مثال ٢ - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال مثال 2 - تحقق من فهمك (أ): ما درجة كثيرة الحدود ٧س

الإجابة: ١

خطوات الحل:

1. | العنصر | القيمة | |---|---| | كثيرة الحدود | $7س$ | | المطلوب | درجة كثيرة الحدود |
2. **القانون المستخدم:** درجة كثيرة الحدود هي أكبر قوة للمتغير.
3. بما أن المتغير $س$ مرفوع للقوة $1$ (أي $س^1$)، فإن درجة كثيرة الحدود هي $1$.
4. إذن، درجة كثيرة الحدود $7س$ هي **1**.

سؤال مثال 2 - تحقق من فهمك (ب): ٢م ٣ن - ٧م ٤ن - ١٣

الإجابة: ٥

خطوات الحل:

1. | العنصر | القيمة | |---|---| | كثيرة الحدود | $7س$ | | المطلوب | درجة كثيرة الحدود |
2. **القانون المستخدم:** درجة كثيرة الحدود هي أكبر قوة للمتغير.
3. بما أن المتغير $س$ مرفوع للقوة $1$ (أي $س^1$)، فإن درجة كثيرة الحدود هي $1$.
4. إذن، درجة كثيرة الحدود $7س$ هي **1**.

سؤال مثال 3 - تحقق من فهمك (أ): ١٣ - ٤س ٤ + ٦س ٣

الإجابة: ٤س ٤ + ٦س ٣ + ١٣، ٤

خطوات الحل:

1. | العنصر | القيمة | |---|---| | كثيرة الحدود | $13 - 4س^4 + 6س^3$ | | المطلوب | كتابة كثيرة الحدود بالصورة القياسية وتحديد المعامل الرئيس |
2. **القانون المستخدم:** الصورة القياسية لكثيرة الحدود هي ترتيب الحدود تنازليًا حسب درجة المتغير. المعامل الرئيس هو معامل الحد ذو أكبر درجة.
3. 1. **ترتيب الحدود تنازليًا حسب الدرجة:** * الحد ذو أكبر درجة هو $-4س^4$ * يليه $6س^3$ * ثم الحد الثابت $13$
4. 2. **كتابة كثيرة الحدود بالصورة القياسية:** $-4س^4 + 6س^3 + 13$
5. 3. **تحديد المعامل الرئيس:** المعامل الرئيس هو معامل الحد $-4س^4$، وهو $-4$.
6. إذن، الصورة القياسية لكثيرة الحدود هي $-4س^4 + 6س^3 + 13$ والمعامل الرئيس هو **-4**.

سؤال مثال 3 - تحقق من فهمك (ب): ٧س - ٥س ٢ + ٤س ٥ + ١٠

الإجابة: ٤س ٥ - ٥س ٢ + ٧س + ١٠، ٤

خطوات الحل:

1. | العنصر | القيمة | |---|---| | كثيرة الحدود | $13 - 4س^4 + 6س^3$ | | المطلوب | كتابة كثيرة الحدود بالصورة القياسية وتحديد المعامل الرئيس |
2. **القانون المستخدم:** الصورة القياسية لكثيرة الحدود هي ترتيب الحدود تنازليًا حسب درجة المتغير. المعامل الرئيس هو معامل الحد ذو أكبر درجة.
3. 1. **ترتيب الحدود تنازليًا حسب الدرجة:** * الحد ذو أكبر درجة هو $-4س^4$ * يليه $6س^3$ * ثم الحد الثابت $13$
4. 2. **كتابة كثيرة الحدود بالصورة القياسية:** $-4س^4 + 6س^3 + 13$
5. 3. **تحديد المعامل الرئيس:** المعامل الرئيس هو معامل الحد $-4س^4$، وهو $-4$.
6. إذن، الصورة القياسية لكثيرة الحدود هي $-4س^4 + 6س^3 + 13$ والمعامل الرئيس هو **-4**.

سؤال مثال 4 (أ): ما عدد الطلاب الذين تم تسجيلهم في الجامعة في عام ١٤٣٥ هـ؟

الإجابة: ٤٥٠

خطوات الحل:

1. | العنصر | القيمة | |---|---| | المطلوب | عدد الطلاب المسجلين في عام 1435 هـ |
2. **القانون المستخدم:** قراءة البيانات من التمثيل البياني.
3. بالنظر إلى التمثيل البياني (المفترض وجوده)، نجد أن عدد الطلاب المسجلين في عام 1435 هـ هو 450.
4. إذن، عدد الطلاب الذين تم تسجيلهم في الجامعة في عام 1435 هـ هو **450 طالبًا**.

سؤال مثال 4 (ب): ما عدد الطلاب الذين تم تسجيلهم في الجامعة في عام ١٤٣٧ هـ؟

الإجابة: ٥٣٠

خطوات الحل:

1. | العنصر | القيمة | |---|---| | المطلوب | عدد الطلاب المسجلين في عام 1435 هـ |
2. **القانون المستخدم:** قراءة البيانات من التمثيل البياني.
3. بالنظر إلى التمثيل البياني (المفترض وجوده)، نجد أن عدد الطلاب المسجلين في عام 1435 هـ هو 450.
4. إذن، عدد الطلاب الذين تم تسجيلهم في الجامعة في عام 1435 هـ هو **450 طالبًا**.

سؤال 1: حدد إذا كانت كل عبارة فيما يأتي كثيرة حدود أم لا، وإذا كانت كذلك، فصنفها إلى وحيدة حد أو ثنائية حد أو ثلاثية حدود: (1) ٢ص - ٥ + ٣ص ٢ (2) ٧س ٣ن + ٦ (3) ٥ (4) ٤ك - ٦ك ٥ (5) ٣- (6) ٣ن - ٦ن ٢ (7) ٧/أ (8) ٥س ٦ (9) ١٢ - ٨ك + ٨ن (10) ١٢ب ٥ + ٥ب (11) ٥دن + ٣ن ٢ + ٧ (12) ٤س ٢ + ٤س - ٦

الإجابة: (1) كثيرة حدود، ثلاثية حد (2) كثيرة حدود، ثنائية حد (3) كثيرة حدود، وحيدة حد (4) كثيرة حدود، ثنائية حد (5) كثيرة حدود، وحيدة حد (6) كثيرة حدود، ثنائية حد (7) ليست كثيرة حدود (8) كثيرة حدود، وحيدة حد (9) كثيرة حدود، ثلاثية حد (10) كثيرة حدود، ثنائية حد (11) كثيرة حدود، ثلاثية حد (12) كثيرة حدود، ثلاثية حد

خطوات الحل:

1. | العبارة | كثيرة حدود؟ | التصنيف | |---|---|---|
2. **القانون المستخدم:** * **كثيرة الحدود:** عبارة جبرية تتكون من حد واحد أو أكثر، تفصل بينها علامات الجمع أو الطرح، وتكون أسس المتغيرات فيها أعدادًا صحيحة غير سالبة. * **وحيدة حد:** كثيرة حدود تتكون من حد واحد. * **ثنائية حد:** كثيرة حدود تتكون من حدين. * **ثلاثية حد:** كثيرة حدود تتكون من ثلاثة حدود.
3. **تحليل كل عبارة:** 1. $2ص - 5 + 3ص^2$: كثيرة حدود، ثلاثية حد. 2. $7س^3ن + 6$: كثيرة حدود، ثنائية حد. 3. $5$: كثيرة حدود، وحيدة حد. 4. $4ك - 6ك^5$: كثيرة حدود، ثنائية حد. 5. $3-$: كثيرة حدود، وحيدة حد. 6. $3ن - 6ن^2$: كثيرة حدود، ثنائية حد. 7. $7/أ$: ليست كثيرة حدود (لأن المتغير في المقام). 8. $5س^6$: كثيرة حدود، وحيدة حد. 9. $12 - 8ك + 8ن$: كثيرة حدود، ثلاثية حد. 10. $12ب^5 + 5ب$: كثيرة حدود، ثنائية حد. 11. $5دن + 3ن^2 + 7$: كثيرة حدود، ثلاثية حد. 12. $4س^2 + 4س - 6$: كثيرة حدود، ثلاثية حد.
4. **الخلاصة:** 1. كثيرة حدود، ثلاثية حد 2. كثيرة حدود، ثنائية حد 3. كثيرة حدود، وحيدة حد 4. كثيرة حدود، ثنائية حد 5. كثيرة حدود، وحيدة حد 6. كثيرة حدود، ثنائية حد 7. ليست كثيرة حدود 8. كثيرة حدود، وحيدة حد 9. كثيرة حدود، ثلاثية حد 10. كثيرة حدود، ثنائية حد 11. كثيرة حدود، ثلاثية حد 12. كثيرة حدود، ثلاثية حد

سؤال 2: أوجد درجة كل كثيرة حدود فيما يأتي: (13) ١٢ - ٤س ٣ + ٧س - ٥س ٢ (14) ٤ع - ٤ع ٤ + ٤ع ٥ - ٦٥ (15) ١٠٠ (16) ١٨ - ٤س ٥ + ٧س ٦

الإجابة: (13) ٣ (14) ٥ (15) ٠ (16) ٦

خطوات الحل:

1. | العنصر | القيمة | |---|---| | كثيرة الحدود | $7س$ | | المطلوب | درجة كثيرة الحدود |
2. **القانون المستخدم:** درجة كثيرة الحدود هي أكبر قوة للمتغير.
3. بما أن المتغير $س$ مرفوع للقوة $1$ (أي $س^1$)، فإن درجة كثيرة الحدود هي $1$.
4. إذن، درجة كثيرة الحدود $7س$ هي **1**.

سؤال 3: اكتب كثيرة الحدود بالصورة القياسية، وحدد المعامل الرئيس فيها: (17) ٤س ٥ + ٤س - ٦ (18) ٢أ - ٧ (19) ٥د + ٣د ٤ (20) ٢١ (21) ٣٥ن + ٢ن ٣

الإجابة: (17) ٤س ٥ + ٤س - ٦، ٤ (18) ٢أ - ٧، ٢ (19) ٣د ٤ + ٥د، ٣ (20) ٢١، ٢١ (21) ٢ن ٣ + ٣٥ن، ٢

خطوات الحل:

1. | العنصر | القيمة | |---|---| | كثيرة الحدود | $13 - 4س^4 + 6س^3$ | | المطلوب | كتابة كثيرة الحدود بالصورة القياسية وتحديد المعامل الرئيس |
2. **القانون المستخدم:** الصورة القياسية لكثيرة الحدود هي ترتيب الحدود تنازليًا حسب درجة المتغير. المعامل الرئيس هو معامل الحد ذو أكبر درجة.
3. 1. **ترتيب الحدود تنازليًا حسب الدرجة:** * الحد ذو أكبر درجة هو $-4س^4$ * يليه $6س^3$ * ثم الحد الثابت $13$
4. 2. **كتابة كثيرة الحدود بالصورة القياسية:** $-4س^4 + 6س^3 + 13$
5. 3. **تحديد المعامل الرئيس:** المعامل الرئيس هو معامل الحد $-4س^4$، وهو $-4$.
6. إذن، الصورة القياسية لكثيرة الحدود هي $-4س^4 + 6س^3 + 13$ والمعامل الرئيس هو **-4**.

سؤال 4: جامعات: افترض أنه يمكن تمثيل عدد الطلاب المسجلين في جامعة ما من عام ١٤٣٥ هـ إلى ١٤٣٩ هـ بالمعادلة ن = ٠,٠١س ٢ + ٠,٥س + ١٠، حيث س عدد السنوات منذ عام ١٤٣٠ هـ. (أ) ما عدد الطلاب الذين تم تسجيلهم في الجامعة في عام ١٤٣٥ هـ؟ (ب) ما عدد الطلاب الذين تم تسجيلهم في الجامعة في عام ١٤٣٧ هـ؟

الإجابة: (أ) ١٤٣٥ - ١٤٣٠ = ٥، ن = ٠,٠١(٥)٢ + ٠,٥(٥) + ١٠ = ٠,٢٥ + ٢,٥ + ١٠ = ١٢,٧٥ ≈ ١٣ طالبًا (ب) ١٤٣٧ - ١٤٣٠ = ٧، ن = ٠,٠١(٧)٢ + ٠,٥(٧) + ١٠ = ٠,٤٩ + ٣,٥ + ١٠ = ١٣,٩٩ ≈ ١٤ طالبًا

خطوات الحل:

1. | العنصر | القيمة | |---|---| | المطلوب | عدد الطلاب المسجلين في عام 1435 هـ |
2. **القانون المستخدم:** قراءة البيانات من التمثيل البياني.
3. بالنظر إلى التمثيل البياني (المفترض وجوده)، نجد أن عدد الطلاب المسجلين في عام 1435 هـ هو 450.
4. إذن، عدد الطلاب الذين تم تسجيلهم في الجامعة في عام 1435 هـ هو **450 طالبًا**.

ما تعريف درجة كثيرة الحدود؟

• أ) هي أكبر درجة لأي حد من حدودها.
• ب) هي مجموع درجات جميع حدودها.
• ج) هي درجة الحد الثابت فقط.
• د) هي عدد الحدود في كثيرة الحدود.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: هي أكبر درجة لأي حد من حدودها.

الشرح: درجة كثيرة الحدود هي أعلى درجة (أكبر أس للمتغير أو مجموع أسس المتغيرات في الحد) موجودة في أي من حدودها بعد تبسيطها.

تلميح: تذكر أن درجة الحد هي مجموع أسس المتغيرات فيه.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما المقصود بالصورة القياسية لكثيرة الحدود ذات المتغير الواحد، وما هو المعامل الرئيس فيها؟

• أ) ترتيب الحدود تصاعديًا بحسب درجتها، والمعامل الرئيس هو معامل الحد الثابت.
• ب) ترتيب الحدود تنازليًا بحسب درجتها، والمعامل الرئيس هو معامل أول حد فيها بعد الترتيب.
• ج) ترتيب الحدود حسب الحروف الأبجدية للمتغيرات، والمعامل الرئيس هو مجموع المعاملات.
• د) ترتيب الحدود عشوائيًا، والمعامل الرئيس هو أكبر معامل عددي.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ترتيب الحدود تنازليًا بحسب درجتها، والمعامل الرئيس هو معامل أول حد فيها بعد الترتيب.

الشرح: الصورة القياسية هي كتابة كثيرة الحدود بترتيب الحدود تنازليًا حسب درجة المتغير. المعامل الرئيس هو المعامل العددي للحد ذي أكبر درجة في هذه الصورة.

تلميح: فكر في كيفية ترتيب قوة المتغيرات وما يمثله المعامل الأول.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

أوجد درجة كثيرة الحدود: ٧ س ص^٥ ع

• أ) ٥
• ب) ٦
• ج) ٧
• د) ٣

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ٧

الشرح: ١. حدد أسس المتغيرات: س^1، ص^5، ع^1. ٢. اجمع الأسس: 1 + 5 + 1 = 7. ٣. درجة كثيرة الحدود هي 7.

تلميح: تذكر أن درجة الحد هي مجموع أسس جميع المتغيرات في ذلك الحد.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد درجة كثيرة الحدود: ٢ م ن - ٣ م ن^٢ - ٧ م ن^٢ - ١٣

• أ) ٢
• ب) ٣
• ج) ١
• د) ٠

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ٣

الشرح: ١. بسّط الحدود المتشابهة: -٣ م ن^٢ - ٧ م ن^٢ = -١٠ م ن^٢. تصبح كثيرة الحدود: ٢ م ن - ١٠ م ن^٢ - ١٣. ٢. أوجد درجة كل حد: * درجة ٢ م ن هي 1+1 = 2. * درجة -١٠ م ن^٢ هي 1+2 = 3. * درجة -١٣ هي 0. ٣. أكبر درجة هي 3.

تلميح: بسّط الحدود المتشابهة أولاً، ثم أوجد درجة كل حد واختار الأكبر.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

اكتب كثيرة الحدود ٨ - ٢ س^٢ + ٤ س^٤ - ٣ س بالصورة القياسية وحدد المعامل الرئيس فيها.

• أ) ٤ س^٤ - ٢ س^٢ - ٣ س + ٨، المعامل الرئيس: ٤
• ب) ٨ - ٣ س - ٢ س^٢ + ٤ س^٤، المعامل الرئيس: ٨
• ج) -٢ س^٢ - ٣ س + ٤ س^٤ + ٨، المعامل الرئيس: -٢
• د) ٤ س^٤ + ٣ س + ٢ س^٢ + ٨، المعامل الرئيس: ٤

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: ٤ س^٤ - ٢ س^٢ - ٣ س + ٨، المعامل الرئيس: ٤

الشرح: ١. أوجد درجة كل حد: ٨ (درجة ٠)، -٢ س^٢ (درجة ٢)، ٤ س^٤ (درجة ٤)، -٣ س (درجة ١). ٢. رتب الحدود تنازليًا حسب درجتها: ٤ س^٤ - ٢ س^٢ - ٣ س + ٨. ٣. المعامل الرئيس هو معامل أول حد بعد الترتيب، وهو ٤.

تلميح: رتّب الحدود تنازليًا حسب أسس المتغير س، ثم حدد المعامل للحد الأول.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط