مثال 5 من واقع الحياة - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 9 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

الدرس: مثال 5 من واقع الحياة

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 9 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 التباديل والتوافيق لإيجاد الاحتمال

المفاهيم الأساسية

التباديل: ترتيب لمجموعة من العناصر حيث يكون الترتيب مهماً. (مثال: رمز القفل).

خريطة المفاهيم

```markmap

التباديل والتوافيق

التباديل

التعريف

طريقة الحساب

#### باستخدام مبدأ العد الأساسي

#### باستخدام المضروب

قانون التباديل

#### الصيغة: ن ل ر = ن! / (ن - ر)!

#### الرمز: ن ل (ن)، ر

#### مثال من واقع الحياة (مثال ٥)

##### قفل برمز ٣ أرقام من ٠ إلى ٩

##### الحل: ١٠ ل ٣ = ١٠! / (١٠ - ٣)! = ٧٢٠

المضروب (!)

التعريف

الرمز: ن!

مثال: !5 = 5×4×3×2×1

التوافيق

التعريف

#### اختيار عناصر حيث الترتيب غير مهم

الفرق عن التباديل

#### التباديل: الترتيب مهم

#### التوافيق: الترتيب غير مهم

قانون التوافيق

#### التعبير اللفظي

##### عدد التوافيق لعناصر عددها (ن) مأخوذة (ر) عنصراً كل مرة، يساوي ناتج قسمة ن! على (ن - ر)! ر!

#### الصيغة الرياضية

##### ن ق ر = \frac{ن!}{(ن - ر)! ر!}

#### الرموز

##### ن ق ر

الاحتمال باستخدام التباديل

إيجاد احتمال حدث ما

#### عدد عناصر الحادثة / عدد عناصر الفضاء العيني

#### مثال: احتمال أن تكون جميع أرقام رمز القفل فردية

##### عدد عناصر الحادثة (من ٥ أرقام فردية) = ٥ × ٤ × ٣ = ٦٠

##### الفضاء العيني = ٧٢٠

##### الاحتمال = ٦٠ / ٧٢٠ = ١/١٢ ≈ ٨.٣٪

```

نقاط مهمة

  • عند حل مسائل التباديل، تأكد أولاً من أن الترتيب مهم في السؤال.
  • قانون التباديل: ن ل ر = \frac{ن!}{(ن - ر)!}
  • لحساب احتمال حدث باستخدام التباديل: (عدد التباديل المفضلة للحدث) ÷ (عدد التباديل الكلية للفضاء العيني).

---

حل مثال (مثال ٥ من واقع الحياة)

المسألة: قفل يعمل برمز مكون من ٣ أرقام مختلفة من بين الأرقام من ٠ إلى ٩.

  • أوجد عدد الرموز المختلفة الممكنة.

    • * الحل: بما أن ترتيب الأرقام مهم ولا يُسمح بالتكرار، نستخدم التباديل.

    * ١٠ ل ٣ = \frac{١٠!}{(١٠ - ٣)!} = \frac{١٠!}{٧!} = ١٠ × ٩ × ٨ = ٧٢٠

    * الإجابة: هناك ٧٢٠ رمزاً مختلفاً.

  • ب) ما احتمال أن تكون جميع أرقام الرمز فردية؟

    • * الحل:

    * الأرقام الفردية من ٠ إلى ٩ هي: ١، ٣، ٥، ٧، ٩ (٥ أرقام).

    * عدد طرق اختيار وترتيب ٣ أرقام فردية مختلفة = ٥ ل ٣ = ٥ × ٤ × ٣ = ٦٠.

    * عدد عناصر الفضاء العيني (جميع الرموز الممكنة) = ٧٢٠.

    * الاحتمال = عدد الحالات المفضلة ÷ عدد الحالات الكلية = ٦٠ ÷ ٧٢٠ = ١ ÷ ١٢.

    * الإجابة: احتمال أن تكون جميع الأرقام فردية هو ١/١٢ (أو حوالي ٨.٣٪).

    ---

    تحقق من فهمك (٥)

    المسألة: يريد أعضاء مجلس إدارة شركة (من بين ٩ مرشحين) اختيار رئيس ونائب رئيس وأمين سر وأمين صندوق. من بين المرشحين فهد و سطام.

  • أ) بكم طريقة يمكن اختيار الأعضاء لهذه المراكز الأربعة؟

    • * الحل: المراكز مختلفة (الترتيب مهم)، نستخدم التباديل.

    * ٩ ل ٤ = \frac{٩!}{(٩ - ٤)!} = \frac{٩!}{٥!} = ٩ × ٨ × ٧ × ٦ = ٣٠٢٤

    * الإجابة: ٣٠٢٤ طريقة.

  • ب) إذا تم الاختيار عشوائياً، فما احتمال أن يختار فهد أو سطام لمركز الرئيس أو نائب الرئيس؟

    • * الحل: هذه المسألة تتطلب حساب الاحتمال لحدث مركب (اختيار شخصين لمركزين محددين من بين مجموعة). لحلها بدقة كاملة، نحتاج إلى حساب:

    * الطريقة ١ (باستخدام المبدأ الأساسي للعد والاحتمال):

    1. احتمال أن يكون الرئيس هو فهد أو سطام = ٢/٩.

    2. بعد اختيار الرئيس، يتبقى ٨ مرشحين لمنصب نائب الرئيس.

    3. احتمال أن يكون نائب الرئيس هو الشخص الآخر (فهد أو سطام) بشرط أن يكون الرئيس هو الأول = ١/٨.

    4. احتمال أن يشغلا المنصبين معاً = (٢/٩) × (١/٨) = ٢/٧٢ = ١/٣٦.

    * الطريقة ٢ (باستخدام التباديل):

    1. عدد الطرق لاختيار فهد و سطام لمنصبي الرئيس ونائب الرئيس (بترتيب معين) = ٢ طريقة (فهد رئيس/سطام نائب، أو سطام رئيس/فهد نائب).

    2. بعد تعيينهما، نكمل اختيار أمين السر وأمين الصندوق من الـ ٧ المتبقين: ٧ ل ٢ = ٧ × ٦ = ٤٢ طريقة.

    3. عدد الطرق المفضلة للحدث = ٢ × ٤٢ = ٨٤ طريقة.

    4. عدد الطرق الكلية (الفضاء العيني) = ٣٠٢٤ طريقة (من الجزء أ).

    5. الاحتمال = ٨٤ / ٣٠٢٤ = ٧ / ٢٥٢ = ١ / ٣٦ (بعد التبسيط).

    * الإجابة: الاحتمال هو ١/٣٦.

    ---

    تأكد

  • مثال ١: بكم طريقة يمكن تنظيم ٦ جوائز في صف واحد؟

    • * الحل: هذا يمثل تباديلاً لـ ٦ عناصر مختلفة.

    * ٦ ل ٦ = ٦! = ٧٢٠

    * الإجابة: ٧٢٠ طريقة.

  • الأمثلة ٢ - ٤: أوجد قيمة كل مما يأتي:

    • * ٢) ٧ ل ٣ = ٧ × ٦ × ٥ = ٢١٠

    * ٣) ٩ ل ٢ = ٩ × ٨ = ٧٢

    * ٤) ٦ ق ٣ = ٦! / (٣! × ٣!) = (٧٢٠) / (٦ × ٦) = ٧٢٠ / ٣٦ = ٢٠

  • ٥) بكم طريقة يمكن تنظيم ٤ حاويات (زجاج، بلاستيك، ورق، ألومنيوم) في صف؟

    • * الحل: هذا يمثل تباديلاً لـ ٤ عناصر مختلفة.

    * ٤ ل ٤ = ٤! = ٢٤

    * الإجابة: ٢٤ طريقة.

    ---

    > 📝 ملاحظة: هذه الصفحة تحتوي على أسئلة تقويمية - راجع تبويب الواجبات للإجابات الكاملة.

    📋 المحتوى المنظم

    📖 محتوى تعليمي مفصّل

    نوع: محتوى تعليمي

    يمكن استعمال التباديل والتوافيق لإيجاد احتمال حادثة ما.

    مثال 5 من واقع الحياة

    نوع: محتوى تعليمي

    إيجاد الاحتمال باستعمال التباديل أقفال: يتطلب فتح قفل يعمل بالأرقام رمزًا مكونًا من ثلاثة أرقام من بين الأرقام صفر إلى 9 على ألا يُستعمل العدد الواحد أكثر من مرة واحدة. أ) ما عدد الترتيبات المختلفة الممكنة؟ ب) ما احتمال أن تكون جميع أرقام الرمز فردية؟

    إرشادات للدراسة

    نوع: محتوى تعليمي

    ثلاثة أرقام: يمكن اعتبار العدد 025 رمزًا لفتح القفل، بينما لا يُعد العدد 25 رمزًا لفتحه.

    تحقق من فهمك

    نوع: QUESTION_HOMEWORK

    5) شركات: يريد أعضاء مجلس إدارة شركة أن يختاروا رئيسًا ونائبًا للرئيس وأمينًا للسر وأمينًا للصندوق. وكان فهد وسطام من بين تسعة مرشحين لهذه المراكز. أ) بكم طريقة يمكن لأعضاء مجلس الإدارة اختيار الأعضاء الذين يشغلون هذه المراكز؟ ب) إذا تم الاختيار عشوائيًا، فما احتمال أن يُختار فهد أو سطام لمركز الرئيس أو نائب الرئيس؟

    نوع: محتوى تعليمي

    تأكد

    1

    نوع: QUESTION_HOMEWORK

    1) جوائز: يريد أحد المراكز التجارية أن يعرض صور جوائزه الست التي يوزعها على الزبائن على لوحة. بكم طريقة يمكن تنظيم الجوائز في صف واحد؟

    أوجد قيمة كل مما يأتي

    نوع: QUESTION_HOMEWORK

    أوجد قيمة كل مما يأتي: 2) 7 ل 2 3) 9 ل 3 4) 6 ق 4 5) 5 ق 2

    6

    نوع: QUESTION_HOMEWORK

    6) إعادة تدوير: وضع خالد حاويات لتجميع المواد التي سيُعاد تدويرها، على أن تكون هناك حاوية لكل من المواد الآتية: الزجاج والبلاستيك والورق والألومنيوم. بكم طريقة يمكن أن ينظم خالد هذه الحاويات في صف؟

    🔍 عناصر مرئية

    Detailed mathematical calculation for permutations and probability. It shows the formula for permutations nPr = n! / (n-r)! applied to 10P3. The calculation includes a fraction where numbers 1 through 7 are crossed out in both numerator and denominator to show simplification, resulting in 10 * 9 * 8 = 720. It also shows the probability calculation P(all odd) = 60 / 720 = 1/12 ≈ 8.3%.

    📄 النص الكامل للصفحة

    يمكن استعمال التباديل والتوافيق لإيجاد احتمال حادثة ما. --- SECTION: مثال 5 من واقع الحياة --- إيجاد الاحتمال باستعمال التباديل أقفال: يتطلب فتح قفل يعمل بالأرقام رمزًا مكونًا من ثلاثة أرقام من بين الأرقام صفر إلى 9 على ألا يُستعمل العدد الواحد أكثر من مرة واحدة. أ) ما عدد الترتيبات المختلفة الممكنة؟ ب) ما احتمال أن تكون جميع أرقام الرمز فردية؟ أ. ما عدد الترتيبات المختلفة الممكنة؟ ب. ما احتمال أن تكون جميع أرقام الرمز فردية؟ --- SECTION: إرشادات للدراسة --- ثلاثة أرقام: يمكن اعتبار العدد 025 رمزًا لفتح القفل، بينما لا يُعد العدد 25 رمزًا لفتحه. --- SECTION: تحقق من فهمك --- 5) شركات: يريد أعضاء مجلس إدارة شركة أن يختاروا رئيسًا ونائبًا للرئيس وأمينًا للسر وأمينًا للصندوق. وكان فهد وسطام من بين تسعة مرشحين لهذه المراكز. أ) بكم طريقة يمكن لأعضاء مجلس الإدارة اختيار الأعضاء الذين يشغلون هذه المراكز؟ ب) إذا تم الاختيار عشوائيًا، فما احتمال أن يُختار فهد أو سطام لمركز الرئيس أو نائب الرئيس؟ أ. بكم طريقة يمكن لأعضاء مجلس الإدارة اختيار الأعضاء الذين يشغلون هذه المراكز؟ ب. إذا تم الاختيار عشوائيًا، فما احتمال أن يُختار فهد أو سطام لمركز الرئيس أو نائب الرئيس؟ تأكد --- SECTION: 1 --- 1) جوائز: يريد أحد المراكز التجارية أن يعرض صور جوائزه الست التي يوزعها على الزبائن على لوحة. بكم طريقة يمكن تنظيم الجوائز في صف واحد؟ --- SECTION: أوجد قيمة كل مما يأتي --- أوجد قيمة كل مما يأتي: 2) 7 ل 2 3) 9 ل 3 4) 6 ق 4 5) 5 ق 2 2. 7 ل 2 3. 9 ل 3 4. 6 ق 4 5. 5 ق 2 --- SECTION: 6 --- 6) إعادة تدوير: وضع خالد حاويات لتجميع المواد التي سيُعاد تدويرها، على أن تكون هناك حاوية لكل من المواد الآتية: الزجاج والبلاستيك والورق والألومنيوم. بكم طريقة يمكن أن ينظم خالد هذه الحاويات في صف؟ --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: Detailed mathematical calculation for permutations and probability. It shows the formula for permutations nPr = n! / (n-r)! applied to 10P3. The calculation includes a fraction where numbers 1 through 7 are crossed out in both numerator and denominator to show simplification, resulting in 10 * 9 * 8 = 720. It also shows the probability calculation P(all odd) = 60 / 720 = 1/12 ≈ 8.3%. Key Values: n = 10, r = 3, 10P3 = 720, 5P3 = 60, Probability = 1/12 ≈ 8.3% Context: Provides the step-by-step solution for the example problem using the permutation formula.

    🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

    عدد البطاقات: 5 بطاقة لهذه الصفحة

    متى يُستخدم التباديل لحساب عدد الطرق الممكنة لترتيب مجموعة من العناصر؟

    • أ) عندما لا يكون الترتيب مهماً.
    • ب) عندما يكون الترتيب الذي تظهر به العناصر مهماً.
    • ج) عندما تكون جميع العناصر متطابقة.
    • د) عندما تكون هناك خيارات غير محدودة للعناصر.

    الإجابة الصحيحة: b

    الإجابة: عندما يكون الترتيب الذي تظهر به العناصر مهماً.

    الشرح: يُستخدم التباديل عندما يكون لكل عنصر من العناصر المختارة مكان أو دور محدد، وبالتالي فإن تغيير ترتيبها ينتج عنه ترتيب جديد ومختلف. أمثلة ذلك: رموز الأقفال، ترتيب الأشخاص في مراكز معينة، تنظيم أشياء في صف.

    تلميح: فكر في طبيعة المشكلة، هل يهم مكان كل عنصر أم لا؟

    التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

    ما الصيغة الرياضية المستخدمة لحساب عدد تباديل ن من العناصر مأخوذة ر في كل مرة؟

    • أ) ن ق ر = ن! / (ر! (ن - ر)!)
    • ب) ن ل ر = ن! / (ن - ر)!
    • ج) ن ل ر = ن! / ر!
    • د) ن ق ر = ر! (ن - ر)! / ن!

    الإجابة الصحيحة: b

    الإجابة: ن ل ر = ن! / (ن - ر)!

    الشرح: صيغة التباديل (ن ل ر) تستخدم لحساب عدد الطرق لترتيب ر من العناصر من مجموعة مكونة من ن عنصر، حيث ن هي العدد الكلي للعناصر، و ر هو عدد العناصر التي يتم اختيارها وترتيبها. وعلامة "!" تعني مضروب العدد.

    تلميح: تذكر كيف يتم حساب التباديل عندما يكون الترتيب مهماً.

    التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

    في قفل يتطلب رمزًا مكونًا من ثلاثة أرقام من بين الأرقام 0 إلى 9 (مع عدم تكرار الرقم)، ما عدد الترتيبات المختلفة الممكنة؟

    • أ) 1000
    • ب) 720
    • ج) 120
    • د) 360

    الإجابة الصحيحة: b

    الإجابة: 720 ترتيبًا

    الشرح: 1. العدد الكلي للأرقام المتاحة (من 0 إلى 9) هو ن = 10. 2. عدد الأرقام في الرمز المطلوب هو ر = 3. 3. بما أن الترتيب مهم (رمز القفل) ولا يوجد تكرار، نستخدم التباديل: 10 ل 3 = 10! / (10 - 3)! = 10! / 7! = 10 × 9 × 8 = 720.

    تلميح: استخدم صيغة التباديل ن ل ر، حيث ن هو العدد الكلي للأرقام المتاحة و ر هو عدد الأرقام في الرمز.

    التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

    في قفل يتطلب رمزًا مكونًا من ثلاثة أرقام من بين الأرقام 0 إلى 9 (مع عدم تكرار الرقم)، ما احتمال أن تكون جميع أرقام الرمز فردية؟

    • أ) 1/10
    • ب) 1/12
    • ج) 1/20
    • د) 1/72

    الإجابة الصحيحة: b

    الإجابة: 1/12

    الشرح: 1. عدد الترتيبات الكلية للرمز هو 10 ل 3 = 720. 2. الأرقام الفردية من 0 إلى 9 هي: 1، 3، 5، 7، 9 (عددها ن = 5). 3. عدد الترتيبات التي تكون فيها جميع الأرقام فردية هو تباديل 3 أرقام من 5 أرقام فردية: 5 ل 3 = 5! / (5 - 3)! = 5 × 4 × 3 = 60. 4. الاحتمال = (عدد الترتيبات الفردية) / (عدد الترتيبات الكلية) = 60 / 720 = 1/12.

    تلميح: احسب عدد التباديل للأرقام الفردية فقط ثم اقسم على العدد الكلي للترتيبات الممكنة.

    التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

    ما قيمة التعبير 6 ق 4؟

    • أ) 360
    • ب) 15
    • ج) 24
    • د) 30

    الإجابة الصحيحة: b

    الإجابة: 15

    الشرح: 1. ن ق ر = ن! / (ر! (ن - ر)!) 2. 6 ق 4 = 6! / (4! (6 - 4)!) 3. = 6! / (4! 2!) 4. = (6 × 5 × 4!) / (4! × 2 × 1) 5. = (6 × 5) / 2 = 30 / 2 = 15.

    تلميح: استخدم صيغة التوافيق ن ق ر = ن! / (ر! (ن - ر)!).

    التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط