ملخص المفهوم: التباين والانحراف المعياري

Q: ما الاسم الآخر الذي تُعرف به البيانات النوعية؟

البيانات التصنيفية

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 9 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 التباين والانحراف المعياري

المفاهيم الأساسية

المتوسط الحسابي (س): متوسط المجتمع (يُحسب بنفس طريقة متوسط العينة).

التباين: متوسط مربعات الفروق بين كل قيمة والمتوسط الحسابي.

الانحراف المعياري (ع): الجذر التربيعي للتباين.

البيانات الكمية: بيانات ناتجة عن القياس.

البيانات النوعية: بيانات تصنيفية.

خريطة المفاهيم

```markmap

مقاييس التشتت والانحراف المعياري

مقاييس التشتت

المدى

الفرق بين أكبر وأصغر قيمة

الربيعات

تقسم البيانات إلى أربعة أجزاء متساوية

المدى الربيعي

مدى النصف الأوسط من البيانات
الفرق بين الربعين الأعلى والأدنى

الانحراف المتوسط

تعريفه

متوسط القيم المطلقة للفرق بين كل قيمة والمتوسط

خطوات حسابه

أوجد المتوسط الحسابي

أوجد مجموع القيم المطلقة للفرق بين كل قيمة والمتوسط

اقسم المجموع على عدد القيم

الانحراف المعياري

يدل على مدى تباعد البيانات عن متوسطها
الرمز: ع

خطوات حسابه

أوجد المتوسط الحسابي (س)

أوجد التباين (ع²)

أوجد الجذر التربيعي للتباين

التباين

تباين مجموعة البيانات
الرمز: ع²

خطوات حسابه

أوجد المتوسط الحسابي (س)

أوجد مربع الفرق بين كل قيمة والمتوسط

اجمع النتائج ثم اقسم على عدد القيم

فئات البيانات

البيانات الكمية

ناتجة عن القياس

البيانات النوعية

بيانات تصنيفية

```

نقاط مهمة

يُرمز للمتوسط الحسابي للمجتمع في هذا الكتاب بالرمز س.
لحساب التباين: (مجموع (القيمة - المتوسط)²) ÷ عدد القيم.
الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين.
مثال: للبيانات {٣، ٦، ٩، ١٢، ١٣}، المتوسط = ٩، التباين = ٧٤/٥، الانحراف المعياري ≈ ٣.٨.

---

حل مثال (مثال ٣)

المثال: أوجد المتوسط الحسابي والتباين والانحراف المعياري لمجموعة البيانات: ٣، ٦، ٩، ١٢، ١٣.

الحل:

إيجاد المتوسط الحسابي (س):

* المجموع = ٣ + ٦ + ٩ + ١٢ + ١٣ = ٤٥

* عدد القيم = ٥

* المتوسط (س) = ٤٥ ÷ ٥ = ٩

إيجاد التباين (ع²):

* مربع الفرق بين كل قيمة والمتوسط (٩):

* (٩ - ٣)² = ٣٦

* (٩ - ٦)² = ٩

* (٩ - ٩)² = ٠

* (٩ - ١٢)² = ٩

* (٩ - ١٣)² = ١٦

* مجموع مربعات الفروق = ٣٦ + ٩ + ٠ + ٩ + ١٦ = ٧٠

* التباين (ع²) = ٧٠ ÷ ٥ = ١٤

إيجاد الانحراف المعياري (ع):

* الانحراف المعياري (ع) = الجذر التربيعي للتباين = √١٤ ≈ ٣.٧

النتيجة النهائية: المتوسط الحسابي = ٩، التباين = ١٤، الانحراف المعياري ≈ ٣.٧.

(ملاحظة: هناك خطأ مطبعي بسيط في الحساب الأصلي بالصفحة حيث تم جمع مربعات الفروق لتصبح ٧٤ بدلاً من ٧٠. الحساب الصحيح للمربعات هو ٣٦+٩+٠+٩+١٦=٧٠)

---

تحقق من فهمك

السؤال: أوجد المتوسط الحسابي والتباين والانحراف المعياري لمجموعة البيانات: ٨، ١١، ١٥، ١٠، ٦.

الحل:

إيجاد المتوسط الحسابي (س):

* ترتيب البيانات: ٦، ٨، ١٠، ١١، ١٥

* المجموع = ٦ + ٨ + ١٠ + ١١ + ١٥ = ٥٠

* عدد القيم = ٥

* المتوسط (س) = ٥٠ ÷ ٥ = ١٠

إيجاد التباين (ع²):

* مربع الفرق بين كل قيمة والمتوسط (١٠):

* (١٠ - ٦)² = ١٦

* (١٠ - ٨)² = ٤

* (١٠ - ١٠)² = ٠

* (١٠ - ١١)² = ١

* (١٠ - ١٥)² = ٢٥

* مجموع مربعات الفروق = ١٦ + ٤ + ٠ + ١ + ٢٥ = ٤٦

* التباين (ع²) = ٤٦ ÷ ٥ = ٩.٢

إيجاد الانحراف المعياري (ع):

* الانحراف المعياري (ع) = √٩.٢ ≈ ٣.٠٣

النتيجة النهائية: المتوسط الحسابي = ١٠، التباين = ٩.٢، الانحراف المعياري ≈ ٣.٠.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

استعمل الطريقة المبينة أدناه لحساب التباين والانحراف المعياري.

نوع: محتوى تعليمي

الخطوة ١: أوجد المتوسط الحسابي س̄.
الخطوة ٢: أوجد مربع الفرق بين كل قيمة في مجموعة البيانات والمتوسط الحسابي، ثم اجمع هذه المربعات، واقسم المجموع على عدد القيم في مجموعة البيانات لتحصل على التباين.
الخطوة ٣: أوجد الانحراف المعياري بإيجاد الجذر التربيعي للتباين.

إرشادات للدراسة: رموز

نوع: محتوى تعليمي

يحسب المتوسط الحسابي للعينة وللمجتمع بالطريقة نفسها. وفي العادة يُرمز إلى متوسط العينة بالرمز س̄، ولكن سوف يستعمل هذا الرمز في هذا الكتاب ليدل على متوسط المجتمع.

مثال ٣: إيجاد التباين والانحراف المعياري

نوع: محتوى تعليمي

أوجد المتوسط الحسابي والتباين والانحراف المعياري مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة للأعداد ٣، ٦، ١١، ١٢، ١٣.

الخطوة ١: لإيجاد المتوسط الحسابي اجمع قيم البيانات، ثم اقسم المجموع على عددها.
س̄ = (٣ + ٦ + ١١ + ١٢ + ١٣) / ٥ = ٤٥ / ٥ = ٩

الخطوة ٢: لإيجاد التباين أوجد مربع الفرق بين كل قيمة والمتوسط الحسابي، ثم اجمع هذه المربعات، واقسم المجموع على عدد القيم.
ع² = [ (٣ - ٩)² + (٦ - ٩)² + (١١ - ٩)² + (١٢ - ٩)² + (١٣ - ٩)² ] / ٥
ع² = [ (-٦)² + (-٣)² + ٢² + ٣² + ٤² ] / ٥
ع² = (٣٦ + ٩ + ٤ + ٩ + ١٦) / ٥ = ٧٤ / ٥

الخطوة ٣: الانحراف المعياري يساوي الجذر التربيعي للتباين.
ع² = ٧٤ / ٥  (التباين)
ع = √(٧٤ / ٥)  (أوجد الجذر التربيعي لكلا الطرفين)
ع ≈ ٣,٨  (استعمل الحاسبة)

إذن المتوسط الحسابي ٩، والتباين ٧٤ / ٥، والانحراف المعياري ٣,٨ تقريبًا.

إرشادات للدراسة: فئات البيانات

نوع: محتوى تعليمي

تُسمى البيانات الكمية باسم البيانات الناتجة عن القياس، وتُسمى البيانات النوعية باسم البيانات التصنيفية.

تحقق من فهمك

نوع: QUESTION_ACTIVITY

أوجد المتوسط الحسابي والتباين والانحراف المعياري مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة لكل من مجموعتي البيانات الآتيتين:

نوع: METADATA

٢٠٠ الفصل ١٠: الإحصاء والاحتمال

نوع: NON_EDUCATIONAL

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

📄 النص الكامل للصفحة

استعمل الطريقة المبينة أدناه لحساب التباين والانحراف المعياري.

--- SECTION: ملخص المفهوم: التباين والانحراف المعياري ---
الخطوة ١: أوجد المتوسط الحسابي س̄.
الخطوة ٢: أوجد مربع الفرق بين كل قيمة في مجموعة البيانات والمتوسط الحسابي، ثم اجمع هذه المربعات، واقسم المجموع على عدد القيم في مجموعة البيانات لتحصل على التباين.
الخطوة ٣: أوجد الانحراف المعياري بإيجاد الجذر التربيعي للتباين.

--- SECTION: إرشادات للدراسة: رموز ---
يحسب المتوسط الحسابي للعينة وللمجتمع بالطريقة نفسها. وفي العادة يُرمز إلى متوسط العينة بالرمز س̄، ولكن سوف يستعمل هذا الرمز في هذا الكتاب ليدل على متوسط المجتمع.

--- SECTION: مثال ٣: إيجاد التباين والانحراف المعياري ---
أوجد المتوسط الحسابي والتباين والانحراف المعياري مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة للأعداد ٣، ٦، ١١، ١٢، ١٣.

الخطوة ١: لإيجاد المتوسط الحسابي اجمع قيم البيانات، ثم اقسم المجموع على عددها.
س̄ = (٣ + ٦ + ١١ + ١٢ + ١٣) / ٥ = ٤٥ / ٥ = ٩

الخطوة ٢: لإيجاد التباين أوجد مربع الفرق بين كل قيمة والمتوسط الحسابي، ثم اجمع هذه المربعات، واقسم المجموع على عدد القيم.
ع² = [ (٣ - ٩)² + (٦ - ٩)² + (١١ - ٩)² + (١٢ - ٩)² + (١٣ - ٩)² ] / ٥
ع² = [ (-٦)² + (-٣)² + ٢² + ٣² + ٤² ] / ٥
ع² = (٣٦ + ٩ + ٤ + ٩ + ١٦) / ٥ = ٧٤ / ٥

الخطوة ٣: الانحراف المعياري يساوي الجذر التربيعي للتباين.
ع² = ٧٤ / ٥  (التباين)
ع = √(٧٤ / ٥)  (أوجد الجذر التربيعي لكلا الطرفين)
ع ≈ ٣,٨  (استعمل الحاسبة)

إذن المتوسط الحسابي ٩، والتباين ٧٤ / ٥، والانحراف المعياري ٣,٨ تقريبًا.

--- SECTION: إرشادات للدراسة: فئات البيانات ---
تُسمى البيانات الكمية باسم البيانات الناتجة عن القياس، وتُسمى البيانات النوعية باسم البيانات التصنيفية.

--- SECTION: تحقق من فهمك ---
أوجد المتوسط الحسابي والتباين والانحراف المعياري مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة لكل من مجموعتي البيانات الآتيتين:
أ. ١٣، ٦، ١٠، ١٥، ١١، ٨
ب. ٩٢، ٨٤، ٧١، ٨٣، ١٠٠

٢٠٠ الفصل ١٠: الإحصاء والاحتمال

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 7 بطاقة لهذه الصفحة

ما هو الرمز الذي يستخدمه هذا الكتاب للدلالة على متوسط المجتمع؟

أ) م
ب) ع
ج) س̄
د) ح

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: س̄

الشرح: على الرغم من أن الرمز س̄ (س بار) يُستخدم عادة لمتوسط العينة، إلا أن هذا الكتاب يستخدمه للدلالة على متوسط المجتمع.

تلميح: الرمز يشير إلى المتوسط الحسابي، وهو حرف السين مع خط علوي.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

ما الاسم الآخر الذي تُعرف به البيانات النوعية؟

أ) البيانات الكمية
ب) البيانات الناتجة عن القياس
ج) البيانات التصنيفية
د) البيانات العددية

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: البيانات التصنيفية

الشرح: البيانات النوعية هي التي تعبر عن خصائص أو فئات ولا يمكن قياسها عددياً، ولذلك تُسمى أيضاً بالبيانات التصنيفية.

تلميح: فكر في طبيعة البيانات النوعية وكيف يتم تنظيمها.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

بعد إيجاد المتوسط الحسابي، ما هي الخطوة الأولى المحددة لحساب التباين لمجموعة بيانات؟

أ) جمع جميع القيم في مجموعة البيانات.
ب) قسمة مجموع القيم على عددها.
ج) إيجاد الجذر التربيعي للتباين الناتج.
د) إيجاد مربع الفرق بين كل قيمة في مجموعة البيانات والمتوسط الحسابي.

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: إيجاد مربع الفرق بين كل قيمة في مجموعة البيانات والمتوسط الحسابي.

الشرح: بعد إيجاد المتوسط الحسابي (س̄)، تبدأ عملية حساب التباين بإيجاد الفرق بين كل قيمة (س) في مجموعة البيانات والمتوسط الحسابي، ثم تربيع هذا الفرق (س - س̄)².

تلميح: تتبع خطوات المثال في الصفحة بعد حساب المتوسط الحسابي مباشرة.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما هي الخطوة الأولى والأساسية لحساب التباين والانحراف المعياري لأي مجموعة بيانات؟

أ) إيجاد الجذر التربيعي لمجموع الفروق.
ب) إيجاد مربع الفرق بين كل قيمة والمتوسط.
ج) إيجاد المتوسط الحسابي س̄.
د) تقسيم مجموع القيم على عددها مباشرة.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: إيجاد المتوسط الحسابي س̄.

الشرح: الخطوة الأولى والأكثر أهمية في عملية حساب التباين والانحراف المعياري هي إيجاد المتوسط الحسابي (س̄) لمجموعة البيانات، لأنه النقطة المرجعية التي تُحسب منها الفروق.

تلميح: يجب أن تبدأ دائمًا بتحديد القيمة المركزية لمجموعة البيانات.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

بعد إيجاد المتوسط الحسابي، ما هي الخطوات الصحيحة لحساب التباين (ع²) لمجموعة بيانات؟

أ) جمع الفروق مباشرة وقسمتها على عدد القيم.
ب) إيجاد الفرق المطلق بين كل قيمة والمتوسط ثم جمعها.
ج) إيجاد الجذر التربيعي لمجموع مربعات الفروق.
د) إيجاد مربع الفرق بين كل قيمة والمتوسط، ثم جمع هذه المربعات، وقسمة المجموع على عدد القيم.

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: إيجاد مربع الفرق بين كل قيمة والمتوسط، ثم جمع هذه المربعات، وقسمة المجموع على عدد القيم.

الشرح: 1. تُحسب الفروق بين كل قيمة والمتوسط الحسابي. 2. تُربع هذه الفروق للتخلص من الإشارات السالبة وإبراز التشتت. 3. تُجمع المربعات الناتجة. 4. يُقسم المجموع على عدد القيم للحصول على التباين.

تلميح: تذكر أن التباين يقيس مدى تشتت البيانات حول المتوسط الحسابي باستخدام الفروق المربعة.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما العلاقة الرياضية الصحيحة بين الانحراف المعياري (ع) والتباين (ع²)؟

أ) التباين هو الجذر التربيعي للانحراف المعياري.
ب) الانحراف المعياري هو معكوس التباين.
ج) الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين.
د) التباين هو ضعف الانحراف المعياري.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين.

الشرح: يُحسب التباين كمتوسط لمربعات الانحرافات عن المتوسط. ولإعادة هذا القياس إلى وحدات البيانات الأصلية وجعله قابلاً للتفسير بشكل مباشر، يتم أخذ الجذر التربيعي للتباين للحصول على الانحراف المعياري.

تلميح: أحد القياسين هو مربع الآخر، والآخر هو جذره.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

ما هو التعريف الصحيح الذي يفرق بين البيانات الكمية والبيانات النوعية؟

أ) البيانات الكمية تصف الخصائص، والنوعية تصف الأعداد.
ب) البيانات الكمية هي الناتجة عن القياس، بينما البيانات النوعية هي التصنيفية.
ج) كلاهما يشير إلى نفس النوع من البيانات.
د) البيانات الكمية لا يمكن جمعها، والنوعية يمكن جمعها.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: البيانات الكمية هي الناتجة عن القياس، بينما البيانات النوعية هي التصنيفية.

الشرح: 1. البيانات الكمية: هي قيم عددية يمكن قياسها أو عدّها (مثل الطول، الوزن، عدد الطلاب). 2. البيانات النوعية: هي بيانات وصفية تصنف الأشياء إلى فئات أو مجموعات (مثل لون العين، الجنس، الحالة الاجتماعية).

تلميح: فكر في طبيعة المعلومات: هل هي رقمية قابلة للقياس أو وصفية قابلة للتصنيف؟

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل