مفهوم أساسي - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 الحوادث غير المتنافية

المفاهيم الأساسية

الحوادث غير المتنافية: حوادث يمكن وقوعها معاً في الوقت نفسه (لها تقاطع).

قاعدة الاحتمال: إذا كانت الحادثتان أ و ب غير متنافيتين، فإن احتمال وقوع أ أو ب يساوي مجموع احتماليهما ناقص احتمال وقوعهما معاً.

التعبير بالرموز: ح (أ \ أو \ ب) = ح (أ) + ح (ب) – ح (أ ∩ ب)

خريطة المفاهيم

```markmap

احتمالات الحوادث المركبة

أنواع الحوادث

حادثة بسيطة

حادثة مركبة

علاقة الحوادث

حوادث مستقلة

#### التعريف: لا تؤثر نتيجة إحداهما في الأخرى

#### قاعدة الاحتمال: ح(أ و ب) = ح(أ) × ح(ب)

حوادث غير مستقلة

#### التعريف: تؤثر نتيجة إحداهما في الأخرى

#### قاعدة الاحتمال: ح(أ و ب) = ح(أ) × ح(ب بعد أ)

حوادث متنافية

#### التعريف: لا يمكن وقوعهما معاً

#### قاعدة الاحتمال: ح(أ أو ب) = ح(أ) + ح(ب)

حوادث غير متنافية

#### التعريف: يمكن وقوعهما معاً (لها تقاطع)

#### قاعدة الاحتمال: ح(أ أو ب) = ح(أ) + ح(ب) – ح(أ ∩ ب)

التمثيل البصري

مخطط فين (تقاطع مجموعتين)

#### حوادث متنافية: لا يوجد تداخل بين الدائرتين

#### حوادث غير متنافية: يوجد تداخل بين الدائرتين (أ ∩ ب)

```

نقاط مهمة

• في الرياضيات، تعني عبارة "أ أو ب" إمكانية وقوع الحادثة أ أو الحادثة ب أو وقوعهما معاً.
• عند حساب احتمال حوادث غير متنافية، يُحتسب العنصر المشترك (في التقاطع) مرتين عند جمع الاحتمالات، لذا يجب طرحه مرة واحدة.
• يتم تمثيل الحوادث غير المتنافية بمخطط فين بدائرتين متقاطعتين.

---

حل مثال

المثال ٤ (الطلاب الرياضيون):

* المعطيات: إجمالي الطلاب = ٢٤٠، طلاب متفوقون علمياً = ١٧٦، طلاب متفوقون علمياً ورياضياً = ٤٨، طلاب متفوقون رياضياً وعلمياً = ٣٢.

* المطلوب: احتمال اختيار طالب متفوق علمياً أو رياضياً عشوائياً.

* الحل:

1. الحادثتان غير متنافيتين (يوجد طلاب متفوقون في المجالين).

2. ح(متفوق علمياً) = ١٧٦/٢٤٠

3. ح(متفوق رياضياً) = ٤٨/٢٤٠

4. ح(متفوق رياضياً وعلمياً) = ٣٢/٢٤٠

5. طبق القاعدة: ح (ع أو ر) = ح(ع) + ح(ر) - ح(ع ∩ ر)

6. الاحتمال = (١٧٦/٢٤٠) + (٤٨/٢٤٠) - (٣٢/٢٤٠) = (١٩٢/٢٤٠) = ٤/٥ = ٠٫٨

---

تحقق من فهمك

السؤال (٤): مكعب أرقام: ما احتمال ظهور عدد فردي أو أولي؟

(ملاحظة: الصفحة تطرح السؤال فقط دون إعطاء الحل. الحل التالي مبني على المعرفة العامة بمكعب الأرقام من ١ إلى ٦ لتوضيح تطبيق القاعدة)

* افترض أن مكعب الأرقام يحتوي على الأرقام {١, ٢, ٣, ٤, ٥, ٦}.

* الأعداد الفردية: {١, ٣, ٥} ← الاحتمال = ٣/٦

* الأعداد الأولية: {٢, ٣, ٥} ← الاحتمال = ٣/٦

* الأعداد الفردية والأولية معاً (التقاطع): {٣, ٥} ← الاحتمال = ٢/٦

* الحل: ح(فردي أو أولي) = (٣/٦) + (٣/٦) - (٢/٦) = ٤/٦ = ٢/٣

---

> 📝 ملاحظة: هذه الصفحة تحتوي على أسئلة تقويمية - راجع تبويب الواجبات للإجابات الكاملة.

في الكسرين الأول والثاني السابقين حُسب احتمال سحب العدد ٦ مرتين؛ إحداهما في حادثة ظهور عدد زوجي، والثانية في حادثة ظهور مضاعف للعدد ٣؛ لذا يتطلب إيجاد الاحتمال المطلوب أن نطرح ح (عدد زوجي ومضاعف للعدد ٣) من مجموع الاحتمالين الأولين. إذن ح (عدد زوجي أو مضاعف للعدد ٣) = ح (عدد زوجي) + ح (مضاعف للعدد ٣) - ح (عدد زوجي ومضاعف للعدد ٣) = ٤/٩ + ٣/٩ - ١/٩ = ٦/٩ = ٢/٣.

مفهوم أساسي: الحوادث غير المتنافية

التعبير اللفظي: إذا كانت الحادثتان أ و ب غير متنافيتين، فإن احتمال وقوع أ أو وقوع ب يساوي مجموع احتماليهما ناقص احتمال وقوع الحادثتين معًا. الرموز: ح (أ أو ب) = ح (أ) + ح (ب) - ح (أ و ب)

أ أو ب: يختلف استعمال أ أو ب عن الاستعمال اللغوي، فالعبارة أ أو ب تسمح بإمكانية وقوع الحادثتين أ و ب معًا أيضًا.

تقاطع الحوادث: عند إيجاد احتمالات الحوادث غير المتنافية، نحسب تقاطع الحادثتين مرتين؛ لأنه يوجد في كلتا الحادثتين. لذا يجب الانتباه إلى أنه في الحقيقة يقع في تقاطعهما مرة واحدة.

مثال ٤ من واقع الحياة: الحوادث غير المتنافية

الطلاب الرياضيون: يوجد من بين ٢٤٠ طالبًا في مدرسة ما ١٧٦ طالبًا متفوقًا علميًا و ٤٨ طالبًا متفوقًا رياضيًا. وهناك ٣٦ طالبًا متفوقًا علميًا ورياضيًا. اختير طالب عشوائيًا فما احتمال أن يكون متفوقًا علميًا أو رياضيًا ؟ بما أن بعض الطلاب متفوقون علميًا ورياضيًا فالحادثتان غير متنافيتين. ح (متفوق رياضيًا) = ٤٨/٢٤٠ ، ح (متفوق علميًا) = ١٧٦/٢٤٠ ، ح (متفوق رياضيًا وعلميًا) = ٣٦/٢٤٠ ح (متفوق رياضيًا أو علميًا) = ح (متفوق رياضيًا) + ح (متفوق علميًا) - ح (متفوق رياضيًا وعلميًا) = ٤٨/٢٤٠ + ١٧٦/٢٤٠ - ٣٦/٢٤٠ = ١٨٨/٢٤٠ = ٤٧/٦٠ الاحتمال يساوي ٤٧/٦٠ = ٧٨٪ تقريبًا.

تحقق من فهمك

٤) مكعب أرقام: عند رمي مكعب أرقام، ما احتمال ظهور عدد فردي أو أولي؟

تأكد

المثالان ١، ٢: بين إن كانت الحوادث في الأسئلة الآتية مستقلة أم غير مستقلة، ثم أوجد احتمال كل منها :

١) ألعاب الأطفال: يحتوي صندوق ألعاب على ١٢ دمية و ٨ سيارات صغيرة و ٣ كرات. إذا اختارت أمينة اثنتين عشوائيًا من هذه الألعاب لأخيها الأصغر، فما احتمال أن تكون قد اختارت سيارتين صغيرتين؟

٢) فواكه: تحتوي سلة على ٦ تفاحات و ٥ موزات و ٤ برتقالات و ٥ كمثرى. إذا اختار ماجد حبة واحدة من الفاكهة عشوائيًا وأكلها ثم اختار حبة ثانية. فما احتمال أن يكون قد اختار موزة ثم تفاحة؟

في الكسرين الأول والثاني السابقين حُسب احتمال سحب العدد ٦ مرتين؛ إحداهما في حادثة ظهور عدد زوجي، والثانية في حادثة ظهور مضاعف للعدد ٣؛ لذا يتطلب إيجاد الاحتمال المطلوب أن نطرح ح (عدد زوجي ومضاعف للعدد ٣) من مجموع الاحتمالين الأولين. إذن ح (عدد زوجي أو مضاعف للعدد ٣) = ح (عدد زوجي) + ح (مضاعف للعدد ٣) - ح (عدد زوجي ومضاعف للعدد ٣) = ٤/٩ + ٣/٩ - ١/٩ = ٦/٩ = ٢/٣. --- SECTION: مفهوم أساسي --- مفهوم أساسي: الحوادث غير المتنافية التعبير اللفظي: إذا كانت الحادثتان أ و ب غير متنافيتين، فإن احتمال وقوع أ أو وقوع ب يساوي مجموع احتماليهما ناقص احتمال وقوع الحادثتين معًا. الرموز: ح (أ أو ب) = ح (أ) + ح (ب) - ح (أ و ب) --- SECTION: قراءة الرياضيات --- أ أو ب: يختلف استعمال أ أو ب عن الاستعمال اللغوي، فالعبارة أ أو ب تسمح بإمكانية وقوع الحادثتين أ و ب معًا أيضًا. --- SECTION: تنبيه ! --- تقاطع الحوادث: عند إيجاد احتمالات الحوادث غير المتنافية، نحسب تقاطع الحادثتين مرتين؛ لأنه يوجد في كلتا الحادثتين. لذا يجب الانتباه إلى أنه في الحقيقة يقع في تقاطعهما مرة واحدة. --- SECTION: مثال ٤ من واقع الحياة --- مثال ٤ من واقع الحياة: الحوادث غير المتنافية الطلاب الرياضيون: يوجد من بين ٢٤٠ طالبًا في مدرسة ما ١٧٦ طالبًا متفوقًا علميًا و ٤٨ طالبًا متفوقًا رياضيًا. وهناك ٣٦ طالبًا متفوقًا علميًا ورياضيًا. اختير طالب عشوائيًا فما احتمال أن يكون متفوقًا علميًا أو رياضيًا ؟ بما أن بعض الطلاب متفوقون علميًا ورياضيًا فالحادثتان غير متنافيتين. ح (متفوق رياضيًا) = ٤٨/٢٤٠ ، ح (متفوق علميًا) = ١٧٦/٢٤٠ ، ح (متفوق رياضيًا وعلميًا) = ٣٦/٢٤٠ ح (متفوق رياضيًا أو علميًا) = ح (متفوق رياضيًا) + ح (متفوق علميًا) - ح (متفوق رياضيًا وعلميًا) = ٤٨/٢٤٠ + ١٧٦/٢٤٠ - ٣٦/٢٤٠ = ١٨٨/٢٤٠ = ٤٧/٦٠ الاحتمال يساوي ٤٧/٦٠ = ٧٨٪ تقريبًا. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 4 --- ٤) مكعب أرقام: عند رمي مكعب أرقام، ما احتمال ظهور عدد فردي أو أولي؟ --- SECTION: تأكد --- تأكد المثالان ١، ٢: بين إن كانت الحوادث في الأسئلة الآتية مستقلة أم غير مستقلة، ثم أوجد احتمال كل منها : --- SECTION: 1 --- ١) ألعاب الأطفال: يحتوي صندوق ألعاب على ١٢ دمية و ٨ سيارات صغيرة و ٣ كرات. إذا اختارت أمينة اثنتين عشوائيًا من هذه الألعاب لأخيها الأصغر، فما احتمال أن تكون قد اختارت سيارتين صغيرتين؟ --- SECTION: 2 --- ٢) فواكه: تحتوي سلة على ٦ تفاحات و ٥ موزات و ٤ برتقالات و ٥ كمثرى. إذا اختار ماجد حبة واحدة من الفاكهة عشوائيًا وأكلها ثم اختار حبة ثانية. فما احتمال أن يكون قد اختار موزة ثم تفاحة؟ --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: رسم توضيحي (شكل فن) يمثل الحوادث غير المتنافية. يتكون من دائرتين متداخلتين؛ الدائرة اليسرى زرقاء اللون وتحمل الرمز 'ب'، والدائرة اليمنى برتقالية اللون وتحمل الرمز 'أ'. منطقة التداخل بين الدائرتين مظللة باللون الأخضر. يوجد أسفل الرسم تسمية توضيحية 'ح (أ أو ب)' مع خطوط تشير إلى الدائرتين. Context: يوضح بصرياً مفهوم الحوادث غير المتنافية حيث توجد منطقة مشتركة (تقاطع) بين الحادثتين أ و ب.