مفهوم أساسي: قانون التباديل - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 التباديل والتوافيق

المفاهيم الأساسية

التباديل (ن ل ر): عدد التباديل لعناصر عددها (ن) مأخوذة (ر) عنصراً في كل مرة هو ناتج قسمة ن! على (ن - ر)!.

التوافيق: عدد طرق التشكيل الممكنة لعناصر مجموعة ما عندما لا يكون الترتيب مهماً.

خريطة المفاهيم

```markmap

التباديل والتوافيق

التباديل

التعريف

طريقة الحساب

#### باستخدام مبدأ العد الأساسي

#### باستخدام المضروب

قانون التباديل

#### الصيغة: ن ل ر = ن! / (ن - ر)!

#### الرمز: ن ل (ن)، ر

المضروب (!)

التعريف

الرمز: ن!

مثال: !5 = 5×4×3×2×1

التوافيق

التعريف

الفرق عن التباديل

#### التباديل: الترتيب مهم

#### التوافيق: الترتيب غير مهم

```

نقاط مهمة

• لحساب عدد التباديل، يمكن استخدام مبدأ العد الأساسي (مثل: ٥ × ٤ × ٣ = ٦٠).
• العلاقة بين الحساب المباشر والمضروب: ٥ × ٤ × ٣ = ٥! / (٥-٣)!.
• الرمز لعدد التباديل: ن ل (ن)، ر.
• إرشاد للدراسة: إذا كان الترتيب مهماً في المجموعة، فإنها تمثل تبديلاً. وإذا لم يكن الترتيب مهماً، فإنها تمثل توفيقاً.

---

حل مثال

مثال ٢ (من واقع الحياة):

* المسألة: يريد أمين المكتبة أن يعرض ٦ مجلات من بين ١٠ مجلات مختلفة على رف. في كم طريقة يمكنه ذلك؟

* الحل:

* ن = ١٠ ، ر = ٦

* ن ل ر = ن! / (ن - ر)!

* ١٠ ل ٦ = ١٠! / (١٠ - ٦)! = ١٠! / ٤!

* = (١٠ × ٩ × ٨ × ٧ × ٦ × ٥ × ٤ × ٣ × ٢ × ١) / (٤ × ٣ × ٢ × ١)

* بسط: اقسم على العوامل المشتركة (٤×٣×٢×١).

* = ١٠ × ٩ × ٨ × ٧ × ٦ × ٥

* = ١٥١٢٠٠ طريقة.

---

تحقق من فهمك

المسألة: رسم فنان ١٥ لوحة فنية. في كم طريقة يمكنه اختيار ١٠ لوحات منها لعرضها في معرض فني؟

* ملاحظة: الصفحة تطرح السؤال فقط دون تقديم الحل. لحل هذه المسألة، يجب تطبيق قانون التباديل حيث أن ترتيب عرض اللوحات على الرف مهم (يعتبر كل ترتيب مختلف طريقة عرض فريدة).

* الحل المقترح (بناءً على القانون الموجود في الصفحة):

* ن = ١٥ ، ر = ١٠

* ١٥ ل ١٠ = ١٥! / (١٥ - ١٠)! = ١٥! / ٥!

* = (١٥ × ١٤ × ١٣ × ١٢ × ١١ × ١٠ × ٩ × ٨ × ٧ × ٦ × ٥!) / ٥!

* = ١٥ × ١٤ × ١٣ × ١٢ × ١١ × ١٠ × ٩ × ٨ × ٧ × ٦

* = عدد طرق كبير (يجب حساب القيمة النهائية).

إذا كان في ذهن المدرب ٥ لاعبين لضرب ركلات الترجيح الثلاث الأولى، فإنه يمكنك استعمال مبدأ العد الأساسي لإيجاد عدد التباديل.

طرق اختيار اللاعب الأول × طرق اختيار اللاعب الثاني × طرق اختيار اللاعب الثالث ٥ × ٤ × ٣ = ٦٠ تبديلاً

لاحظ أن: ٥ × ٤ × ٣ = (٥ × ٤ × ٣ × ٢ × ١) / (٢ × ١)؛ ويمكنك تعميم هذه العلاقة بالقانون الآتي:

التعبير اللفظي: عدد التباديل لعناصر عددها (ن) مأخوذة (ر) عنصرًا في كل مرة هو ناتج قسمة ن! على (ن - ر)! الرموز: ن ل ر = ن! / (ن - ر)!

رموز: يمكن كتابة عدد التباديل لعناصر عددها ن، مأخوذة ر في كل مرة بالرمز ن ل ر أو ل(ن، ر).

مكتبة: يريد أمين المكتبة أن يعرض ٦ مجلات من بين ١٠ مجلات مختلفة على رف. فبكم طريقة يمكنه ذلك؟ الحل: قانون التباديل: ١٠ ل ٦ = ١٠! / (١٠ - ٦)! بسط: = ١٠! / ٤! اقسم على العوامل المشتركة: = (١٠ × ٩ × ٨ × ٧ × ٦ × ٥ × ٤ × ٣ × ٢ × ١) / (٤ × ٣ × ٢ × ١) بسط: = ١٥١٢٠٠

٢) لوحات: رسم فنان ١٥ لوحة فنية. فبكم طريقة يمكنه اختيار ١٠ لوحات منها لعرضها في معرض فني.

التوافيق: يُسمّى عدد طرق التشكيل الممكنة لمجموعة عناصر ليس لترتيبها أهمية التوافيق. ولإيجاد التوافيق المكوّنة من حرفين من بين الحروف أ، ب، جـ يجب أن تكتب جميع التراتيب التي يتكون كل منها من حرفين وهي: أ ب، ب أ، أ جـ، جـ أ، ب جـ، جـ ب وبما أن الترتيب غير مهم في التوافيق، فإن أ ب و ب أ يمثلان الاختيار نفسه. أي أن هناك ٢! طريقة لكتابة الحرفين من دون ترتيب؛ لذا اقسم عدد التباديل ن ل ر على ر! لحذف عدد التباديل التي تحتوي على العناصر نفسها.

التباديل والتوافيق: إذا كان الترتيب مهمًا في المجموعة، فإنها تمثل تبديلاً. وإذا لم يكن الترتيب مهمًا في المجموعة فإنها تمثل توفيقًا.

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

الدرس ١٠-٤: التباديل والتوافيق ... ٢٠٧

إذا كان في ذهن المدرب ٥ لاعبين لضرب ركلات الترجيح الثلاث الأولى، فإنه يمكنك استعمال مبدأ العد الأساسي لإيجاد عدد التباديل. طرق اختيار اللاعب الأول × طرق اختيار اللاعب الثاني × طرق اختيار اللاعب الثالث ٥ × ٤ × ٣ = ٦٠ تبديلاً لاحظ أن: ٥ × ٤ × ٣ = (٥ × ٤ × ٣ × ٢ × ١) / (٢ × ١)؛ ويمكنك تعميم هذه العلاقة بالقانون الآتي: --- SECTION: مفهوم أساسي: قانون التباديل --- التعبير اللفظي: عدد التباديل لعناصر عددها (ن) مأخوذة (ر) عنصرًا في كل مرة هو ناتج قسمة ن! على (ن - ر)! الرموز: ن ل ر = ن! / (ن - ر)! --- SECTION: قراءة الرياضيات --- رموز: يمكن كتابة عدد التباديل لعناصر عددها ن، مأخوذة ر في كل مرة بالرمز ن ل ر أو ل(ن، ر). --- SECTION: مثال ٢ من واقع الحياة: استعمال قانون التباديل --- مكتبة: يريد أمين المكتبة أن يعرض ٦ مجلات من بين ١٠ مجلات مختلفة على رف. فبكم طريقة يمكنه ذلك؟ الحل: قانون التباديل: ١٠ ل ٦ = ١٠! / (١٠ - ٦)! بسط: = ١٠! / ٤! اقسم على العوامل المشتركة: = (١٠ × ٩ × ٨ × ٧ × ٦ × ٥ × ٤ × ٣ × ٢ × ١) / (٤ × ٣ × ٢ × ١) بسط: = ١٥١٢٠٠ --- SECTION: تحقق من فهمك --- ٢) لوحات: رسم فنان ١٥ لوحة فنية. فبكم طريقة يمكنه اختيار ١٠ لوحات منها لعرضها في معرض فني. --- SECTION: التوافيق --- التوافيق: يُسمّى عدد طرق التشكيل الممكنة لمجموعة عناصر ليس لترتيبها أهمية التوافيق. ولإيجاد التوافيق المكوّنة من حرفين من بين الحروف أ، ب، جـ يجب أن تكتب جميع التراتيب التي يتكون كل منها من حرفين وهي: أ ب، ب أ، أ جـ، جـ أ، ب جـ، جـ ب وبما أن الترتيب غير مهم في التوافيق، فإن أ ب و ب أ يمثلان الاختيار نفسه. أي أن هناك ٢! طريقة لكتابة الحرفين من دون ترتيب؛ لذا اقسم عدد التباديل ن ل ر على ر! لحذف عدد التباديل التي تحتوي على العناصر نفسها. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- التباديل والتوافيق: إذا كان الترتيب مهمًا في المجموعة، فإنها تمثل تبديلاً. وإذا لم يكن الترتيب مهمًا في المجموعة فإنها تمثل توفيقًا. رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa الدرس ١٠-٤: التباديل والتوافيق ... ٢٠٧ --- VISUAL CONTEXT --- **FIGURE**: Untitled Description: A blue-bordered box containing the verbal definition and mathematical symbols for the Permutations Law. Key Values: ن ل ر = ن! / (ن - ر)! Context: Provides the core mathematical formula for the lesson topic.