالب) الذين أجابوا "نعم".

٢. الموقف: كتب.

* المجتمع: جميع الطلاب في الجامعات السعودية.

* العينة: ١٠٠٠ طالب تم اختيارهم للدراسة.

* معلمة المجتمع: المتوسط الحسابي الحقيقي للمبالغ التي ينفقها جميع طلاب الجامعات السعودية على الكتب الإضافية سنويًا.

* إحصائية العينة: المتوسط الحسابي للمبالغ التي أنفقها أفراد العينة (١٠٠٠ طالب).

مثال ٢:

* البيانات: عدد ساعات العمل الإضافي: ١٠، ١٢، ٦، ٩، ١٥، ١٢، ١٠، ١١، ٨.

* المطلوب: إيجاد الانحراف المتوسط.

1. المتوسط الحسابي: (١٠+١٢+٦+٩+١٥+١٢+١٠+١١+٨) / ٩ = ٩٣ / ٩ = ١٠.٣٣

2. مجموع القيم المطلقة للانحرافات عن المتوسط:

|١٠-١٠.٣٣| + |١٢-١٠.٣٣| + |٦-١٠.٣٣| + |٩-١٠.٣٣| + |١٥-١٠.٣٣| + |١٢-١٠.٣٣| + |١٠-١٠.٣٣| + |١١-١٠.٣٣| + |٨-١٠.٣٣|

= ٠.٣٣ + ١.٦٧ + ٤.٣٣ + ١.٣٣ + ٤.٦٧ + ١.٦٧ + ٠.٣٣ + ٠.٦٧ + ٢.٣٣ = ١٧.٣٣

3. الانحراف المتوسط: ١٧.٣٣ / ٩ ≈ ١.٩

---

تحقق من فهمك

٤) البيانات: ٢٠٠٠، ٢١٠٠، ١٩٠٠، ٢٠٠٠، ٢١٠٠، ٢٠٠٠، ١٩٥٠.

* المطلوب: إيجاد الانحراف المعياري.

* طريقة الحل: باستخدام الآلة الحاسبة البيانية (كما ورد في الصفحة).

1. أدخل القيم في قائمة.

2. استخدم أمر الإحصاء ذي المتغير الواحد (One-Variable Statistics).

* النتيجة: الانحراف المعياري ≈ ٩.٢١٦ (مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة).

---

> 📝 ملاحظة: هذه الصفحة تحتوي على أسئلة تقويمية - راجع تبويب الواجبات للإجابات الكاملة.

يمكن تفسير مدى انتشار البيانات من خلال الانحراف المعياري. فعلى سبيل المثال، إذا كان المتوسط الحسابي 75، والانحراف المعياري 3، فإن معظم قيم البيانات قريبة جدًا من المتوسط الحسابي، أما إذا كان المتوسط الحسابي 75، والانحراف المعياري 15، فإن هذه البيانات متباعدة ومنتشرة على مدى أوسع، وقد يكون من بينها قيم متطرفة.

التحليل الإحصائي تغذية: يسجل خالد عدد السعرات الحرارية التي يتناولها كل يوم. أوجد الانحراف المعياري مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة لمجموعة البيانات الآتية:

استعمل الآلة الحاسبة البيانية لإيجاد الانحراف المعياري. واضغط على المفاتيح (on) ثم أدخل كل قيمة من قيم البيانات في القائمة مع الضغط على (enter) بعد إدخال كل قيمة. ولإظهار قيمة الانحراف المعياري على الشاشة اضغط بالترتيب: menu > 4:Statistics > 1:Stat Calculations > 1:One-Variable Statistics... فيكون الانحراف المعياري 216.9 تقريبًا.

تحقق من فهمك

4) رصد خالد استهلاكه من السعرات خلال أسبوع آخر فكان: 1950، 2000، 2100، 2000، 1900، 2100، 2000 أوجد الانحراف المعياري لاستهلاكه من السعرات في هذا الأسبوع.

تأكد

عين العينة والمجتمع في كل من الموقفين الآتيين، ثم صف إحصائي العينة ومعلمة المجتمع:

1) تعليم: اختيرت عينة عشوائية من 1003 طلاب من الصف الثالث الثانوي في المدارس الثانوية في جدة، وسئلوا إن كانوا راغبين في دراسة الهندسة بالجامعة، ثم حسبت النسبة المئوية للذين كانت إجاباتهم "نعم".

2) كتب: أجريت دراسة شملت عينة مكونة من 1000 طالب في الجامعات السعودية حول المبالغ التي ينفقونها في شراء الكتب الإضافية في كل عام، ثم حسب المتوسط الحسابي لهذه المبالغ.

أوجد الانحراف المعياري:

3) عمل إضافي: أحصى مدير أحد المصانع عدد ساعات العمل الإضافي لعمال أحد الأقسام في الأسبوع فكانت: 10، 12، 6، 9، 15، 12، 10، 11، 20. أوجد الانحراف المتوسط لهذه البيانات مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة.

الدرس 10-3: إحصائيات العينة ومعالم المجتمع | وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

يمكن تفسير مدى انتشار البيانات من خلال الانحراف المعياري. فعلى سبيل المثال، إذا كان المتوسط الحسابي 75، والانحراف المعياري 3، فإن معظم قيم البيانات قريبة جدًا من المتوسط الحسابي، أما إذا كان المتوسط الحسابي 75، والانحراف المعياري 15، فإن هذه البيانات متباعدة ومنتشرة على مدى أوسع، وقد يكون من بينها قيم متطرفة. --- SECTION: مثال 4 من واقع الحياة --- التحليل الإحصائي تغذية: يسجل خالد عدد السعرات الحرارية التي يتناولها كل يوم. أوجد الانحراف المعياري مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة لمجموعة البيانات الآتية: استعمل الآلة الحاسبة البيانية لإيجاد الانحراف المعياري. واضغط على المفاتيح (on) ثم أدخل كل قيمة من قيم البيانات في القائمة مع الضغط على (enter) بعد إدخال كل قيمة. ولإظهار قيمة الانحراف المعياري على الشاشة اضغط بالترتيب: menu > 4:Statistics > 1:Stat Calculations > 1:One-Variable Statistics... فيكون الانحراف المعياري 216.9 تقريبًا. تحقق من فهمك --- SECTION: 4 --- 4) رصد خالد استهلاكه من السعرات خلال أسبوع آخر فكان: 1950، 2000، 2100، 2000، 1900، 2100، 2000 أوجد الانحراف المعياري لاستهلاكه من السعرات في هذا الأسبوع. تأكد --- SECTION: مثال 1 --- عين العينة والمجتمع في كل من الموقفين الآتيين، ثم صف إحصائي العينة ومعلمة المجتمع: --- SECTION: 1 --- 1) تعليم: اختيرت عينة عشوائية من 1003 طلاب من الصف الثالث الثانوي في المدارس الثانوية في جدة، وسئلوا إن كانوا راغبين في دراسة الهندسة بالجامعة، ثم حسبت النسبة المئوية للذين كانت إجاباتهم "نعم". --- SECTION: 2 --- 2) كتب: أجريت دراسة شملت عينة مكونة من 1000 طالب في الجامعات السعودية حول المبالغ التي ينفقونها في شراء الكتب الإضافية في كل عام، ثم حسب المتوسط الحسابي لهذه المبالغ. --- SECTION: مثال 2 --- أوجد الانحراف المعياري: --- SECTION: 3 --- 3) عمل إضافي: أحصى مدير أحد المصانع عدد ساعات العمل الإضافي لعمال أحد الأقسام في الأسبوع فكانت: 10، 12، 6، 9، 15، 12، 10، 11، 20. أوجد الانحراف المتوسط لهذه البيانات مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة. الدرس 10-3: إحصائيات العينة ومعالم المجتمع | وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **TABLE**: Untitled Description: جدول يوضح عدد السعرات الحرارية المستهلكة يومياً على مدار أسبوع. Table Structure: Headers: اليوم | السبت | الأحد | الإثنين | الثلاثاء | الأربعاء | الخميس | الجمعة Rows: Row 1: عدد السعرات | 1800 | 2000 | 2100 | 2250 | 1900 | 2500 | 2000 Context: بيانات مستخدمة لحساب الانحراف المعياري في المثال 4. **IMAGE**: Untitled Description: لقطة شاشة توضح واجهة جدول بيانات على آلة حاسبة بيانية (TI-Nspire) مع نتائج إحصائية لمتغير واحد. Key Values: Column A values: 2000, 2100, 2250, 1900, 2500, OneVar(a[]): 2078.57, Σx: 14550, Σx²: 3.05725E7, sx := Sn-1: 234.267, σx := σnx: 216.889 Context: توضيح كيفية استخدام التكنولوجيا لحساب الانحراف المعياري.