لماذا؟ - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 احتمالات الحوادث المركبة

المفاهيم الأساسية

الحادثة البسيطة: حادثة واحدة.

الحادثة المركبة: حادثة تكون من حادثتين بسيطتين أو أكثر.

الحادثتان المستقلتان: حادثتان لا تؤثر نتيجة إحداهما في نتيجة الأخرى.

الحادثتان غير المستقلتين: حادثتان تؤثر نتيجة إحداهما في نتيجة الأخرى.

الحادثتان المتنافيتان: (مذكورة فقط في قائمة المفردات دون تعريف في النص المقدم).

خريطة المفاهيم

```markmap

احتمالات الحوادث المركبة

أنواع الحوادث

حادثة بسيطة

حادثة مركبة

علاقة الحوادث

حوادث مستقلة

#### التعريف: لا تؤثر نتيجة إحداهما في الأخرى

#### قاعدة الاحتمال: ح(أ و ب) = ح(أ) × ح(ب)

حوادث غير مستقلة

#### التعريف: تؤثر نتيجة إحداهما في الأخرى

حوادث متنافية

التمثيل البصري

مخطط فين (تقاطع مجموعتين)

```

نقاط مهمة

• احتمال وقوع حادثتين مستقلتين معاً = حاصل ضرب احتمال كل منهما: ح(أ \space و \space ب) = ح(أ) \times ح(ب)
• مثال الحوادث المستقلة: وصول الطائرة في موعدها وفقدان الأمتعة (طبقاً للمثال الوارد).
• مثال الحوادث غير المستقلة: سحب كرتين من كيس دون إرجاع (يعتمد احتمال السحب الثاني على نتيجة الأول).

---

حل مثال

المثال ١ (كرات زجاجية):

يحتوي كيس على ٦ كرات سوداء، ٩ زرقاء، ٤ صفراء، ٢ خضراء. المجموع = ٢١ كرة.

سُحبت كرة ثم أُعيدت، ثم سُحبت كرة ثانية. أوجد احتمال سحب كرة سوداء ثم كرة صفراء.

الحل:

• ح(سوداء في السحب الأول) = ٦/٢١
• ح(صفراء في السحب الثاني) = ٤/٢١ (لأن الكرة أُعيدت، فالحدثان مستقلان)
• ح(سوداء ثم صفراء) = (٦/٢١) × (٤/٢١) = ٢٤/٤٤١ ≈ ٠.٠٥٤

---

تحقق من فهمك

بالنسبة لنفس الكيس في المثال السابق (٢١ كرة: ٦ سوداء، ٩ زرقاء، ٤ صفراء، ٢ خضراء)، مع الإعادة:

أ) ح(زرقاء ثم خضراء):

• ح(زرقاء) = ٩/٢١
• ح(خضراء) = ٢/٢١
• الاحتمال = (٩/٢١) × (٢/٢١) = ١٨/٤٤١

ب) ح(ليست سوداء ثم زرقاء):

• ح(ليست سوداء) = (٩+٤+٢)/٢١ = ١٥/٢١
• ح(زرقاء) = ٩/٢١
• الاحتمال = (١٥/٢١) × (٩/٢١) = ١٣٥/٤٤١

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

٥-١٠

احتمالات الحوادث المركبة

يرغب خالد في السفر من الرياض إلى جدة بالطائرة. وتشير تقارير شركة الطيران إلى وصول الطائرات في موعدها بنسبة ٩٢٪ من الرحلات. كما تشير إلى فقدان الأمتعة في ١٪ من الحالات. ما احتمال وصول طائرة خالد في موعدها وعدم فقدان أمتعته؟

درست حساب احتمال بسيط.

• أجد احتمال حادثتين مستقلتين أو حادثتين غير مستقلتين. • أجد احتمال حادثتين متنافيتين أو حادثتين غير متنافيتين.

الحادثة المركبة الحادثتان المستقلتان الحادثتان غير المستقلتين الحادثتان المتنافيتان

تذكر أن الحادثة الواحدة، مثل الطيران إلى جدة تُسمى حادثة بسيطة. وأن الحادثة المركبة تتكون من حادثتين بسيطتين أو أكثر. فاحتمال وصول الطائرة في موعدها وعدم فقدان الأمتعة مثال على الحادثة المركبة. وقد لا يؤثر وصول الطائرة في موعدها على فقدان الأمتعة أو عدمه، وتُسمى هاتان الحادثتان حادثتين مستقلتين؛ لأن نتيجة إحداهما لا تؤثر في نتيجة الأخرى.

التعبير اللفظي: إذا كانت الحادثتان أ و ب مستقلتين، فإن احتمال وقوعهما معًا، يساوي حاصل ضرب احتمال الحادثة أ في احتمال الحادثة ب. الرموز: ح (أ و ب) = ح (أ) × ح (ب)

كرات زجاجية: يحتوي كيس على ٦ كرات سوداء و ٩ زرقاء و ٤ صفراء وكرتين خضراوين. فإذا سُحبت منه كرة عشوائيًا ثم أعيدت وسُحبت كرة ثانية، فأوجد احتمال سحب كرة سوداء ثم كرة صفراء. الحل: الكرة الأولى: ح(سوداء) = ٦/٢١ = عدد الكرات السوداء / عدد الكرات الكلي الكرة الثانية: ح(صفراء) = ٤/٢١ = عدد الكرات الصفراء / عدد الكرات الكلي ح (سوداء وصفراء) = ح (سوداء) × ح (صفراء) احتمال الحوادث المستقلة = ٦/٢١ × ٤/٢١ = ٢٤/٤٤١ عوّض الاحتمال يساوي ٢٤/٤٤١ = ٤,٥٪ تقريبًا.

تحقق من فهمك

عندما تؤثر نتيجة حادثة ما في نتيجة حادثة أخرى نقول عنهما: إنهما حادثتان غير مستقلتين، ففي المثال ١ إذا لم تُرجع الكرة التي سُحبت في المرة الأولى إلى الكيس، فإن سحب الكرتين يمثل حادثتين غير مستقلتين؛ لأن احتمال سحب الكرة الثانية يعتمد على لون الكرة التي سُحبت أولاً.

الدرس ٥-١٠: احتمالات الحوادث المركبة ٢١٣

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa ٥-١٠ احتمالات الحوادث المركبة --- SECTION: لماذا؟ --- يرغب خالد في السفر من الرياض إلى جدة بالطائرة. وتشير تقارير شركة الطيران إلى وصول الطائرات في موعدها بنسبة ٩٢٪ من الرحلات. كما تشير إلى فقدان الأمتعة في ١٪ من الحالات. ما احتمال وصول طائرة خالد في موعدها وعدم فقدان أمتعته؟ --- SECTION: فيما سبق --- درست حساب احتمال بسيط. --- SECTION: والآن --- • أجد احتمال حادثتين مستقلتين أو حادثتين غير مستقلتين. • أجد احتمال حادثتين متنافيتين أو حادثتين غير متنافيتين. --- SECTION: المفردات --- الحادثة المركبة الحادثتان المستقلتان الحادثتان غير المستقلتين الحادثتان المتنافيتان --- SECTION: الحوادث المستقلة والحوادث غير المستقلة --- تذكر أن الحادثة الواحدة، مثل الطيران إلى جدة تُسمى حادثة بسيطة. وأن الحادثة المركبة تتكون من حادثتين بسيطتين أو أكثر. فاحتمال وصول الطائرة في موعدها وعدم فقدان الأمتعة مثال على الحادثة المركبة. وقد لا يؤثر وصول الطائرة في موعدها على فقدان الأمتعة أو عدمه، وتُسمى هاتان الحادثتان حادثتين مستقلتين؛ لأن نتيجة إحداهما لا تؤثر في نتيجة الأخرى. --- SECTION: مفهوم أساسي: احتمال الحوادث المستقلة --- التعبير اللفظي: إذا كانت الحادثتان أ و ب مستقلتين، فإن احتمال وقوعهما معًا، يساوي حاصل ضرب احتمال الحادثة أ في احتمال الحادثة ب. الرموز: ح (أ و ب) = ح (أ) × ح (ب) --- SECTION: مثال 1 من واقع الحياة: احتمال الحوادث المستقلة --- كرات زجاجية: يحتوي كيس على ٦ كرات سوداء و ٩ زرقاء و ٤ صفراء وكرتين خضراوين. فإذا سُحبت منه كرة عشوائيًا ثم أعيدت وسُحبت كرة ثانية، فأوجد احتمال سحب كرة سوداء ثم كرة صفراء. الحل: الكرة الأولى: ح(سوداء) = ٦/٢١ = عدد الكرات السوداء / عدد الكرات الكلي الكرة الثانية: ح(صفراء) = ٤/٢١ = عدد الكرات الصفراء / عدد الكرات الكلي ح (سوداء وصفراء) = ح (سوداء) × ح (صفراء) احتمال الحوادث المستقلة = ٦/٢١ × ٤/٢١ = ٢٤/٤٤١ عوّض الاحتمال يساوي ٢٤/٤٤١ = ٤,٥٪ تقريبًا. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك ١أ. ح (زرقاء وخضراء) ١ب. ح (ليست سوداء وزرقاء) عندما تؤثر نتيجة حادثة ما في نتيجة حادثة أخرى نقول عنهما: إنهما حادثتان غير مستقلتين، ففي المثال ١ إذا لم تُرجع الكرة التي سُحبت في المرة الأولى إلى الكيس، فإن سحب الكرتين يمثل حادثتين غير مستقلتين؛ لأن احتمال سحب الكرة الثانية يعتمد على لون الكرة التي سُحبت أولاً. الدرس ٥-١٠: احتمالات الحوادث المركبة ٢١٣ --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: Untitled Description: QR code for digital lesson link to ien.edu.sa **IMAGE**: Untitled Description: A photograph of a flight information display system (FIDS) at an airport, showing flight numbers, destinations, and times. **DIAGRAM**: Untitled Description: A Venn diagram illustrating independent events. It shows two overlapping circles. The left circle is blue and labeled 'ب', and the right circle is orange and labeled 'أ'. The overlapping area is shaded. Below the diagram is the text 'ح (أ و ب)'. Context: Visual representation of the intersection of two events A and B. **IMAGE**: Untitled Description: A small icon with the text 'أضف إلى مطويتك' (Add to your foldable) and 'أضف إلى' above it.