📚 احتمال الحوادث غير المستقلة
المفاهيم الأساسية
احتمال الحوادث غير المستقلة: إذا كانت الحادثتان أ و ب غير مستقلتين، فإن احتمال وقوعهما معاً يساوي حاصل ضرب احتمال وقوع الحادثة (أ) في احتمال وقوع الحادثة (ب) بعد وقوع الحادثة أ.
الرموز: ح (أ \space و \space ب) = ح (أ) \times ح (ب \space بعد \space أ)
الحوادث المتنافية: الحادثتان اللتان لا يمكن وقوعهما معاً.
متممة المجموعة: جميع العناصر التي لا تنتمي إلى تلك المجموعة. مجموع احتمالي أي حادثتين متتامتين يساوي ١.
خريطة المفاهيم
```markmap
احتمالات الحوادث المركبة
أنواع الحوادث
حادثة بسيطة
حادثة مركبة
علاقة الحوادث
حوادث مستقلة
#### التعريف: لا تؤثر نتيجة إحداهما في الأخرى
#### قاعدة الاحتمال: ح(أ و ب) = ح(أ) × ح(ب)
حوادث غير مستقلة
#### التعريف: تؤثر نتيجة إحداهما في الأخرى
#### قاعدة الاحتمال: ح(أ و ب) = ح(أ) × ح(ب بعد أ)
حوادث متنافية
#### التعريف: لا يمكن وقوعهما معاً
التمثيل البصري
مخطط فين (تقاطع مجموعتين)
```
نقاط مهمة
- في الحوادث غير المستقلة (مثل السحب من دون إرجاع)، يتغير عدد العناصر في الفضاء العيني بعد كل حادثة.
- لحساب احتمال حوادث غير مستقلة متتالية، نضرب احتمالاتها الشرطية المتتالية.
- استخدم التمثيل البصري (مثل الأوراق الملونة) لفهم مسائل الاحتمال وحلها.
---
حل مثال
المثال ٢: بطاقات
يوجد صندوق به ١٠ بطاقات حمراء، ١٠ صفراء، ١٠ زرقاء، ١٠ بيضاء. كل مجموعة مرقمة من ١ إلى ١٠. سُحبت ثلاث بطاقات عشوائياً من دون إرجاع.
أ) ح (حمراء، بيضاء، حمراء)
* البطاقة الأولى (حمراء): ح(حمراء) = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}
* البطاقة الثانية (بيضاء): ح(بيضاء) = \frac{10}{39}
* البطاقة الثالثة (حمراء): ح(حمراء) = \frac{9}{38}
* الاحتمال المطلوب: \frac{1}{4} \times \frac{10}{39} \times \frac{9}{38} = \frac{15}{988} \approx 1.5\%
ب) ح (أربعة، أربعة، ليس تسعة)
* البطاقة الأولى (رقم ٤): ح(أربعة) = \frac{4}{40}
* البطاقة الثانية (رقم ٤): ح(أربعة) = \frac{3}{39}
* البطاقة الثالثة (ليست ٩): بعد سحب بطاقتين، بقي ٣٨ بطاقة. منها ٤ تحمل الرقم ٩، إذن: ح(ليس\spaceتسعة) = \frac{38 - 4}{38} = \frac{34}{38}
* الاحتمال المطلوب: \frac{4}{40} \times \frac{3}{39} \times \frac{34}{38} = \frac{17}{2470} \approx 0.7\%
---
تحقق من فهمك
بناءً على معطيات المثال ٢ (الصندوق نفسه، السحب من دون إرجاع):
٢أ) ح (اثنان، خمسة، ليس خمسة)
* البطاقة الأولى (رقم ٢): ح(اثنان) = \frac{4}{40}
* البطاقة الثانية (رقم ٥): ح(خمسة) = \frac{4}{39}
* البطاقة الثالثة (ليست ٥): بعد سحب بطاقتين، بقي ٣٨ بطاقة. منها ٣ تحمل الرقم ٥ (تم سحب واحدة)، إذن: ح(ليس\spaceخمسة) = \frac{38 - 3}{38} = \frac{35}{38}
* الاحتمال المطلوب: \frac{4}{40} \times \frac{4}{39} \times \frac{35}{38} = \frac{560}{59280} = \frac{7}{741}
٢ب) ح (حمراء، ليست حمراء، حمراء)
* البطاقة الأولى (حمراء): ح(حمراء) = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}
* البطاقة الثانية (ليست حمراء): ح(ليست\spaceحمراء) = \frac{30}{39}
* البطاقة الثالثة (حمراء): ح(حمراء) = \frac{9}{38}
* الاحتمال المطلوب: \frac{1}{4} \times \frac{30}{39} \times \frac{9}{38} = \frac{270}{5928} = \frac{45}{988}