فيما سبق - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 التباديل والتوافيق

المفاهيم الأساسية

التباديل: قائمة جميع الأشخاص أو الأشياء في مجموعة معينة، وتُكتب جميع الترتيبات الممكنة لهذه العناصر، ويُسمى كل من هذه الترتيبات تبديلاً.

المضروب: مضروب العدد الصحيح الموجب (ن)، هو ناتج ضرب الأعداد الصحيحة الموجبة التي تقل عن (ن) أو تساويه.

التوافيق: (مذكور كمفردة فقط، لم يُعرّف في هذه الصفحة).

فضاء العينة: (مذكور كمفردة فقط، لم يُعرّف في هذه الصفحة).

خريطة المفاهيم

```markmap

التباديل والتوافيق

التباديل

التعريف

طريقة الحساب

#### باستخدام مبدأ العد الأساسي

#### باستخدام المضروب

المضروب (!)

التعريف

الرمز: ن!

مثال: !5 = 5×4×3×2×1

```

نقاط مهمة

• يمكن استخدام مبدأ العد الأساسي لحساب عدد التباديل الممكنة لمجموعة من العناصر.
• عدد طرق ترتيب 4 لاعبين لضرب ركلات الترجيح هو: 4 × 3 × 2 × 1 = 24 طريقة.
• رمز مضروب العدد 5 هو !5 ويساوي 120.
• !1 = 1 حسب التعريف.

---

حل مثال

مثال ١: رحلات

* المشكلة: تخطط وكالة سياحة لرحلة تزور 5 مدن. بكم طريقة يمكن ترتيب المدن الخمس في خطة الرحلة؟

* الحل:

عدد طرق الترتيب = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 طريقة.

أو باستخدام المضروب: !5 = 120.

* الإجابة: هناك 120 طريقة ممكنة لترتيب المدن الخمس.

---

تحقق من فهمك

سؤال ١: محاضرات

* المشكلة: دخل ناصر وخمسة من أصدقائه قاعة محاضرات. بكم طريقة مختلفة يمكنهم الجلوس على 6 مقاعد خالية في صف واحد؟

* الحل:

عدد طرق جلوس 6 أشخاص على 6 مقاعد = عدد تباديل الـ 6 أشخاص.

عدد الطرق = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 طريقة.

أو باستخدام المضروب: !6 = 720.

* الإجابة: 720 طريقة مختلفة.

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

١٠-٤ التباديل والتوافق

درست استعمال مبدأ العد الأساسي.

• أستعمل التباديل. • أستعمل التوافيق.

فضاء العينة التبديل المضروب التوافيق

لماذا؟

أخبر المدرب نواف أنه سيكون خامس لاعب يضرب ركلة الترجيح، إذا انتهت المباراة إلى ضربات الترجيح. واعتمد المدرب الترتيب الأبجدي أساسًا في تشكيل الفريق؛ لترتيب من يقوم بركلات الترجيح. التباديل: تُسمى قائمة جميع الأشخاص أو الأشياء في مجموعة معينة فضاء العينة. وعندما تُنظم العناصر، بحيث يكون ترتيبها مهمًا، وتُكتب جميع التراتيب الممكنة لهذه العناصر، يُسمّى كل من هذه التراتيب تبديلاً.

إذا كان في ذهن المدرب ٤ لاعبين لضرب ركلات الترجيح الأربع الأولى، فإنه يمكن استعمال مبدأ العد الأساسي؛ لإيجاد عدد التباديل الممكنة لهؤلاء الأربعة. فإذا اختير لاعب معين ليكون أول من يضرب، فلن يكون اسمه مطروحًا عند اختيار اللاعب الثاني؛ لأنه لا يمكن أن يضرب اللاعب ركلة الترجيح مرتين.

عدد التباديل ل = عدد خيارات اللاعب الأول (٤) × عدد خيارات اللاعب الثاني (٣) × عدد خيارات اللاعب الثالث (٢) × عدد خيارات اللاعب الرابع (١) = ٢٤

هناك ٢٤ طريقة ممكنة لترتيب أول أربعة لاعبين.

التباديل رحلات: تخطط وكالة سياحة وسفر لرحلة سياحية، يزور المسافرون خلالها ٥ مدن في المملكة. بكم طريقة يمكن أن ترتب الوكالة المدن الخمس في خطة الرحلة؟ عدد طرق ترتيب المدن = ٥ × ٤ × ٣ × ٢ × ١ = ١٢٠ هناك ١٢٠ طريقة ممكنة لترتيب المدن الخمس.

تحقق من فهمك

١) محاضرات: دخل ناصر وخمسة من أصدقائه قاعة محاضرات. فبكم طريقة يمكنهم أن يجلسوا جميعًا على ٦ مقاعد خالية في صف واحد؟

يمكنك أن تكتب العبارة المستعملة في المثال ١؛ لحساب عدد التباديل للمدن الخمس (٥ × ٤ × ٣ × ٢ × ١) في صورة !٥ وتُقرأ "مضروب العدد خمسة".

المضروب التعبير اللفظي: مضروب العدد الصحيح الموجب (ن)، هو ناتج ضرب الأعداد الصحيحة الموجبة التي تقل عن (ن) أو تساويه. الرموز: ن! = ن (ن - ١) (ن - ٢) (ن - ٣) ... × ١، ن ≥ ١، أيضًا ٠! = ١

٢٠٦ الفصل ١٠: الإحصاء والاحتمال وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa ١٠-٤ التباديل والتوافق --- SECTION: فيما سبق --- درست استعمال مبدأ العد الأساسي. --- SECTION: والآن --- • أستعمل التباديل. • أستعمل التوافيق. --- SECTION: المفردات --- فضاء العينة التبديل المضروب التوافيق لماذا؟ أخبر المدرب نواف أنه سيكون خامس لاعب يضرب ركلة الترجيح، إذا انتهت المباراة إلى ضربات الترجيح. واعتمد المدرب الترتيب الأبجدي أساسًا في تشكيل الفريق؛ لترتيب من يقوم بركلات الترجيح. التباديل: تُسمى قائمة جميع الأشخاص أو الأشياء في مجموعة معينة فضاء العينة. وعندما تُنظم العناصر، بحيث يكون ترتيبها مهمًا، وتُكتب جميع التراتيب الممكنة لهذه العناصر، يُسمّى كل من هذه التراتيب تبديلاً. إذا كان في ذهن المدرب ٤ لاعبين لضرب ركلات الترجيح الأربع الأولى، فإنه يمكن استعمال مبدأ العد الأساسي؛ لإيجاد عدد التباديل الممكنة لهؤلاء الأربعة. فإذا اختير لاعب معين ليكون أول من يضرب، فلن يكون اسمه مطروحًا عند اختيار اللاعب الثاني؛ لأنه لا يمكن أن يضرب اللاعب ركلة الترجيح مرتين. عدد التباديل ل = عدد خيارات اللاعب الأول (٤) × عدد خيارات اللاعب الثاني (٣) × عدد خيارات اللاعب الثالث (٢) × عدد خيارات اللاعب الرابع (١) = ٢٤ هناك ٢٤ طريقة ممكنة لترتيب أول أربعة لاعبين. --- SECTION: مثال ١ من واقع الحياة --- التباديل رحلات: تخطط وكالة سياحة وسفر لرحلة سياحية، يزور المسافرون خلالها ٥ مدن في المملكة. بكم طريقة يمكن أن ترتب الوكالة المدن الخمس في خطة الرحلة؟ عدد طرق ترتيب المدن = ٥ × ٤ × ٣ × ٢ × ١ = ١٢٠ هناك ١٢٠ طريقة ممكنة لترتيب المدن الخمس. تحقق من فهمك --- SECTION: 1 --- ١) محاضرات: دخل ناصر وخمسة من أصدقائه قاعة محاضرات. فبكم طريقة يمكنهم أن يجلسوا جميعًا على ٦ مقاعد خالية في صف واحد؟ يمكنك أن تكتب العبارة المستعملة في المثال ١؛ لحساب عدد التباديل للمدن الخمس (٥ × ٤ × ٣ × ٢ × ١) في صورة !٥ وتُقرأ "مضروب العدد خمسة". --- SECTION: مفهوم أساسي --- المضروب التعبير اللفظي: مضروب العدد الصحيح الموجب (ن)، هو ناتج ضرب الأعداد الصحيحة الموجبة التي تقل عن (ن) أو تساويه. الرموز: ن! = ن (ن - ١) (ن - ٢) (ن - ٣) ... × ١، ن ≥ ١، أيضًا ٠! = ١ ٢٠٦ الفصل ١٠: الإحصاء والاحتمال وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: Untitled Description: صورة فوتوغرافية تظهر مجموعة من لاعبي كرة القدم في ملعب أخضر، بعضهم يرتدي قمصانًا زرقاء والبعض الآخر قمصانًا برتقالية، مع وجود مرمى في الخلفية. Context: تُستخدم الصورة لتمثيل سياق ركلات الترجيح المذكور في قسم 'لماذا؟'. **IMAGE**: Untitled Description: رمز استجابة سريعة (QR Code) للوصول إلى المحتوى الرقمي للدرس. Context: رابط إثرائي للدرس. **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: عدد التباديل | عدد خيارات اللاعب الأول | عدد خيارات اللاعب الثاني | عدد خيارات اللاعب الثالث | عدد خيارات اللاعب الرابع Rows: Row 1: ل | ٤ | ٣ | ٢ | ١ Calculation needed: توضيح مبدأ العد الأساسي لحساب عدد التباديل الممكنة لترتيب ٤ لاعبين. Context: يوضح كيف يتناقص عدد الخيارات المتاحة مع كل اختيار جديد في التباديل. **FIGURE**: Untitled Description: إطار أزرق يحتوي على تعريف المضروب لفظياً وبالرموز الرياضية. Key Values: ن! = ن (ن - ١) (ن - ٢) (ن - ٣) ... × ١, ٠! = ١ Context: يقدم التعريف الرسمي لمفهوم المضروب الرياضي.