مثال ٣ من واقع الحياة: التوافيق - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 قانون التوافيق

المفاهيم الأساسية

التوافيق: اختيار مجموعة من العناصر من مجموعة أكبر، حيث لا يكون الترتيب مهماً.

خريطة المفاهيم

```markmap

التباديل والتوافيق

التباديل

التعريف

طريقة الحساب

#### باستخدام مبدأ العد الأساسي

#### باستخدام المضروب

قانون التباديل

#### الصيغة: ن ل ر = ن! / (ن - ر)!

#### الرمز: ن ل (ن)، ر

المضروب (!)

التعريف

الرمز: ن!

مثال: !5 = 5×4×3×2×1

التوافيق

التعريف

#### اختيار عناصر حيث الترتيب غير مهم

الفرق عن التباديل

#### التباديل: الترتيب مهم

#### التوافيق: الترتيب غير مهم

قانون التوافيق

#### التعبير اللفظي

##### عدد التوافيق لعناصر عددها (ن) مأخوذة (ر) عنصراً كل مرة، يساوي ناتج قسمة ن! على (ن - ر)! ر!

#### الصيغة الرياضية

##### ن ق ر = \frac{ن!}{(ن - ر)! ر!}

#### الرموز

##### ن ق ر

```

نقاط مهمة

• التوافيق تستخدم عندما يكون الاختيار دون مراعاة للترتيب.
• قانون التوافيق: ن ق ر = \frac{ن!}{(ن - ر)! ر!}
• مثال: اختيار اثنين من خمسة أبناء لتنظيف الساحة يتم بعدد توافيق ٥ ق ٢ = ١٠ طرق.

---

حل مثال

المثال ١ (ضمن الشرح):

* المسألة: تطلب أم إلى أبنائها الخمسة القيام ببعض الأعمال المنزلية. بكم طريقة يمكن اختيار اثنين منهم لتنظيف ساحة المنزل؟

* الحل: بما أن الترتيب غير مهم (لا فرق بين من يبدأ)، نستخدم التوافيق.

* ن = ٥ ، ر = ٢.

* ٥ ق ٢ = \frac{٥!}{(٥-٢)!٢!} = \frac{٥!}{٣!٢!} = \frac{٥ × ٤ × ٣!}{٣! × ٢ × ١} = \frac{٢٠}{٢} = ١٠

* الإجابة: هناك ١٠ طرق ممكنة.

المثال ٤:

* المسألة: أعلنت شركة عن ٥ وظائف شاغرة، فتقدم للإعلان ٨ أشخاص. بكم طريقة يمكن شغل الوظائف الخمس؟

* الحل: هنا الترتيب مهم (شخص معين لوظيفة معينة)، لذلك نستخدم التباديل.

* ن = ٨ ، ر = ٥.

* ٨ ل ٥ = \frac{٨!}{(٨-٥)!} = \frac{٨!}{٣!} = \frac{٨ × ٧ × ٦ × ٥ × ٤ × ٣!}{٣!} = ٦٧٢٠

* الإجابة: هناك ٦٧٢٠ طريقة.

---

تحقق من فهمك

السؤال ١:

* المسألة: تقدم سعيد لاختبار في التاريخ، طلب فيه الإجابة عن ١٠ أسئلة من بين ١٢ سؤالاً. بكم طريقة يمكن أن يختار سعيد الأسئلة؟

* الحل: الاختيار هنا دون ترتيب (مجرد تحديد الأسئلة التي سيجيب عنها)، لذلك نستخدم التوافيق.

* ن = ١٢ ، ر = ١٠.

* ١٢ ق ١٠ = \frac{١٢!}{(١٢-١٠)!١٠!} = \frac{١٢!}{٢!١٠!} = \frac{١٢ × ١١ × ١٠!}{٢ × ١ × ١٠!} = \frac{١٣٢}{٢} = ٦٦

* الإجابة: يمكنه الاختيار بـ ٦٦ طريقة.

السؤال ٢ (تمارين - ٤):

* المسألة: أراد أربعة طلاب أن يختاروا كتباً ليقرؤونها من بين ١٨ كتاباً مختلفاً. بكم طريقة يمكنهم اختيار الكتب الأربعة؟

* الحل: الاختيار دون ترتيب (مجرد تحديد مجموعة من الكتب)، لذلك نستخدم التوافيق.

* ن = ١٨ ، ر = ٤.

* ١٨ ق ٤ = \frac{١٨!}{(١٨-٤)!٤!} = \frac{١٨!}{١٤!٤!} = \frac{١٨ × ١٧ × ١٦ × ١٥ × ١٤!}{١٤! × ٢٤} = \frac{٧٣٤٤٠}{٢٤} = ٣٠٦٠

* الإجابة: يمكنهم الاختيار بـ ٣٠٦٠ طريقة.

أعمال منزلية: تطلب أم إلى أبنائها الخمسة القيام ببعض الأعمال المنزلية كل أسبوع. بكم طريقة يمكن اختيار اثنين منهم لتنظيف ساحة المنزل؟ بما أن الترتيب في عملية الاختيار ليس مهماً، فيجب أن نجد عدد توافيق ٥ أبناء، اختير اثنان منهم كل مرة. ن ق ر = (عدد التباديل) / (عدد التباديل التي تحتوي على العناصر نفسها) أوجد عدد التباديل أولاً. ٥ ل ٢ = ٥! / ٣! = ٢٠ (حيث ن = ٥، ر = ٢) وبما أننا نختار اثنين في كل مرة، فإن عدد التباديل التي تحتوي على العناصر نفسها هو ٢! = ٢. إذن ٥ ق ٢ = ٢٠ / ٢ = ١٠ أي أن هناك ١٠ طرق ممكنة لاختيار اثنين من الأبناء.

تحقق من فهمك ٣) اختبار: تقدّم سعيد لاختبار في التاريخ، طلب فيه الإجابة عن ١٠ أسئلة من بين ١٢ سؤالاً. بكم طريقة يمكن أن يختار الأسئلة؟

التعبير اللفظي: عدد التوافيق لعناصر عددها ن مأخوذة (ر) عنصرًا كل مرة، يساوي ناتج قسمة ن! على (ن - ر)! ر! الرموز: ن ق ر = ن! / ((ن - ر)! ر!)

وظائف: أعلنت شركة عن ٥ وظائف شاغرة لديها، فتقدم للإعلان ٨ أشخاص. بكم طريقة يمكن شغل الوظائف الخمس؟ ن ق ر = ن! / ((ن - ر)! ر!) (قانون التوافيق) ٨ ق ٥ = ٨! / ((٨ - ٥)! ٥!) (بالتعويض عن ن = ٨، ر = ٥) = ٨! / (٣! ٥!) (بسط) = (٨ × ٧ × ٦ × ٥ × ٤ × ٣ × ٢ × ١) / ((٣ × ٢ × ١) × (٥ × ٤ × ٣ × ٢ × ١)) (اقسم على العوامل المشتركة، حيث يتم اختصار ٥! من البسط والمقام) = ٣٣٦ / ٦ = ٥٦ هناك ٥٦ طريقة لشغل الوظائف

تحقق من فهمك ٤) كتب: أراد أربعة طلاب أن يختاروا كتباً يقرؤونها من بين ١٨ كتاباً مختلفاً، تتكون من ٤ روايات، و ٦ كتب علمية، و ٨ كتب إسلامية. بكم طريقة يمكنهم اختيار الكتب الأربعة؟

إن تشجيع الأبناء على المشاركة في الأعمال المنزلية له دور كبير في تكوين الشخصية، وتعويدهم تحمل المسؤولية، كما يقوي الروابط والصلات بين أفراد الأسرة.

٢٠٨ الفصل ١٠: الإحصاء والاحتمال وزارة التعليم Ministry of Education 2024 - 1446

أعمال منزلية: تطلب أم إلى أبنائها الخمسة القيام ببعض الأعمال المنزلية كل أسبوع. بكم طريقة يمكن اختيار اثنين منهم لتنظيف ساحة المنزل؟ بما أن الترتيب في عملية الاختيار ليس مهماً، فيجب أن نجد عدد توافيق ٥ أبناء، اختير اثنان منهم كل مرة. ن ق ر = (عدد التباديل) / (عدد التباديل التي تحتوي على العناصر نفسها) أوجد عدد التباديل أولاً. ٥ ل ٢ = ٥! / ٣! = ٢٠ (حيث ن = ٥، ر = ٢) وبما أننا نختار اثنين في كل مرة، فإن عدد التباديل التي تحتوي على العناصر نفسها هو ٢! = ٢. إذن ٥ ق ٢ = ٢٠ / ٢ = ١٠ أي أن هناك ١٠ طرق ممكنة لاختيار اثنين من الأبناء. تحقق من فهمك ٣) اختبار: تقدّم سعيد لاختبار في التاريخ، طلب فيه الإجابة عن ١٠ أسئلة من بين ١٢ سؤالاً. بكم طريقة يمكن أن يختار الأسئلة؟ التعبير اللفظي: عدد التوافيق لعناصر عددها ن مأخوذة (ر) عنصرًا كل مرة، يساوي ناتج قسمة ن! على (ن - ر)! ر! الرموز: ن ق ر = ن! / ((ن - ر)! ر!) وظائف: أعلنت شركة عن ٥ وظائف شاغرة لديها، فتقدم للإعلان ٨ أشخاص. بكم طريقة يمكن شغل الوظائف الخمس؟ ن ق ر = ن! / ((ن - ر)! ر!) (قانون التوافيق) ٨ ق ٥ = ٨! / ((٨ - ٥)! ٥!) (بالتعويض عن ن = ٨، ر = ٥) = ٨! / (٣! ٥!) (بسط) = (٨ × ٧ × ٦ × ٥ × ٤ × ٣ × ٢ × ١) / ((٣ × ٢ × ١) × (٥ × ٤ × ٣ × ٢ × ١)) (اقسم على العوامل المشتركة، حيث يتم اختصار ٥! من البسط والمقام) = ٣٣٦ / ٦ = ٥٦ هناك ٥٦ طريقة لشغل الوظائف تحقق من فهمك ٤) كتب: أراد أربعة طلاب أن يختاروا كتباً يقرؤونها من بين ١٨ كتاباً مختلفاً، تتكون من ٤ روايات، و ٦ كتب علمية، و ٨ كتب إسلامية. بكم طريقة يمكنهم اختيار الكتب الأربعة؟ إن تشجيع الأبناء على المشاركة في الأعمال المنزلية له دور كبير في تكوين الشخصية، وتعويدهم تحمل المسؤولية، كما يقوي الروابط والصلات بين أفراد الأسرة. ٢٠٨ الفصل ١٠: الإحصاء والاحتمال وزارة التعليم Ministry of Education 2024 - 1446