مثال ٥ - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 25: حواسيب: وصلت سرعة معالج الحاسوب عام ١٤١٥هـ إلى ٨٠ هرتز في الثانية تقريبًا، وازدادت هذه السرعة إلى أكثر من (١٠^١٠) هرتز في الثانية عام ١٤٣٨هـ. فبكم مرة يكون الحاسوب الجديد أسرع من القديم؟

الإجابة: 10^10 / 80 = 10^9 / 8 = 1.25 * 10^8

خطوات الحل:

1. | المعطيات | القيمة | |---|---| | سرعة المعالج القديم | 80 هرتز | | سرعة المعالج الجديد | $10^{10}$ هرتز | | المطلوب | حساب كم مرة المعالج الجديد أسرع من القديم |
2. **القانون المستخدم:** لحساب عدد المرات، نقسم سرعة المعالج الجديد على سرعة المعالج القديم.
3. **الخطوات:** 1. نقسم سرعة المعالج الجديد على سرعة المعالج القديم: $ \frac{10^{10}}{80} $
4. 2. نختصر الكسر: $ \frac{10^{10}}{80} = \frac{10^9}{8} $
5. 3. نقسم $10^9$ على 8: $ \frac{10^9}{8} = 1.25 \times 10^8 $
6. **الإجابة النهائية:** الحاسوب الجديد أسرع من القديم بمقدار $1.25 \times 10^8$ مرة.

سؤال 26: تطبيقات متعددة: تستعمل الصيغة = ط × نق^٢ لإيجاد مساحة الدائرة، وتستعمل الصيغة م = ل^٢ لإيجاد مساحة المربع الذي طول ضلعه ل. استخدم الشكل المجاور للإجابة عن الأسئلة الآتية: أ) جبريا، أوجد نسبة مساحة الدائرة إلى مساحة المربع. ب) جبريا، إذا ضرب كل من نصف قطر الدائرة وطول ضلع المربع في العدد ٢، فما نسبة مساحة الدائرة إلى مساحة المربع؟ ج) عدديا، ما استنتاجك الذي توصلت إليه؟ د) تحليليا، ما الاستنتاج الذي توصلت إليه؟

الإجابة: أ) ط نق^2 / ل^2 ب) ط (2نق)^2 / (2ل)^2 = ط 4نق^2 / 4ل^2 = ط نق^2 / ل^2 ج) تبقى النسبة ثابتة د) تبقى النسبة ثابتة

خطوات الحل:

1. **أ) إيجاد نسبة مساحة الدائرة إلى مساحة المربع:** | الكمية | القانون | |---|---| | مساحة الدائرة | $π نق^2$ | | مساحة المربع | $ل^2$ | | النسبة | $\frac{π نق^2}{ل^2}$ | **الخطوة:** 1. النسبة بين مساحة الدائرة ومساحة المربع هي: $ \frac{\text{مساحة الدائرة}}{\text{مساحة المربع}} = \frac{π نق^2}{ل^2} $ **الإجابة:** النسبة هي $ \frac{π نق^2}{ل^2} $
2. **ب) إذا ضرب كل من نصف قطر الدائرة وطول ضلع المربع في العدد ٢:** | الكمية | القانون | |---|---| | مساحة الدائرة الجديدة | $π (2نق)^2 = 4π نق^2$ | | مساحة المربع الجديد | $(2ل)^2 = 4ل^2$ | | النسبة الجديدة | $\frac{4π نق^2}{4ل^2}$ | **الخطوات:** 1. حساب مساحة الدائرة الجديدة: $π (2نق)^2 = 4π نق^2$ 2. حساب مساحة المربع الجديد: $(2ل)^2 = 4ل^2$ 3. حساب النسبة الجديدة: $ \frac{4π نق^2}{4ل^2} = \frac{π نق^2}{ل^2} $ **الإجابة:** النسبة هي $ \frac{π نق^2}{ل^2} $
3. **ج) الاستنتاج العددي:** بعد ضرب كل من نصف القطر وطول الضلع في 2، **تبقى النسبة ثابتة**.
4. **د) الاستنتاج التحليلي:** بما أننا ضربنا كلاً من نصف القطر وطول الضلع في نفس العدد (2)، فإن هذا العدد يختصر في عملية القسمة، وبالتالي **تبقى النسبة ثابتة**.

سؤال 27: أكمل الجدول الآتي: العدد, مساحة الدائرة, مساحة المربع, النسبة.

الإجابة: العدد: 1, مساحة الدائرة: ط, مساحة المربع: 1, النسبة: ط. العدد: 2, مساحة الدائرة: 4ط, مساحة المربع: 4, النسبة: ط. العدد: 3, مساحة الدائرة: 9ط, مساحة المربع: 9, النسبة: ط. العدد: 4, مساحة الدائرة: 16ط, مساحة المربع: 16, النسبة: ط.

خطوات الحل:

1. | العدد | مساحة الدائرة ($πr^2$) | مساحة المربع ($l^2$) | النسبة (مساحة الدائرة / مساحة المربع) | |---|---|---|---| | 1 | $π(1)^2 = π$ | $(1)^2 = 1$ | $π/1 = π$ | | 2 | $π(2)^2 = 4π$ | $(2)^2 = 4$ | $4π/4 = π$ | | 3 | $π(3)^2 = 9π$ | $(3)^2 = 9$ | $9π/9 = π$ | | 4 | $π(4)^2 = 16π$ | $(4)^2 = 16$ | $16π/16 = π$ |
2. **القانون المستخدم:** * مساحة الدائرة: $A_\text{circle} = πr^2$ * مساحة المربع: $A_\text{square} = l^2$ * النسبة: $ \frac{A_\text{circle}}{A_\text{square}} $
3. **الخطوات:** 1. نحسب مساحة الدائرة لكل عدد باستخدام القانون $A_\text{circle} = πr^2$, حيث r هو العدد. 2. نحسب مساحة المربع لكل عدد باستخدام القانون $A_\text{square} = l^2$, حيث l هو العدد. 3. نحسب النسبة بقسمة مساحة الدائرة على مساحة المربع لكل عدد.
4. **الإجابة النهائية:** الجدول مكتمل كما يلي: | العدد | مساحة الدائرة | مساحة المربع | النسبة | |---|---|---|---| | 1 | $π$ | 1 | $π$ | | 2 | $4π$ | 4 | $π$ | | 3 | $9π$ | 9 | $π$ | | 4 | $16π$ | 16 | $π$ |

سؤال 28: تبرير: هل المعادلة "س × س × س = س^٣" صحيحة أحيانًا أم صحيحة دائمًا أم غير صحيحة أبدًا؟ فسر إجابتك.

الإجابة: صحيحة دائمًا، لأن س^٣ تعني س مضروبة في نفسها ثلاث مرات.

خطوات الحل:

1. | العبارة | التفسير | |---|---| | س × س × س | ضرب المتغير س في نفسه ثلاث مرات | | س^٣ | قوة ثالثة للمتغير س، وتعني س مضروبة في نفسها ثلاث مرات | | المطلوب | تحديد صحة المعادلة س × س × س = س^٣ |
2. **المبدأ المستخدم:** **الأس** يدل على عدد مرات ضرب الأساس في نفسه.
3. **الخطوات:** 1. **تحليل الطرف الأيسر:** س × س × س يعني ضرب المتغير 'س' في نفسه ثلاث مرات. 2. **تحليل الطرف الأيمن:** س^٣ يعني أيضاً ضرب المتغير 'س' في نفسه ثلاث مرات. 3. **المقارنة:** بما أن كلا الطرفين يعبران عن نفس العملية (ضرب 'س' في نفسه ثلاث مرات)، فإن المعادلة صحيحة.
4. **الإجابة النهائية:** المعادلة صحيحة دائمًا، لأن س^٣ هي اختصار لـ س × س × س.

سؤال 29: مسألة مفتوحة: أعط مثالاً لوحدتي حد يكون ناتج قسمتهما ٢٤ أ^٢ ب^٣.

الإجابة: 48 أ^٣ ب^٤ / 2 أ ب

خطوات الحل:

1. | المطلوب | القيمة | |---|---| | ناتج القسمة | $24 أ^2 ب^3$ | | المطلوب | إيجاد وحدتي حد ناتج قسمتهما يساوي $24 أ^2 ب^3$ |
2. **المبدأ المستخدم:** عند قسمة وحيدات الحد، نقسم المعاملات ونطرح الأسس للمتغيرات المتشابهة.
3. **الخطوات:** 1. **اختيار المعاملات:** نختار معاملين بحيث يكون ناتج قسمتهما 24. مثال: 48 و 2. إذن، $48 / 2 = 24$. 2. **اختيار أسس المتغيرات:** نختار أسس للمتغيرات 'أ' و 'ب' بحيث يكون الفرق بينهما 2 و 3 على التوالي. مثال: أ^3 و أ، و ب^4 و ب. إذن، $أ^3 / أ = أ^(3-1) = أ^2$ و $ب^4 / ب = ب^(4-1) = ب^3$. 3. **تكوين وحيدتي الحد:** باستخدام المعاملات والأسس المختارة، نكون وحيدتي الحد: $48 أ^3 ب^4$ و $2 أ ب$. 4. **التحقق:** نقسم وحيدتي الحد: $ \frac{48 أ^3 ب^4}{2 أ ب} = 24 أ^2 ب^3 $
4. **الإجابة النهائية:** مثال على وحدتي حد يكون ناتج قسمتهما $24 أ^2 ب^3$ هو: $ \frac{48 أ^3 ب^4}{2 أ ب} $

سؤال 30: تحد: استعمل خاصية القوى لتفسير المساواة س^ن / س^م = س^(ن-م).

الإجابة: س^ن / س^م = (س × س × ... ن مرة) / (س × س × ... م مرة) = س^(ن-م)

خطوات الحل:

1. | الطرف الأيسر | الطرف الأيمن | المطلوب | |---|---|---| | $ \frac{س^ن}{س^م} $ | $ س^{ن-م} $ | تفسير المساواة باستخدام خاصية القوى |
2. **خاصية القوى المستخدمة:** عند قسمة قوتين لهما نفس الأساس، نطرح الأسس: $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $
3. **الخطوات:** 1. **توسيع القوى:** * $س^ن$ تعني ضرب 'س' في نفسها 'ن' مرة: $س × س × ... × س$ (ن مرة). * $س^م$ تعني ضرب 'س' في نفسها 'م' مرة: $س × س × ... × س$ (م مرة). 2. **كتابة القسمة بالتفصيل:** $ \frac{س^ن}{س^م} = \frac{س × س × ... × س (ن مرة)}{س × س × ... × س (م مرة)} $ 3. **الاختصار:** يمكننا اختصار 'م' من العوامل 'س' في البسط والمقام. بعد الاختصار، يتبقى لدينا 'ن - م' من العوامل 'س' في البسط. 4. **النتيجة:** بعد الاختصار، يصبح لدينا: $س × س × ... × س$ (ن - م مرة)، وهذا يساوي $س^{ن-م}$.
4. **الإجابة النهائية:** $ \frac{س^ن}{س^م} = \frac{س × س × ... × س (ن مرة)}{س × س × ... × س (م مرة)} = س^{ن-م} $ هذا يوضح أن قسمة قوتين لهما نفس الأساس تساوي الأساس مرفوعًا إلى الفرق بين الأسين.

سؤال 31: اكتب: وضح كيف تستعمل خاصية قسمة القوى وخاصية قوى القسمة؟

الإجابة: لتبسيط العبارات الجبرية التي تتضمن قوى

خطوات الحل:

1. | الخاصية | الاستخدام | |---|---| | خاصية قسمة القوى | تبسيط قسمة قوتين لهما نفس الأساس | | خاصية قوى القسمة | تبسيط قوة حاصل قسمة |
2. **الخواص المستخدمة:** 1. **خاصية قسمة القوى:** $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $ 2. **خاصية قوى القسمة:** $ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} $
3. **شرح الاستخدام:** 1. **خاصية قسمة القوى:** * تستخدم عندما يكون لدينا قسمة بين عبارتين لهما نفس الأساس ومرفوعتين لأسس مختلفة. * مثال: $ \frac{س^5}{س^2} = س^{5-2} = س^3 $ 2. **خاصية قوى القسمة:** * تستخدم عندما يكون لدينا كسر مرفوع لقوة. * مثال: $ (\frac{2}{س})^3 = \frac{2^3}{س^3} = \frac{8}{س^3} $
4. **الإجابة النهائية:** تُستخدم خاصية قسمة القوى لتبسيط قسمة قوتين لهما نفس الأساس، بينما تُستخدم خاصية قوى القسمة لتبسيط قوة حاصل قسمة. كلتا الخاصيتين تستخدمان لتبسيط العبارات الجبرية التي تتضمن قوى.

سؤال 32: هندسة: ما محيط الشكل المجاور؟ أ) ٨٠ سم ب) ٤٠٠ سم ج) ٣٢٠ سم د) ١٠٢٤ سم

الإجابة: أ) ٨٠ سم

خطوات الحل:

1. لا يمكن حل السؤال بدون الشكل المجاور. نفترض أن الشكل مربع طول ضلعه 20 سم.
2. | المعطيات | القيمة | |---|---| | طول ضلع المربع | 20 سم | | المطلوب | حساب محيط المربع |
3. **القانون المستخدم:** محيط المربع = 4 × طول الضلع
4. **الخطوات:** 1. نحسب محيط المربع: $4 \times 20 = 80$ سم
5. **الإجابة النهائية:** محيط الشكل المجاور (بافتراض أنه مربع طول ضلعه 20 سم) هو 80 سم.

سؤال 34: علم الأرض: موجة زلزال قوته ٦ أكبر من موجة زلزال قوته ٤ بـ ١٠^٢ مرات. وموجة زلزال قوته ٤ تساوي ١٠ أمثال موجة زلزال قوته ٣. فكم مرة تساوي موجة زلزال قوته ٦ موجة زلزال قوته ٣؟ (الدرس ١٠-٢)

الإجابة: 1000 مرة

خطوات الحل:

1. | المعطيات | القيمة | |---|---| | قوة 6 أكبر من قوة 4 | $10^2$ مرة | | قوة 4 تساوي قوة 3 | 10 مرات | | المطلوب | كم مرة تساوي قوة 6 قوة 3؟ |
2. **المبدأ المستخدم:** إذا كانت أ أكبر من ب بـ س مرة، وب أكبر من ج بـ ص مرة، فإن أ أكبر من ج بـ س × ص مرة.
3. **الخطوات:** 1. قوة 6 أكبر من قوة 4 بـ $10^2$ = 100 مرة. 2. قوة 4 أكبر من قوة 3 بـ 10 مرات. 3. إذن، قوة 6 أكبر من قوة 3 بـ $100 \times 10 = 1000$ مرة.
4. **الإجابة النهائية:** موجة زلزال قوته 6 تساوي 1000 مرة موجة زلزال قوته 3.

سؤال 35: حل كلاً من المتباينات الآتية، وتحقق من صحة الحل: (مهارة سابقة) أ) ٣٥ > ك - ٤ ب) ٢٢ + ٨ ≥ ل ج) ٥ - ٨ ب ≤ ٣٧

الإجابة: أ) ك < 39 ب) ل ≤ 30 ج) ب ≥ -4

خطوات الحل:

1. **أ) حل المتباينة: 35 > ك - 4** | المتباينة | المطلوب | |---|---| | 35 > ك - 4 | إيجاد قيم ك التي تحقق المتباينة |
2. **المبدأ المستخدم:** لحل المتباينة، نعزل المتغير في طرف بمفرده.
3. **الخطوات:** 1. نضيف 4 إلى كلا الطرفين: $35 + 4 > ك - 4 + 4$ 2. نبسط: $39 > ك$ 3. يمكن كتابة المتباينة بصورة مكافئة: $ك < 39$
4. **الإجابة النهائية:** $ك < 39$ **ب) حل المتباينة: 22 + 8 ≥ ل** | المتباينة | المطلوب | |---|---| | 22 + 8 ≥ ل | إيجاد قيم ل التي تحقق المتباينة |
5. **المبدأ المستخدم:** لحل المتباينة، نعزل المتغير في طرف بمفرده.
6. **الخطوات:** 1. نبسط الطرف الأيسر: $30 ≥ ل$ 2. يمكن كتابة المتباينة بصورة مكافئة: $ل ≤ 30$
7. **الإجابة النهائية:** $ل ≤ 30$ **ج) حل المتباينة: 5 - 8 ب ≤ 37** | المتباينة | المطلوب | |---|---| | 5 - 8 ب ≤ 37 | إيجاد قيم ب التي تحقق المتباينة |
8. **المبدأ المستخدم:** لحل المتباينة، نعزل المتغير في طرف بمفرده. عند القسمة على عدد سالب، نعكس إشارة المتباينة.
9. **الخطوات:** 1. نطرح 5 من كلا الطرفين: $5 - 8 ب - 5 ≤ 37 - 5$ 2. نبسط: $-8 ب ≤ 32$ 3. نقسم كلا الطرفين على -8 (ونعكس إشارة المتباينة): $ \frac{-8 ب}{-8} ≥ \frac{32}{-8}$ 4. نبسط: $ب ≥ -4$
10. **الإجابة النهائية:** $ب ≥ -4$

سؤال 36: مهارة سابقة: بسط كل عبارة فيما يأتي: أ) ٣ س + ١٠ س ب) ١٦ أ + ٢ أ - ٥ أ ج) ٤ ص + ٢ ص + ١٥ ص د) ٣٩ س + ٤ س - ١٤ س

الإجابة: أ) 13 س ب) 13 أ ج) 21 ص د) 29 س

خطوات الحل:

1. **أ) تبسيط العبارة: 3 س + 10 س** | العبارة | المطلوب | |---|---| | 3 س + 10 س | تبسيط العبارة |
2. **المبدأ المستخدم:** يمكن جمع الحدود المتشابهة (التي لها نفس المتغير).
3. **الخطوات:** 1. نجمع المعاملات: $3 + 10 = 13$ 2. نكتب المتغير: $13 س$
4. **الإجابة النهائية:** $13 س$ **ب) تبسيط العبارة: 16 أ + 2 أ - 5 أ** | العبارة | المطلوب | |---|---| | 16 أ + 2 أ - 5 أ | تبسيط العبارة |
5. **المبدأ المستخدم:** يمكن جمع وطرح الحدود المتشابهة (التي لها نفس المتغير).
6. **الخطوات:** 1. نجمع المعاملات: $16 + 2 - 5 = 13$ 2. نكتب المتغير: $13 أ$
7. **الإجابة النهائية:** $13 أ$ **ج) تبسيط العبارة: 4 ص + 2 ص + 15 ص** | العبارة | المطلوب | |---|---| | 4 ص + 2 ص + 15 ص | تبسيط العبارة |
8. **المبدأ المستخدم:** يمكن جمع الحدود المتشابهة (التي لها نفس المتغير).
9. **الخطوات:** 1. نجمع المعاملات: $4 + 2 + 15 = 21$ 2. نكتب المتغير: $21 ص$
10. **الإجابة النهائية:** $21 ص$ **د) تبسيط العبارة: 39 س + 4 س - 14 س** | العبارة | المطلوب | |---|---| | 39 س + 4 س - 14 س | تبسيط العبارة |
11. **المبدأ المستخدم:** يمكن جمع وطرح الحدود المتشابهة (التي لها نفس المتغير).
12. **الخطوات:** 1. نجمع المعاملات: $39 + 4 - 14 = 29$ 2. نكتب المتغير: $29 س$
13. **الإجابة النهائية:** $29 س$

بسّط العبارة: ١٣(٥ + ٤أ)

• أ) ١٨ + ١٧أ
• ب) ٦٥ + ٥٢أ
• ج) ٦٥ + ٤أ
• د) ١٨ + ٥٢أ

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ٦٥ + ٥٢أ

الشرح: ١. نوزع العدد ١٣ على الحدين داخل القوس. ٢. ١٣ × ٥ = ٦٥. ٣. ١٣ × ٤أ = ٥٢أ. ٤. الناتج: ٦٥ + ٥٢أ.

تلميح: استخدم خاصية التوزيع: اضرب العدد خارج القوس في كل حد داخل القوس.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

بسّط العبارة: ٤ص + ٢ص + ١٥ص

• أ) ١٧ ص
• ب) ١٩ ص
• ج) ٢٠ ص
• د) ٢١ ص

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: ٢١ ص

الشرح: ١. العبارة تحتوي على ثلاثة حدود متشابهة (جميعها متغير 'ص'). ٢. نجمع المعاملات: ٤ + ٢ + ١٥ = ٢١. ٣. نكتب المتغير مع الناتج: ٢١ ص.

تلميح: اجمع معاملات الحدود المتشابهة (التي تحمل نفس المتغير).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

حل المتباينة: ٥(ب - ٨) ≥ ٣(ب + ١٠)

• أ) ب ≥ ٢٥
• ب) ب ≥ ٣٠
• ج) ب ≥ ٣٥
• د) ب ≥ ٤٠

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ب ≥ ٣٥

الشرح: ١. نوزع: ٥ب - ٤٠ ≥ ٣ب + ٣٠. ٢. نطرح ٣ب من الطرفين: ٥ب - ٣ب - ٤٠ ≥ ٣٠ → ٢ب - ٤٠ ≥ ٣٠. ٣. نضيف ٤٠ للطرفين: ٢ب ≥ ٧٠. ٤. نقسم على ٢: ب ≥ ٣٥.

تلميح: قم بتوزيع الأعداد على القوسين أولاً، ثم اجمع الحدود المتشابهة وعزل المتغير.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حواسيب: وصلت سرعة معالج الحاسوب عام ١٤١٤ هـ إلى ١٠^٨ عملية في الثانية تقريبًا. وازدادت هذه السرعة إلى أكثر من (١٠^٢)^١٠ عملية في الثانية عام ١٤٣٨ هـ. فبكم مرة يكون الحاسوب الجديد أسرع من القديم؟

• أ) ١٠^٢٠ مرة
• ب) ١٠^١٢ مرة
• ج) ١٠^٨ مرة
• د) ١٠^٢ مرة

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ١٠^١٢ مرة

الشرح: ١. نبسط سرعة الحاسوب الجديد: (١٠^٢)^١٠ = ١٠^(٢×١٠) = ١٠^٢٠. ٢. نقسم السرعة الجديدة على القديمة: ١٠^٢٠ ÷ ١٠^٨ = ١٠^(٢٠-٨) = ١٠^١٢. ٣. الناتج: الحاسوب الجديد أسرع بمقدار ١٠^١٢ مرة.

تلميح: تذكر: (أ^م)^ن = أ^(م×ن)، وعند قسمة القوى نطرح الأسس.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

تبرير: هل المعادلة 'س^ص × س^ع = س^ص ع' صحيحة أحيانًا أم صحيحة دائمًا أم غير صحيحة أبدًا؟

• أ) صحيحة دائماً
• ب) غير صحيحة أبداً
• ج) صحيحة أحياناً
• د) لا يمكن تحديد ذلك

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: صحيحة أحياناً

الشرح: ١. القاعدة الصحيحة لضرب القوى: س^ص × س^ع = س^(ص+ع). ٢. المعادلة المعطاة: س^ص × س^ع = س^(ص×ع). ٣. المعادلة ستكون صحيحة فقط عندما يكون ص+ع = ص×ع. ٤. مثال: إذا كانت ص=٢ و ع=٢، فإن ٢+٢ = ٢×٢ (٤=٤) → المعادلة صحيحة. ٥. مثال: إذا كانت ص=١ و ع=٣، فإن ١+٣ ≠ ١×٣ (٤≠٣) → المعادلة غير صحيحة. ٦. الإجابة: صحيحة أحيانًا (عندما يكون ص+ع = ص×ع).

تلميح: قارن بين القاعدة الصحيحة (س^ص × س^ع = س^(ص+ع)) والمعادلة المعطاة (س^(ص×ع)). ابحث عن قيم لـ ص و ع تجعل الطرفين متساويين.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: صعب

علم الأرض: موجة زلزال قوته ٦ أكبر من موجة زلزال قوته ٤ بـ ١٠^٢ مرات. وموجة زلزال قوته ٤ تساوي ١٠ أمثال موجة زلزال قوته ٣. فكم مرة تساوي موجة زلزال قوته ٦ موجة زلزال قوته ٣؟

• أ) ١٠٠ مرة
• ب) ١٠٠٠ مرة
• ج) ١٠^٤ مرة
• د) ١١٠ مرة

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ١٠٠٠ مرة

الشرح: ١. قوة ٦ أكبر من قوة ٤ بـ ١٠^٢ = ١٠٠ مرة. ٢. قوة ٤ أكبر من قوة ٣ بـ ١٠ مرات. ٣. لحساب كم مرة قوة ٦ أكبر من قوة ٣، نضرب: ١٠٠ × ١٠ = ١٠٠٠. ٤. الإجابة: موجة زلزال قوته ٦ تساوي ١٠٠٠ مرة موجة زلزال قوته ٣.

تلميح: استخدم خاصية الضرب المتتالي للمرات. إذا كانت (أ) أكبر من (ب) بـ (س) مرة، و(ب) أكبر من (ج) بـ (ص) مرة، فإن (أ) أكبر من (ج) بـ (س × ص) مرة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

حل المتباينة: ٥(٢هـ - ٦) > ٤هـ

• أ) هـ < ٥
• ب) هـ > ٥
• ج) هـ ≥ ٥
• د) هـ ≤ ٥

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: هـ > ٥

الشرح: ١. نوزع العدد ٥: ١٠هـ - ٣٠ > ٤هـ. ٢. نطرح ٤هـ من الطرفين: ١٠هـ - ٤هـ - ٣٠ > ٠ → ٦هـ - ٣٠ > ٠. ٣. نضيف ٣٠ للطرفين: ٦هـ > ٣٠. ٤. نقسم الطرفين على ٦: هـ > ٥.

تلميح: قم بتوزيع العدد ٥، ثم اجمع الحدود المتشابهة لعزل المتغير هـ في طرف واحد.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

باستخدام خاصية قسمة القوى، كيف يمكن تفسير المساواة س^-ن = ١/س^ن؟

• أ) س^ن / س^ن = س^(ن-ن) = س^٠ = ١، وبالتالي س^-ن = ١.
• ب) س^١ / س^(ن+١) = س^(١-ن-١) = س^-ن، وبما أن س^١ = س، فإن س^-ن = س/س^(ن+١).
• ج) س^٠ / س^ن = س^(٠-ن) = س^-ن، وبما أن س^٠ = ١، فإن س^-ن = ١/س^ن.
• د) ١/س^ن = س^(١/ن)، وبالتالي س^-ن = س^(١/ن).

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: س^٠ / س^ن = س^(٠-ن) = س^-ن، وبما أن س^٠ = ١، فإن س^-ن = ١/س^ن.

الشرح: ١. نعلم أن س^٠ = ١ لأي س ≠ ٠. ٢. نكتب ١/س^ن على صورة س^٠ / س^ن. ٣. نطبق خاصية قسمة القوى: س^٠ / س^ن = س^(٠-ن) = س^-ن. ٤. إذن، س^-ن = ١/س^ن.

تلميح: فكر في خاصية قسمة القوى: أ^م / أ^ن = أ^(م-ن). ماذا يحدث إذا كان الأس في البسط صفراً؟

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

بسّط العبارة: ٣س + ١٠س

• أ) ٧س
• ب) ١٣س
• ج) ٣٠س
• د) ١٣س^٢

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ١٣س

الشرح: ١. الحدان ٣س و ١٠س متشابهان (نفس المتغير س). ٢. نجمع معاملاتهما: ٣ + ١٠ = ١٣. ٣. نكتب المتغير مع الناتج: ١٣س.

تلميح: اجمع معاملات الحدود المتشابهة (التي لها نفس المتغير).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

بسّط العبارة: ٥أ - ٢ + ٦أ

• أ) ١١أ + ٢
• ب) ١١أ - ٢
• ج) أ - ٢
• د) ٣٠أ - ٢

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ١١أ - ٢

الشرح: ١. الحدان ٥أ و ٦أ متشابهان. ٢. نجمع معاملاتهما: ٥ + ٦ = ١١، فيصبح لدينا ١١أ. ٣. الحد -٢ ليس له حد مشابه، فيبقى كما هو. ٤. الناتج: ١١أ - ٢.

تلميح: اجمع الحدود المتشابهة أولاً (التي لها نفس المتغير).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

ما الفرق الرئيسي في الاستخدام بين خاصية قسمة القوى وخاصية قوى القسمة؟

• أ) كلاهما يستخدمان لضرب القوى فقط.
• ب) خاصية قسمة القوى تُستخدم لقسمة قوتين لهما نفس الأساس، بينما خاصية قوى القسمة تُستخدم لرفع كسر (حاصل قسمة) إلى قوة.
• ج) خاصية قسمة القوى تُستخدم لرفع كسر إلى قوة، بينما خاصية قوى القسمة تُستخدم لقسمة قوتين.
• د) كلاهما يستخدمان لتبسيط الجمع والطرح فقط.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: خاصية قسمة القوى تُستخدم لقسمة قوتين لهما نفس الأساس، بينما خاصية قوى القسمة تُستخدم لرفع كسر (حاصل قسمة) إلى قوة.

الشرح: ١. خاصية قسمة القوى: تختص بتعبير على صورة أ^م ÷ أ^ن = أ^(م-ن). ٢. خاصية قوى القسمة: تختص بتعبير على صورة (أ/ب)^ن = أ^ن / ب^ن. ٣. الأولى تتعامل مع قسمة قوى، والثانية تتعامل مع قوة لقسمة.

تلميح: فكر في شكل التعبير الرياضي الذي تنطبق عليه كل خاصية.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

بسّط العبارة: (٤^-٢ × ٥^٠ × ٦٤^٣)

• أ) ١/٦٤
• ب) ٦٤
• ج) ٣٢٠
• د) ١٦٣٨٤

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: ١٦٣٨٤

الشرح: ١. ٥^٠ = ١. ٢. ٦٤ = ٤^٣، إذن ٦٤^٣ = (٤^٣)^٣ = ٤^٩ (خاصية قوة القوة). ٣. العبارة تصبح: ٤^-٢ × ١ × ٤^٩ = ٤^(-٢+٩) = ٤^٧ (خاصية ضرب القوى). ٤. ٤^٧ = ٤ × ٤ × ٤ × ٤ × ٤ × ٤ × ٤ = ١٦٣٨٤.

تلميح: تذكر: أي عدد أس صفر = ١، و ٦٤ = ٤^٣. استخدم خاصية ضرب القوى لنفس الأساس.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حل المتباينة: ٢٢ ≤ ٤(ب - ٨) + ١٠

• أ) ب ≤ ١١
• ب) ب ≥ ٥
• ج) ب ≥ ١١
• د) ب ≤ -١١

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ب ≥ ١١

الشرح: ١. نوزع ٤: ٢٢ ≤ ٤ب - ٣٢ + ١٠. ٢. نبسط الطرف الأيمن: ٢٢ ≤ ٤ب - ٢٢. ٣. نضيف ٢٢ للطرفين: ٢٢ + ٢٢ ≤ ٤ب - ٢٢ + ٢٢ → ٤٤ ≤ ٤ب. ٤. نقسم الطرفين على ٤: ٤٤/٤ ≤ ٤ب/٤ → ١١ ≤ ب. ٥. يمكن كتابتها: ب ≥ ١١.

تلميح: ابدأ بتوزيع العدد 4 داخل القوس، ثم اجمع الحدود العددية، وأخيراً اعزل المتغير ب.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

ما الاستنتاج الذي يمكن الوصول إليه عند مقارنة نسبة مساحة دائرة محاطة بمربع (الدائرة مماسة لأضلاع المربع) إلى مساحة المربع نفسه، إذا تغير نصف قطر الدائرة؟

• أ) النسبة تزداد كلما زاد نصف القطر.
• ب) النسبة تتناقص كلما زاد نصف القطر.
• ج) النسبة ثابتة ولا تعتمد على قيمة نصف القطر.
• د) لا يمكن تحديد النسبة بدون قيم رقمية.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: النسبة ثابتة ولا تعتمد على قيمة نصف القطر.

الشرح: ١. إذا كانت الدائرة مماسة لأضلاع مربع، فإن قطر الدائرة = طول ضلع المربع (ل). ٢. إذن: نصف القطر (نق) = ل/٢، أي ل = ٢نق. ٣. مساحة الدائرة = π نق²، مساحة المربع = ل² = (٢نق)² = ٤ نق². ٤. النسبة = (π نق²) / (٤ نق²) = π/٤. ٥. نلاحظ أن 'نق²' تختصر، لذا النسبة ثابتة (π/٤) لأي قيمة لـ 'نق'.

تلميح: فكر في العلاقة بين نصف قطر الدائرة وطول ضلع المربع المحيط بها، ثم اكتب نسبة المساحتين بدلالة نصف القطر.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

إذا ضُرب كل من نصف قطر دائرة محاطة بمربع (الدائرة مماسة لأضلاعه) وطول ضلع المربع في العدد ٢، فماذا يحدث لنسبة مساحة الدائرة إلى مساحة المربع؟

• أ) تتضاعف النسبة.
• ب) تقل النسبة إلى النصف.
• ج) تظل النسبة كما هي (لا تتغير).
• د) تزداد النسبة أربعة أضعاف.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: تظل النسبة كما هي (لا تتغير).

الشرح: ١. النسبة الأصلية: (مساحة الدائرة)/(مساحة المربع) = (π نق²) / (ل²). ٢. بما أن ل = ٢نق (لأن الدائرة مماسة)، تصبح النسبة = (π نق²) / ((٢نق)²) = π/٤. ٣. بعد الضرب في ٢: نصف القطر الجديد = ٢نق، طول الضلع الجديد = ٢ل = ٤نق. ٤. النسبة الجديدة = (π (٢نق)²) / ((٤نق)²) = (π × ٤ نق²) / (١٦ نق²) = π/٤. ٥. النتيجة: النسبة ثابتة (π/٤) قبل وبعد التكبير.

تلميح: اكتب تعبيراً جبرياً للنسبة الأصلية، ثم كرر العملية بعد ضرب الأبعاد في ٢.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط