📋 المحتوى المنظم
📖 محتوى تعليمي مفصّل
25
نوع: QUESTION_HOMEWORK
٢٥) وظائف: أجرى ٥١ شخصًا مقابلة لشغل إحدى الوظائف، فقامت لجنة المقابلة باختيار مرشح لهذه الوظيفة و٤ بدلاء.
26
نوع: QUESTION_HOMEWORK
٢٦) خزانة: نسي هاني ترتيب الأعداد التي يستعملها لفتح خزانته. ولكنه يتذكر أنها تتكون من الأعداد ٥، ١٦، ٣١. فما العدد الأكبر للمحاولات التي ينفذها لفتح الخزانة؟
نوع: محتوى تعليمي
مسائل مهارات التفكير العليا
27
نوع: QUESTION_HOMEWORK
٢٧) اكتشف الخطأ: تريد كل من سلمى ونوف أن يكونا لجنة مؤلفة من ٤ طالبات؛ للإشراف على تزيين المدرسة استعدادًا لاحتفال تكريم الأوائل. تريد كل منهما أن تحدد عدد اللجان التي يمكن تشكيلها إذا تطوعت ١٠ طالبات للقيام بهذا العمل. فأيتهما كانت إجابتها صحيحة؟ فسر إجابتك.
28
نوع: QUESTION_HOMEWORK
٢٨) حدد الموقف المختلف عن المواقف الثلاثة الأخرى فيما يأتي، ووضح إجابتك:
29
نوع: QUESTION_HOMEWORK
٢٩) تبرير: حدد هل تكون العبارة ن ل ر = ن ق ر صحيحة أحيانًا أم صحيحة دائمًا أم غير صحيحة أبدًا. فسر إجابتك.
30
نوع: QUESTION_HOMEWORK
٣٠) اكتب: اذكر موقفًا لاختيار ٣ أشياء من بين ٨ أشياء، على ألا يكون الترتيب فيه مهمًا.
نوع: محتوى تعليمي
تدريب على اختبار
31
نوع: QUESTION_HOMEWORK
٣١) يريد سعيد أن يزرع ٣ أنواع مختلفة من بين ٨ أنواع مختلفة من الأزهار على جانب ممر في حديقته. بكم طريقة يمكنه زراعة هذه الأزهار؟
32
نوع: QUESTION_HOMEWORK
٣٢) مع سالم ٦٠ ورقة نقدية من فئتي عشرة ريالات وخمسة ريالات، قيمتها ٤٨٠ ريالاً. فكم ورقة معه من فئة عشرة ريالات؟
نوع: METADATA
وزارة التعليم Ministry of Education 2024 - 1446 | الدرس ١٠-٤: التباديل والتوافيق ٢١١
🔍 عناصر مرئية
صندوقان يحتويان على حلول رياضية مختلفة لنفس المسألة. الصندوق الأيمن بعنوان 'سلمى' والأيسر بعنوان 'نوف'.
أربعة صناديق نصية مرتبة في شبكة ٢×٢، كل منها يصف موقفاً مختلفاً للاختيار.
🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة
عدد البطاقات: 11 بطاقة لهذه الصفحة
وظائف: أجرى ٥١ شخصًا مقابلة لشغل إحدى الوظائف، فقامت لجنة المقابلة باختيار مرشح لهذه الوظيفة و٤ بدلاء. بكم طريقة يمكن أن تختار اللجنة المرشح للوظيفة والبدلاء الأربعة؟
- أ) ٢٢,٩٩٠,٣٠٠ طريقة
- ب) ٢٨١,٨٨٧,٢٠٠ طريقة
- ج) ١١,٧٤٥,٣٠٠ طريقة
- د) ٥,٩٩٧,٦٠٠ طريقة
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: ١١,٧٤٥,٣٠٠ طريقة
الشرح: ١. لاختيار المرشح للوظيفة من بين ٥١ شخصًا: هناك ٥١ طريقة (تباديل ١ من ٥١).
٢. لاختيار البدلاء الأربعة من الـ ٥٠ شخصًا المتبقين: بما أن ترتيب البدلاء لا يهم، نستخدم التوافيق: ٥٠ ق ٤ = (٥٠ × ٤٩ × ٤٨ × ٤٧) / (٤ × ٣ × ٢ × ١) = ٢٣٠,٣٠٠ طريقة.
٣. عدد الطرق الكلي = ٥١ × ٢٣٠,٣٠٠ = ١١,٧٤٥,٣٠٠ طريقة.
تلميح: تذكر أن اختيار مرشح (دور محدد) ثم مجموعة من البدلاء (مجموعة دون ترتيب داخلي) يتطلب الجمع بين التباديل والتوافيق.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب
خزانة: نسي هاني ترتيب الأعداد التي يستعملها لفتح خزانته. ولكنه يتذكر أنها تتكون من الأعداد ٥، ١٦، ٣١. فما العدد الأكبر للمحاولات التي ينفذها لفتح الخزانة؟
- أ) ٣ محاولات
- ب) ٦ محاولات
- ج) ٩ محاولات
- د) ٢٧ محاولة
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: ٦ محاولات
الشرح: ١. هاني يعرف الأعداد (٥، ١٦، ٣١) ولكن لا يعرف ترتيبها.
٢. لفتح الخزانة، يجب إيجاد الترتيب الصحيح لهذه الأعداد الثلاثة.
٣. عدد التباديل لثلاثة عناصر مختلفة هو مضروب العدد ٣ (٣!).
٤. ٣! = ٣ × ٢ × ١ = ٦ محاولات.
تلميح: عند ترتيب مجموعة من العناصر المختلفة (هنا الأعداد)، فإن عدد التباديل الممكنة هو مضروب عدد هذه العناصر.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل
تريد كل من سلمى ونوف أن يكونا لجنة مؤلفة من ٤ طالبات للإشراف على تزيين المدرسة، إذا تطوعت ١٠ طالبات. سلمى حسبت عدد اللجان كـ ١٠ ل ٤ = ٥٠٤٠ ونوف حسبت ١٠ ق ٤ = ٢١٠. فأيتهما كانت إجابتها صحيحة؟
- أ) سلمى، لأن الترتيب مهم في اختيار أعضاء اللجنة.
- ب) نوف، لأن تكوين اللجنة لا يتطلب ترتيباً.
- ج) كلاهما صحيحة، فكلا الطريقتين تؤديان لنفس النتيجة.
- د) كلاهما خاطئة، فالحل يتطلب طريقة مختلفة تمامًا.
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: نوف، لأن تكوين اللجنة لا يتطلب ترتيباً.
الشرح: ١. تكوين لجنة يعني اختيار مجموعة من الأفراد دون اهتمام بالترتيب الداخلي لهم.
٢. لحساب عدد اللجان، يجب استخدام التوافيق (Combinations) وليس التباديل (Permutations).
٣. حساب التوافيق لـ ١٠ ق ٤ = ١٠! / (٤! × (١٠-٤)!) = (١٠ × ٩ × ٨ × ٧) / (٤ × ٣ × ٢ × ١) = ٢١٠.
٤. سلمى استخدمت التباديل (ل) بينما نوف استخدمت التوافيق (ق)، لذا إجابة نوف هي الصحيحة.
تلميح: عند تشكيل لجنة أو مجموعة من الأفراد، هل يهم ترتيب اختيار الأعضاء داخل هذه المجموعة؟
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط
يريد سعيد أن يزرع ٣ أنواع مختلفة من بين ٨ أنواع مختلفة من الأزهار على جانب ممر في حديقته. بكم طريقة يمكنه زراعة هذه الأزهار؟
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: ٣٣٦ طريقة
الشرح: ١. زراعة الأزهار على جانب ممر تعني أن ترتيب أنواع الأزهار المختارة يهم (فمثلاً ترتيب 'ورد، توليب، ياسمين' يختلف عن 'توليب، ورد، ياسمين').
٢. لذا، يجب استخدام التباديل (Permutations) لاختيار وترتيب ٣ أنواع من بين ٨ أنواع.
٣. عدد الطرق = ٨ ل ٣ = ٨! / (٨-٣)! = ٨! / ٥! = ٨ × ٧ × ٦ = ٣٣٦ طريقة.
تلميح: إذا كان ترتيب الأشياء المختارة يغير النتيجة أو المظهر (مثل ترتيب الأزهار على ممر)، فإن العملية تتضمن تباديل.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط
مع سالم ٦٠ ورقة نقدية من فئتي عشرة ريالات وخمسة ريالات، قيمتها ٤٨٠ ريالاً. فكم ورقة معه من فئة عشرة ريالات؟
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: ٣٦ ورقة
الشرح: ١. نفرض أن 'س' هو عدد أوراق فئة العشرة ريالات، و'ص' هو عدد أوراق فئة الخمسة ريالات.
٢. المعادلة الأولى (عدد الأوراق الكلي): س + ص = ٦٠
٣. المعادلة الثانية (القيمة الكلية): ١٠س + ٥ص = ٤٨٠
٤. من المعادلة الأولى، نجد ص = ٦٠ - س.
٥. بالتعويض في المعادلة الثانية: ١٠س + ٥(٦٠ - س) = ٤٨٠
٦. ١٠س + ٣٠٠ - ٥س = ٤٨٠
٧. ٥س + ٣٠٠ = ٤٨٠
٨. ٥س = ٤٨٠ - ٣٠٠
٩. ٥س = ١٨٠
١٠. س = ١٨٠ / ٥ = ٣٦ ورقة.
تلميح: قم بإنشاء نظام من معادلتين خطيتين لتمثيل عدد الأوراق الإجمالي والقيمة الكلية لها.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط
هل العبارة الرياضية ن ل ر = ن ق ر صحيحة دائمًا، أحيانًا، أم غير صحيحة أبدًا؟
- أ) صحيحة دائمًا
- ب) غير صحيحة أبدًا
- ج) صحيحة أحيانًا
- د) يعتمد على قيمة ن فقط
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: صحيحة أحيانًا
الشرح: ١. العبارة ن ل ر = ن ق ر تعني أن ر! يجب أن تساوي ١.
٢. هذا يتحقق عندما ر = ٠ (لأن ٠! = ١) أو ر = ١ (لأن ١! = ١).
٣. لقيم ر > ١، فإن ر! > ١، وبالتالي تكون ن ل ر > ن ق ر.
٤. لذلك، العبارة صحيحة فقط في حالات معينة (ر=٠ أو ر=١)، مما يجعلها صحيحة أحيانًا.
تلميح: تذكر العلاقة بين التباديل (ن ل ر = ن! / (ن-ر)!) والتوافيق (ن ق ر = ن! / (ر! × (ن-ر)!)). فكر متى يمكن أن تكون ر! = ١.
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: صعب
أي من المواقف التالية يمثل اختيار ٣ أشياء من بين ٨ أشياء حيث الترتيب غير مهم؟
- أ) ترتيب 3 كتب من 8 على رف.
- ب) اختيار رئيس ونائب وسكرتير من 8 مرشحين.
- ج) اختيار 3 طلاب من 8 لتشكيل لجنة.
- د) تحديد المراكز الثلاثة الأولى في سباق يشارك فيه 8 عدّائين.
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: اختيار 3 طلاب من 8 لتشكيل لجنة.
الشرح: في تشكيل اللجان، لا يهم ترتيب اختيار الأعضاء. فاللجنة المكونة من (أحمد، خالد، سارة) هي نفسها اللجنة (سارة، خالد، أحمد). هذا يمثل توافيق، حيث الترتيب غير مهم.
تلميح: فكر هل تغيير ترتيب الأشياء المختارة سيغير النتيجة النهائية للموقف. إذا لم يتغير، فالترتيب غير مهم.
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل
ما نوع العملية الرياضية المستخدمة لتحديد العدد الأكبر للمحاولات لفتح قفل خزانة عندما تكون الأعداد المكونة للقفل معروفة (مثل ٥، ١٦، ٣١) ولكن ترتيبها منسي؟
- أ) تباديل
- ب) توافيق
- ج) جمع
- د) ضرب
الإجابة الصحيحة: a
الإجابة: تباديل
الشرح: ١. لفتح قفل خزانة، يجب إدخال الأعداد بترتيب معين.
٢. الأعداد معروفة ولكن ترتيبها هو المجهول.
٣. بما أن الترتيب مهم، فإن عدد المحاولات يمثل عدد التباديل لهذه الأعداد.
تلميح: هل يهم ترتيب الأعداد في فتح القفل لتحديد المحاولات؟
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل
حدد هل تكون العبارة ن ل ر = ن ق ر صحيحة أحيانًا أم صحيحة دائمًا أم غير صحيحة أبدًا.
- أ) صحيحة دائمًا
- ب) صحيحة أحيانًا
- ج) غير صحيحة أبدًا
- د) لا يمكن تحديد ذلك
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: صحيحة أحيانًا
الشرح: ١. صيغة التباديل: ن ل ر = ن! / (ن-ر)!
٢. صيغة التوافيق: ن ق ر = ن! / (ر! (ن-ر)!)
٣. العلاقة بينهما هي: ن ل ر = ن ق ر × ر!
٤. لكي تكون ن ل ر = ن ق ر، يجب أن يكون ر! = ١.
٥. هذا يتحقق فقط عندما تكون ر = ٠ أو ر = ١. بما أنها ليست صحيحة لكل قيم ر، فهي صحيحة أحيانًا.
تلميح: قارن صيغتي التباديل والتوافيق، وفكر في قيم ر التي تجعل العلاقة صحيحة.
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط
أي المواقف التالية يمثل اختيار ٣ أشياء من بين ٨ أشياء بحيث لا يكون الترتيب فيه مهمًا؟
- أ) ترتيب ٣ كتب من ٨ على رف
- ب) اختيار ٣ فائزين بالمراكز الثلاثة الأولى من ٨ متسابقين
- ج) اختيار ٣ ألوان مختلفة من ٨ لطلاء سيارة
- د) اختيار ٣ طلاب من ٨ لتشكيل لجنة طلابية
الإجابة الصحيحة: d
الإجابة: اختيار ٣ طلاب من ٨ لتشكيل لجنة طلابية
الشرح: ١. الترتيب غير مهم يعني أن اختيار مجموعة من العناصر لا يتأثر بترتيب اختيارها.
٢. في اختيار لجنة طلابية، سواء اخترت الطالب أ ثم ب ثم ج، أو ب ثم أ ثم ج، فاللجنة المكونة من هؤلاء الطلاب الثلاثة هي نفسها.
٣. هذا يتوافق مع مفهوم التوافيق، حيث الترتيب لا يُحدث فرقاً.
تلميح: فكر في الموقف الذي لا يغير فيه تبديل موضع العناصر المختارة النتيجة النهائية.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل
ما الميزة الأساسية التي تحدد ما إذا كانت المسألة تتطلب استخدام التباديل بدلاً من التوافيق في عملية الاختيار؟
- أ) أهمية حجم المجموعة الكلية
- ب) أهمية الترتيب أو تمييز الأدوار/المراكز
- ج) أهمية نوع العناصر المختارة
- د) أهمية عدد العناصر المختارة
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: أهمية الترتيب أو تمييز الأدوار/المراكز
الشرح: ١. التباديل تُستخدم عندما يكون ترتيب العناصر أو تمييز الأدوار/المراكز المختلفة بين العناصر المختارة أمراً مهماً.
٢. أما التوافيق فتُستخدم عندما يكون ترتيب العناصر غير مهم، والمطلوب هو اختيار مجموعة فقط.
تلميح: فكر في الفرق الجوهري بين تبديل العناصر واختيار مجموعة منها.
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط