مفهوم أساسي: الحوادث المتنافية - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 الحوادث المتنافية

المفاهيم الأساسية

الحوادث المتنافية: حوادث لا يمكن وقوعها معاً في الوقت نفسه.

خريطة المفاهيم

```markmap

احتمالات الحوادث المركبة

أنواع الحوادث

حادثة بسيطة

حادثة مركبة

علاقة الحوادث

حوادث مستقلة

#### التعريف: لا تؤثر نتيجة إحداهما في الأخرى

#### قاعدة الاحتمال: ح(أ و ب) = ح(أ) × ح(ب)

حوادث غير مستقلة

#### التعريف: تؤثر نتيجة إحداهما في الأخرى

#### قاعدة الاحتمال: ح(أ و ب) = ح(أ) × ح(ب بعد أ)

حوادث متنافية

#### التعريف: لا يمكن وقوعهما معاً

#### قاعدة الاحتمال: ح(أ أو ب) = ح(أ) + ح(ب)

التمثيل البصري

مخطط فين (تقاطع مجموعتين)

#### حوادث متنافية: لا يوجد تداخل بين الدائرتين

#### حوادث غير متنافية: يوجد تداخل بين الدائرتين

```

نقاط مهمة

• إذا كانت الحادثتان أ و ب متنافيتين، فإن: ح(أ \ أو \ ب) = ح(أ) + ح(ب)
• "على الأقل" تعني الحادثة نفسها أو أي حادثة أكبر منها.
• الحوادث المتنافية لا يمكن أن تحدث معاً، لذا لا يوجد تداخل بينهما في مخطط فين.

---

حل مثال

المثال ٣: عند رمي مكعب أرقام

* أ) احتمال ظهور الرقم ٣ أو ٥:

- الحادثتان متنافيتان (لا يمكن ظهورهما معاً).

- ح(ظهور\ ٣) = \frac{1}{6}

- ح(ظهور\ ٥) = \frac{1}{6}

- ح(ظهور\ ٣\ أو\ ٥) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

* ب) احتمال ظهور ٤ على الأقل:

- "٤ على الأقل" تعني ظهور ٤ أو ٥ أو ٦.

- ح(٤\ على\ الأقل) = ح(ظهور\ ٤) + ح(ظهور\ ٥) + ح(ظهور\ ٦)

- = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} (50\%)

---

تحقق من فهمك

السؤال ١٣: سحب بطاقة من مجموعة مرقمة من ١ إلى ٩ عشوائياً.

* أ) احتمال أن تحمل البطاقة عدداً زوجياً أو مضاعفاً للعدد ٣:

- الحادثتان غير متنافيتين (يمكن أن يتحققا معاً، كما في العدد ٦).

- الأعداد الزوجية: {٢، ٤، ٦، ٨} → ح(زوجي) = \frac{4}{9}

- مضاعفات العدد ٣: {٣، ٦، ٩} → ح(مضاعف\ للعدد\ ٣) = \frac{3}{9}

- التقاطع (زوجي ومضاعف للعدد ٣): {٦}

- ح(زوجي\ أو\ مضاعف\ للعدد\ ٣) = ح(زوجي) + ح(مضاعف\ للعدد\ ٣) - ح(التقاطع)

- (يظهر في النص أن الحل تم حسابه بدون طرح التقاطع خطأً: \frac{4}{9} + \frac{3}{9} = \frac{7}{9}، ولكن القاعدة الصحيحة تتطلب طرح احتمال التقاطع).

إرشادات للدراسة «و»، «أو» ترتبط الاحتمالات التي تتضمن «و» بالحوادث المستقلة وغير المستقلة، في حين ترتبط الاحتمالات التي تتضمن «أو» بالحوادث المتنافية وغير المتنافية.

أضف إلى مطويتك

التعبير اللفظي: إذا كانت الحادثتان أ و ب متنافيتين، فإن احتمال وقوع أ أو وقوع ب يساوي مجموع احتمالي الحادثتين. الرموز: ح (أ أو ب) = ح (أ) + ح (ب)

أوجد كلاً من الاحتمالات الآتية عند رمي مكعب أرقام: أ) ح (3 أو 5) بما أنه لا يمكن أن يظهر الرقم 3 والرقم 5 في الوقت نفسه على وجه المكعب العلوي، فإن هاتين الحادثتين متنافيتان. ح (ظهور 3) = عدد الأوجه التي تحمل 3 / عدد أوجه المكعب جميعها = 1/6 ح (ظهور 5) = عدد الأوجه التي تحمل 5 / عدد أوجه المكعب جميعها = 1/6 ح (3 أو 5) = ح (ظهور 3) + ح (ظهور 5) احتمال الحوادث المتنافية = 1/6 + 1/6 عوض = 2/6 = 1/3 اجمع إذن احتمال ظهور الرقم 3 أو 5 عند رمي مكعب أرقام يساوي 1/3 = 33% تقريبًا. ب) ح (4 على الأقل) ظهور 4 على الأقل يعني ظهور 4 أو 5 أو 6؛ لذا يجب أن تجد احتمال ظهور 4 أو 5 أو 6. ح (4 على الأقل) = ح (ظهور 4) + ح (ظهور 5) + ح (ظهور 6) حوادث متنافية = 1/6 + 1/6 + 1/6 عوض = 3/6 = 1/2 اجمع ثم بسط إذن احتمال ظهور 4 على الأقل يساوي 1/2 = 50%.

إرشادات للدراسة طريقة بديلة يمكن أن تجد الاحتمال في المثال 3 أ، بقسمة عدد عناصر الحادثة على عدد النواتج الممكنة جميعها. (1 + 1) / 6 = 2/6 = 1/3

تحقق من فهمك

افترض أنك تريد أن تجد احتمال سحب بطاقة تحمل عددًا زوجيًا أو مضاعفًا للعدد 3 عشوائيًا من مجموعة مكونة من 9 بطاقات مرقمة بالأرقام من 1 إلى 9. وبما أن العدد الظاهر على البطاقة يمكن أن يكون زوجيًا ومضاعفًا للعدد 3 في الوقت ذاته، فإن هاتين الحادثتين غير متنافيتين. ح (عدد زوجي) = 4/9 ح (مضاعف للعدد 3) = 3/9 ح (زوجي ومضاعف للعدد 3) = 1/9

وزارة التعليم Ministry of Education 2024 - 1446 الدرس ٥-١٠: احتمالات الحوادث المركبة ٢١٥

إرشادات للدراسة «و»، «أو» ترتبط الاحتمالات التي تتضمن «و» بالحوادث المستقلة وغير المستقلة، في حين ترتبط الاحتمالات التي تتضمن «أو» بالحوادث المتنافية وغير المتنافية. أضف إلى مطويتك --- SECTION: مفهوم أساسي: الحوادث المتنافية --- التعبير اللفظي: إذا كانت الحادثتان أ و ب متنافيتين، فإن احتمال وقوع أ أو وقوع ب يساوي مجموع احتمالي الحادثتين. الرموز: ح (أ أو ب) = ح (أ) + ح (ب) --- SECTION: مثال ٣ من واقع الحياة: الحوادث المتنافية --- أوجد كلاً من الاحتمالات الآتية عند رمي مكعب أرقام: أ) ح (3 أو 5) بما أنه لا يمكن أن يظهر الرقم 3 والرقم 5 في الوقت نفسه على وجه المكعب العلوي، فإن هاتين الحادثتين متنافيتان. ح (ظهور 3) = عدد الأوجه التي تحمل 3 / عدد أوجه المكعب جميعها = 1/6 ح (ظهور 5) = عدد الأوجه التي تحمل 5 / عدد أوجه المكعب جميعها = 1/6 ح (3 أو 5) = ح (ظهور 3) + ح (ظهور 5) احتمال الحوادث المتنافية = 1/6 + 1/6 عوض = 2/6 = 1/3 اجمع إذن احتمال ظهور الرقم 3 أو 5 عند رمي مكعب أرقام يساوي 1/3 = 33% تقريبًا. ب) ح (4 على الأقل) ظهور 4 على الأقل يعني ظهور 4 أو 5 أو 6؛ لذا يجب أن تجد احتمال ظهور 4 أو 5 أو 6. ح (4 على الأقل) = ح (ظهور 4) + ح (ظهور 5) + ح (ظهور 6) حوادث متنافية = 1/6 + 1/6 + 1/6 عوض = 3/6 = 1/2 اجمع ثم بسط إذن احتمال ظهور 4 على الأقل يساوي 1/2 = 50%. إرشادات للدراسة طريقة بديلة يمكن أن تجد الاحتمال في المثال 3 أ، بقسمة عدد عناصر الحادثة على عدد النواتج الممكنة جميعها. (1 + 1) / 6 = 2/6 = 1/3 --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك ٣أ. ح (أقل من ٣) ٣ب. ح (عدد زوجي) افترض أنك تريد أن تجد احتمال سحب بطاقة تحمل عددًا زوجيًا أو مضاعفًا للعدد 3 عشوائيًا من مجموعة مكونة من 9 بطاقات مرقمة بالأرقام من 1 إلى 9. وبما أن العدد الظاهر على البطاقة يمكن أن يكون زوجيًا ومضاعفًا للعدد 3 في الوقت ذاته، فإن هاتين الحادثتين غير متنافيتين. ح (عدد زوجي) = 4/9 ح (مضاعف للعدد 3) = 3/9 ح (زوجي ومضاعف للعدد 3) = 1/9 وزارة التعليم Ministry of Education 2024 - 1446 الدرس ٥-١٠: احتمالات الحوادث المركبة ٢١٥ --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: مخطط فين يوضح الحوادث المتنافية. يتكون من مستطيل أزرق يمثل فضاء العينة، وبداخله دائرتان منفصلتان تماماً (لا يوجد تقاطع). الدائرة اليمنى باللون الأصفر وتحمل الحرف 'أ'، والدائرة اليسرى باللون الأزرق الفاتح وتحمل الحرف 'ب'. يشير سهم إلى اتحاد الدائرتين مع عبارة 'ح (أ أو ب)'. Context: يوضح المفهوم الأساسي للحوادث المتنافية حيث لا توجد نواتج مشتركة بين الحادثتين. **DIAGRAM**: Untitled Description: مخطط فين يوضح الحوادث غير المتنافية باستخدام مجموعة الأرقام من 1 إلى 9. يتكون من مستطيل أزرق يحتوي على دائرتين متقاطعتين. الدائرة اليمنى بعنوان 'عدد زوجي' وتحتوي على الأرقام {2, 4, 8}. الدائرة اليسرى بعنوان 'مضاعف العدد 3' وتحتوي على الأرقام {3, 9}. منطقة التقاطع بين الدائرتين تحتوي على الرقم {6}. الأرقام {1, 5, 7} تقع خارج الدائرتين ولكن داخل المستطيل. Context: يوضح حالة الحوادث غير المتنافية حيث يوجد ناتج مشترك (الرقم 6) ينتمي لكلا الحادثتين (زوجي ومضاعف لـ 3).