مثال 1 - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 12: ب(ب^2 - 12ب + 1)

الإجابة: ب^3 - 12ب^2 + ب

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: توزيع الحد ب على المقدار (ب^2 - 12ب + 1)**
2. نقوم بضرب الحد ب في كل حد من حدود المقدار:
3. $b(b^2 - 12b + 1) = b \times b^2 - b \times 12b + b \times 1$
4. **الخطوة 2: تبسيط المقدار**
5. نقوم بتبسيط كل حد:
6. $b^3 - 12b^2 + b$
7. **الإجابة:** $b^3 - 12b^2 + b$

سؤال 13: 2ج^2(5ج^3 - 15ج^2 + 2ج + 2)

الإجابة: 10ج^5 - 30ج^4 + 4ج^3 + 4ج^2

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: توزيع الحد 2ج^2 على المقدار (5ج^3 - 15ج^2 + 2ج + 2)**
2. نقوم بضرب الحد $2ج^2$ في كل حد من حدود المقدار:
3. $2ج^2(5ج^3 - 15ج^2 + 2ج + 2) = 2ج^2 \times 5ج^3 - 2ج^2 \times 15ج^2 + 2ج^2 \times 2ج + 2ج^2 \times 2$
4. **الخطوة 2: تبسيط المقدار**
5. نقوم بتبسيط كل حد:
6. $10ج^5 - 30ج^4 + 4ج^3 + 4ج^2$
7. **الإجابة:** $10ج^5 - 30ج^4 + 4ج^3 + 4ج^2$

سؤال 14: 2ب ر^2(2ب ر + 5ب^2 ر - 15ب)

الإجابة: 4ب^2 ر^3 + 10ب^3 ر^3 - 30ب^2 ر^2

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: توزيع الحد 2ب ر^2 على المقدار (2ب ر + 5ب^2 ر - 15ب)**
2. نقوم بضرب الحد $2ب ر^2$ في كل حد من حدود المقدار:
3. $2ب ر^2(2ب ر + 5ب^2 ر - 15ب) = 2ب ر^2 \times 2ب ر + 2ب ر^2 \times 5ب^2 ر - 2ب ر^2 \times 15ب$
4. **الخطوة 2: تبسيط المقدار**
5. نقوم بتبسيط كل حد:
6. $4ب^2 ر^3 + 10ب^3 ر^3 - 30ب^2 ر^2$
7. **الإجابة:** $4ب^2 ر^3 + 10ب^3 ر^3 - 30ب^2 ر^2$

سؤال 15: 4ن ل^2(2ن^2 ل^2 - 10ن ل^4 + 2)

الإجابة: 8ن^3 ل^4 - 40ن^2 ل^6 + 8ن ل^2

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: توزيع الحد 4ن ل^2 على المقدار (2ن^2 ل^2 - 10ن ل^4 + 2)**
2. نقوم بضرب الحد $4ن ل^2$ في كل حد من حدود المقدار:
3. $4ن ل^2(2ن^2 ل^2 - 10ن ل^4 + 2) = 4ن ل^2 \times 2ن^2 ل^2 - 4ن ل^2 \times 10ن ل^4 + 4ن ل^2 \times 2$
4. **الخطوة 2: تبسيط المقدار**
5. نقوم بتبسيط كل حد:
6. $8ن^3 ل^4 - 40ن^2 ل^6 + 8ن ل^2$
7. **الإجابة:** $8ن^3 ل^4 - 40ن^2 ل^6 + 8ن ل^2$

سؤال 16: -3(5س^2 + 2س + 9) + س(2س - 3)

الإجابة: -13س^2 - 9س - 27

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: توزيع الأقواس**
2. نقوم بتوزيع -3 على المقدار (5س^2 + 2س + 9) و س على المقدار (2س - 3):
3. $-3(5س^2 + 2س + 9) + س(2س - 3) = -15س^2 - 6س - 27 + 2س^2 - 3س$
4. **الخطوة 2: تجميع الحدود المتشابهة**
5. نقوم بتجميع حدود س^2، وحدود س، والحدود الثابتة:
6. $-15س^2 + 2س^2 - 6س - 3س - 27$
7. **الخطوة 3: تبسيط المقدار**
8. نقوم بتبسيط المقدار:
9. $-13س^2 - 9س - 27$
10. **الإجابة:** $-13س^2 - 9س - 27$

سؤال 17: أ(أ - 8) + 2أ(أ + 12) + 4(أ + 3) + 2(أ - 4)

الإجابة: 3أ^2 + 20أ + 4

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: توزيع الأقواس**
2. نقوم بتوزيع أ على (أ - 8)، و 2أ على (أ + 12)، و 4 على (أ + 3)، و 2 على (أ - 4):
3. $أ(أ - 8) + 2أ(أ + 12) + 4(أ + 3) + 2(أ - 4) = أ^2 - 8أ + 2أ^2 + 24أ + 4أ + 12 + 2أ - 8$
4. **الخطوة 2: تجميع الحدود المتشابهة**
5. نقوم بتجميع حدود أ^2، وحدود أ، والحدود الثابتة:
6. $أ^2 + 2أ^2 - 8أ + 24أ + 4أ + 2أ + 12 - 8$
7. **الخطوة 3: تبسيط المقدار**
8. نقوم بتبسيط المقدار:
9. $3أ^2 + 22أ + 4$
10. **الإجابة:** $3أ^2 + 22أ + 4$

سؤال 18: -4د(5د^2 - 12) + 7(د + 5)

الإجابة: -20د^3 + 55د + 35

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: توزيع الأقواس**
2. نقوم بتوزيع -4د على (5د^2 - 12) و 7:
3. $-4د(5د^2 - 12) + 7(د + 5) = -20د^3 + 48د + 7د + 35$
4. **الخطوة 2: تجميع الحدود المتشابهة**
5. نقوم بتجميع حدود د:
6. $-20د^3 + 48د + 7د + 35$
7. **الخطوة 3: تبسيط المقدار**
8. نقوم بتبسيط المقدار:
9. $-20د^3 + 55د + 35$
10. **الإجابة:** $-20د^3 + 55د + 35$

سؤال 19: -9ج(-2ج + ج^2) + 3(ج^2 + 4)

الإجابة: -9ج^3 + 21ج^2 + 12

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: توزيع الأقواس**
2. نقوم بتوزيع -9ج على (-2ج + ج^2) و 3:
3. $-9ج(-2ج + ج^2) + 3(ج^2 + 4) = 18ج^2 - 9ج^3 + 3ج^2 + 12$
4. **الخطوة 2: تجميع الحدود المتشابهة**
5. نقوم بتجميع حدود ج^2:
6. $-9ج^3 + 18ج^2 + 3ج^2 + 12$
7. **الخطوة 3: تبسيط المقدار**
8. نقوم بتبسيط المقدار:
9. $-9ج^3 + 21ج^2 + 12$
10. **الإجابة:** $-9ج^3 + 21ج^2 + 12$

سؤال 20: 4ن(2ن^2 ب^2 - 3ن ب^2 + 5ن) + 4ب(6ن^2 ب - 2ن ب^2 + 3ب)

الإجابة: 8ن^3 ب^2 - 12ن^2 ب^2 + 20ن^2 + 24ن^2 ب^2 - 8ن ب^3 + 12ب^2

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: توزيع الأقواس**
2. نقوم بتوزيع 4ن على (2ن^2 ب^2 - 3ن ب^2 + 5ن) و 4ب على (6ن^2 ب - 2ن ب^2 + 3ب):
3. $4ن(2ن^2 ب^2 - 3ن ب^2 + 5ن) + 4ب(6ن^2 ب - 2ن ب^2 + 3ب) = 8ن^3 ب^2 - 12ن^2 ب^2 + 20ن^2 + 24ن^2 ب^2 - 8ن ب^3 + 12ب^2$
4. **الخطوة 2: تبسيط المقدار (لا يوجد حدود متشابهة)**
5. المقدار مبسط بالفعل.
6. **الإجابة:** $8ن^3 ب^2 - 12ن^2 ب^2 + 20ن^2 + 24ن^2 ب^2 - 8ن ب^3 + 12ب^2$

سؤال 21: سدود: واجهة سد على شكل شبه منحرف. طول قاعدتها السفلية مثلا ارتفاعها. وقاعدتها العليا أقل من 1/2 ارتفاعها بـ 10 أمتار. أ) اكتب عبارة لإيجاد مساحة هذه الواجهة. ب) إذا كان ارتفاع السد 60 متراً، فأوجد هذه المساحة.

الإجابة: أ) $\frac{1}{2}h(h + \frac{1}{2}h - 10) = \frac{1}{2}h(\frac{3}{2}h - 10) = \frac{3}{4}h^2 - 5h$ ب) $6000 m^2$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحديد المعطيات والمطلوب**
2. | المعطى | الرمز | القيمة | الوحدة | |---|---|---|---| | ارتفاع السد | h | غير محدد | م | | طول القاعدة السفلية | | h | م | | طول القاعدة العليا | | h/2 - 10 | م | | المطلوب | | | | | مساحة الواجهة | A | | م^2 |
3. **الخطوة 2: القانون المستخدم**
4. مساحة شبه المنحرف = $\frac{1}{2} \times \text{الارتفاع} \times (\text{القاعدة الأولى} + \text{القاعدة الثانية})$
5. **الخطوة 3: كتابة العبارة الجبرية**
6. نعوض في قانون مساحة شبه المنحرف:
7. $A = \frac{1}{2}h(h + (\frac{1}{2}h - 10))$
8. بتبسيط العبارة:
9. $A = \frac{1}{2}h(\frac{3}{2}h - 10)$
10. $A = \frac{3}{4}h^2 - 5h$
11. **الخطوة 4: حساب المساحة عندما h = 60**
12. نعوض h = 60 في العبارة:
13. $A = \frac{3}{4}(60)^2 - 5(60)$
14. $A = \frac{3}{4}(3600) - 300$
15. $A = 2700 - 300$
16. $A = 2400$
17. **الإجابة أ: العبارة الجبرية:** $\frac{3}{4}h^2 - 5h$
18. **الإجابة ب: المساحة عندما h = 60:** 2400 م^2

سؤال 22: 7(ن^2 + 5ن - 9) + ن = ن(7ن - 2) + 13

الإجابة: ن = 22

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: توزيع الأقواس**
2. نقوم بتوزيع 7 على (ن^2 + 5ن - 9) و ن على (7ن - 2):
3. $7(ن^2 + 5ن - 9) + ن = ن(7ن - 2) + 13$
4. $7ن^2 + 35ن - 63 + ن = 7ن^2 - 2ن + 13$
5. **الخطوة 2: تبسيط المعادلة**
6. نقوم بتبسيط المعادلة:
7. $7ن^2 + 36ن - 63 = 7ن^2 - 2ن + 13$
8. **الخطوة 3: تجميع الحدود المتشابهة**
9. نقوم بنقل الحدود إلى طرف واحد:
10. $7ن^2 - 7ن^2 + 36ن + 2ن = 13 + 63$
11. $38ن = 76$
12. **الخطوة 4: حل المعادلة لإيجاد ن**
13. نقوم بقسمة الطرفين على 38:
14. $ن = \frac{76}{38}$
15. $ن = 2$
16. **الإجابة:** ن = 2

سؤال 23: 5ع(4ع + 6) - 2ع(ع - 4) = 4ع(ع + 4) - ع(7ع - 2) - 48

الإجابة: ع = $\frac{6}{43}$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: توزيع الأقواس**
2. نقوم بتوزيع 5ع على (4ع + 6)، و -2ع على (ع - 4)، و 4ع على (ع + 4)، و -ع على (7ع - 2):
3. $5ع(4ع + 6) - 2ع(ع - 4) = 4ع(ع + 4) - ع(7ع - 2) - 48$
4. $20ع^2 + 30ع - 2ع^2 + 8ع = 4ع^2 + 16ع - 7ع^2 + 2ع - 48$
5. **الخطوة 2: تبسيط المعادلة**
6. نقوم بتبسيط المعادلة:
7. $18ع^2 + 38ع = -3ع^2 + 18ع - 48$
8. **الخطوة 3: تجميع الحدود المتشابهة**
9. نقوم بنقل الحدود إلى طرف واحد:
10. $18ع^2 + 3ع^2 + 38ع - 18ع + 48 = 0$
11. $21ع^2 + 20ع + 48 = 0$
12. **الخطوة 4: حل المعادلة لإيجاد ع**
13. بما أن المعادلة من الدرجة الثانية، يمكننا استخدام القانون العام أو التحليل. في هذه الحالة، يمكننا تبسيط المعادلة:
14. $21ع^2 + 20ع + 48 = 0$
15. هذه المعادلة لا يمكن تبسيطها بسهولة، ولكن يمكننا محاولة إيجاد حلول تقريبية. بالنظر إلى المعطيات، يبدو أن هناك خطأ في السؤال أو في الإجابة.
16. بالنظر إلى الإجابة المعطاة (ع = 6/43)، يجب أن نعيد النظر في الخطوات.
17. لنعد إلى الخطوة 2:
18. $18ع^2 + 38ع = -3ع^2 + 18ع - 48$
19. نجمع الحدود المتشابهة:
20. $21ع^2 + 20ع + 48 = 0$
21. يبدو أن هناك خطأ في السؤال أو في الإجابة. لنفترض أن الإجابة صحيحة، ونحاول إيجاد الخطأ في الخطوات.
22. بالنظر إلى الإجابة ع = 6/43، يجب أن تكون المعادلة بعد التبسيط مختلفة.
23. لنحاول إعادة ترتيب المعادلة:
24. $20ع = -21ع^2 - 48$
25. هذا لا يقودنا إلى الحل الصحيح.
26. يبدو أن هناك خطأ في السؤال أو في الإجابة المعطاة.
27. **الإجابة:** ع = 6/43 (مع ملاحظة وجود خطأ محتمل في السؤال أو الإجابة)

سؤال 24: 9ج(ج - 11) + 10(5ج - 3) = 3ج(ج + 5) + ج(6ج - 3) - 30

الإجابة: ج = 0

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: توزيع الأقواس**
2. نقوم بتوزيع 9ج على (ج - 11)، و 10 على (5ج - 3)، و 3ج على (ج + 5)، و ج على (6ج - 3):
3. $9ج(ج - 11) + 10(5ج - 3) = 3ج(ج + 5) + ج(6ج - 3) - 30$
4. $9ج^2 - 99ج + 50ج - 30 = 3ج^2 + 15ج + 6ج^2 - 3ج - 30$
5. **الخطوة 2: تبسيط المعادلة**
6. نقوم بتبسيط المعادلة:
7. $9ج^2 - 49ج - 30 = 9ج^2 + 12ج - 30$
8. **الخطوة 3: تجميع الحدود المتشابهة**
9. نقوم بنقل الحدود إلى طرف واحد:
10. $9ج^2 - 9ج^2 - 49ج - 12ج = -30 + 30$
11. $-61ج = 0$
12. **الخطوة 4: حل المعادلة لإيجاد ج**
13. نقوم بقسمة الطرفين على -61:
14. $ج = \frac{0}{-61}$
15. $ج = 0$
16. **الإجابة:** ج = 0

سؤال 25: 2ن(5ن - 2) - 10(ن^2 - 3ن + 6) = -8ن(ن + 4) + 4(2ن^2 - 7ن)

الإجابة: ن = $\frac{30}{43}$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: توزيع الأقواس**
2. نقوم بتوزيع 2ن على (5ن - 2)، و -10 على (ن^2 - 3ن + 6)، و -8ن على (ن + 4)، و 4 على (2ن^2 - 7ن):
3. $2ن(5ن - 2) - 10(ن^2 - 3ن + 6) = -8ن(ن + 4) + 4(2ن^2 - 7ن)$
4. $10ن^2 - 4ن - 10ن^2 + 30ن - 60 = -8ن^2 - 32ن + 8ن^2 - 28ن$
5. **الخطوة 2: تبسيط المعادلة**
6. نقوم بتبسيط المعادلة:
7. $26ن - 60 = -60ن$
8. **الخطوة 3: تجميع الحدود المتشابهة**
9. نقوم بنقل الحدود إلى طرف واحد:
10. $26ن + 60ن = 60$
11. $86ن = 60$
12. **الخطوة 4: حل المعادلة لإيجاد ن**
13. نقوم بقسمة الطرفين على 86:
14. $ن = \frac{60}{86}$
15. $ن = \frac{30}{43}$
16. **الإجابة:** ن = $\frac{30}{43}$

سؤال 26: $\frac{2}{3}$ ن ب^2(30ب^2 + 9ن^2 ب - 12)

الإجابة: 20ن ب^4 + 6ن^3 ب^3 - 8ن ب^2

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: توزيع الحد $\frac{2}{3}$ ن ب^2 على المقدار (30ب^2 + 9ن^2 ب - 12)**
2. نقوم بضرب الحد $\frac{2}{3}$ ن ب^2 في كل حد من حدود المقدار:
3. $\frac{2}{3} ن ب^2(30ب^2 + 9ن^2 ب - 12) = \frac{2}{3} ن ب^2 \times 30ب^2 + \frac{2}{3} ن ب^2 \times 9ن^2 ب - \frac{2}{3} ن ب^2 \times 12$
4. **الخطوة 2: تبسيط المقدار**
5. نقوم بتبسيط كل حد:
6. $20ن ب^4 + 6ن^3 ب^3 - 8ن ب^2$
7. **الإجابة:** $20ن ب^4 + 6ن^3 ب^3 - 8ن ب^2$

سؤال 27: $\frac{3}{5}$ ر^2 ل(10ر^3 + 5ر ل^3 + 15ل^2)

الإجابة: 6ر^5 ل + 3ر^3 ل^4 + 9ر^2 ل^3

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: توزيع الحد $\frac{3}{5}$ ر^2 ل على المقدار (10ر^3 + 5ر ل^3 + 15ل^2)**
2. نقوم بضرب الحد $\frac{3}{5}$ ر^2 ل في كل حد من حدود المقدار:
3. $\frac{3}{5} ر^2 ل(10ر^3 + 5ر ل^3 + 15ل^2) = \frac{3}{5} ر^2 ل \times 10ر^3 + \frac{3}{5} ر^2 ل \times 5ر ل^3 + \frac{3}{5} ر^2 ل \times 15ل^2$
4. **الخطوة 2: تبسيط المقدار**
5. نقوم بتبسيط كل حد:
6. $6ر^5 ل + 3ر^3 ل^4 + 9ر^2 ل^3$
7. **الإجابة:** $6ر^5 ل + 3ر^3 ل^4 + 9ر^2 ل^3$

سؤال 28: -س ع^2(2ع^2 + 4س ع^3) + س ع^2(س ع + 5س^3 ع) + س ع^2(3س^2 ع + 4س ع)

الإجابة: -2س ع^4 - 4س^2 ع^5 + س^2 ع^3 + 5س^4 ع^3 + 3س^3 ع^3 + 4س^2 ع^3

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: توزيع الأقواس**
2. نقوم بتوزيع -س ع^2 على (2ع^2 + 4س ع^3)، و س ع^2 على (س ع + 5س^3 ع)، و س ع^2 على (3س^2 ع + 4س ع):
3. $-س ع^2(2ع^2 + 4س ع^3) + س ع^2(س ع + 5س^3 ع) + س ع^2(3س^2 ع + 4س ع) = -2س ع^4 - 4س^2 ع^5 + س^2 ع^3 + 5س^4 ع^3 + 3س^3 ع^3 + 4س^2 ع^3$
4. **الخطوة 2: تجميع الحدود المتشابهة**
5. لا يوجد حدود متشابهة.
6. **الخطوة 3: تبسيط المقدار**
7. المقدار مبسط بالفعل.
8. **الإجابة:** $-2س ع^4 - 4س^2 ع^5 + س^2 ع^3 + 5س^4 ع^3 + 3س^3 ع^3 + 4س^2 ع^3$

أوجد ناتج الضرب: ب(ب^2 - 12ب + 1)

• أ) ب^3 - 12ب^2 + ب
• ب) ب^2 - 12ب + ب
• ج) ب^3 - 12ب + 1
• د) ب^3 - 12ب^2 + 1

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: ب^3 - 12ب^2 + ب

الشرح: 1. نوزع الحد ب على المقدار (ب^2 - 12ب + 1). 2. نضرب ب × ب^2 = ب^3. 3. نضرب ب × (-12ب) = -12ب^2. 4. نضرب ب × 1 = ب. 5. الناتج هو ب^3 - 12ب^2 + ب.

تلميح: تذكر قاعدة ضرب وحيدة حد في كثيرة حدود: اضرب وحيدة الحد في كل حد من حدود كثيرة الحدود مع جمع الأسس للمتغيرات المتشابهة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد ناتج الضرب: 2ج^2(5ج^3 - 15ج^2 + 2ج + 2)

• أ) 10ج^5 - 30ج^4 + 4ج^3 + 4ج^2
• ب) 10ج^6 - 30ج^4 + 4ج^2 + 4ج^2
• ج) 10ج^5 - 15ج^2 + 2ج + 2
• د) 7ج^5 - 13ج^4 + 4ج^3 + 4ج^2

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: 10ج^5 - 30ج^4 + 4ج^3 + 4ج^2

الشرح: 1. نوزع 2ج^2 على المقدار. 2. 2ج^2 × 5ج^3 = 10ج^5. 3. 2ج^2 × (-15ج^2) = -30ج^4. 4. 2ج^2 × 2ج = 4ج^3. 5. 2ج^2 × 2 = 4ج^2. 6. الناتج هو 10ج^5 - 30ج^4 + 4ج^3 + 4ج^2.

تلميح: عند ضرب وحيدة حد في كثيرة حدود، تذكر ضرب المعاملات وجمع أسس المتغيرات المتشابهة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد ناتج الضرب: 2ب ر^2(2ب ر + 5ب^2 ر - 15ب)

• أ) 4ب^2 ر^3 + 10ب^3 ر^3 - 30ب^2 ر^2
• ب) 4ب^2 ر^2 + 10ب^3 ر^2 - 30ب^2 ر
• ج) 4ب ر^3 + 10ب ر^3 - 30ب ر^2
• د) 4ب^3 ر^3 + 10ب^3 ر^3 - 30ب^2 ر^2

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: 4ب^2 ر^3 + 10ب^3 ر^3 - 30ب^2 ر^2

الشرح: 1. نوزع 2ب ر^2 على المقدار. 2. 2ب ر^2 × 2ب ر = 4ب^(1+1) ر^(2+1) = 4ب^2 ر^3. 3. 2ب ر^2 × 5ب^2 ر = 10ب^(1+2) ر^(2+1) = 10ب^3 ر^3. 4. 2ب ر^2 × (-15ب) = -30ب^(1+1) ر^2 = -30ب^2 ر^2. 5. الناتج هو 4ب^2 ر^3 + 10ب^3 ر^3 - 30ب^2 ر^2.

تلميح: انتبه لجمع أسس كل متغير (ب و ر) على حدة عند الضرب.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد ناتج الضرب: 4ن ل^2(2ن^2 ل^2 - 10ن ل^4 + 2)

• أ) 8ن^3 ل^4 - 40ن^2 ل^6 + 8ن ل^2
• ب) 8ن^3 ل^4 - 40ن ل^8 + 8ن ل^2
• ج) 8ن^2 ل^4 - 40ن^2 ل^6 + 8ن ل^2
• د) 8ن^3 ل^4 - 10ن^2 ل^6 + 2ن ل^2

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: 8ن^3 ل^4 - 40ن^2 ل^6 + 8ن ل^2

الشرح: 1. نوزع 4ن ل^2 على المقدار. 2. 4ن ل^2 × 2ن^2 ل^2 = 8ن^(1+2) ل^(2+2) = 8ن^3 ل^4. 3. 4ن ل^2 × (-10ن ل^4) = -40ن^(1+1) ل^(2+4) = -40ن^2 ل^6. 4. 4ن ل^2 × 2 = 8ن ل^2. 5. الناتج هو 8ن^3 ل^4 - 40ن^2 ل^6 + 8ن ل^2.

تلميح: تذكر تطبيق قاعدة ضرب المعاملات وجمع أسس المتغيرات المتشابهة لكل حد.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

بسّط العبارة: -3(5س^2 + 2س + 9) + س(2س - 3)

• أ) -13س^2 - 9س - 27
• ب) -13س^2 - 3س - 27
• ج) -17س^2 - 9س - 27
• د) -13س^2 - 9س + 27

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: -13س^2 - 9س - 27

الشرح: 1. نوزع -3 على القوس الأول: -15س^2 - 6س - 27. 2. نوزع س على القوس الثاني: 2س^2 - 3س. 3. تصبح العبارة: -15س^2 - 6س - 27 + 2س^2 - 3س. 4. نجمع الحدود المتشابهة: (-15س^2 + 2س^2) + (-6س - 3س) - 27. 5. الناتج هو -13س^2 - 9س - 27.

تلميح: وزع الأقواس أولاً، ثم اجمع الحدود المتشابهة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

بسّط العبارة: أ(أ - 8) + 2أ(أ + 12) + 4(أ + 3) + 2(أ - 4)

• أ) 3أ^2 + 20أ + 4
• ب) 3أ^2 + 22أ + 20
• ج) 2أ^2 + 22أ + 4
• د) 3أ^2 + 22أ + 4

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: 3أ^2 + 22أ + 4

الشرح: 1. نوزع الأقواس: أ^2 - 8أ + 2أ^2 + 24أ + 4أ + 12 + 2أ - 8 2. نجمع الحدود المتشابهة: (أ^2 + 2أ^2) + (-8أ + 24أ + 4أ + 2أ) + (12 - 8) 3. نبسّط المقدار: 3أ^2 + 22أ + 4

تلميح: تذكر توزيع الضرب على الجمع ثم تجميع الحدود المتشابهة بدقة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

بسّط العبارة: -4د(5د^2 - 12) + 7(د + 5)

• أ) -20د^3 + 41د + 35
• ب) -20د^3 + 55د - 35
• ج) -20د^3 + 55د + 35
• د) -20د^2 + 55د + 35

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: -20د^3 + 55د + 35

الشرح: 1. نوزع الأقواس: (-4د × 5د^2) + (-4د × -12) + (7 × د) + (7 × 5) 2. نبسّط الحدود: -20د^3 + 48د + 7د + 35 3. نجمع الحدود المتشابهة: -20د^3 + (48د + 7د) + 35 = -20د^3 + 55د + 35

تلميح: انتبه لقواعد ضرب الإشارات وقوى المتغيرات عند التوزيع، ثم اجمع الحدود المتشابهة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

بسّط العبارة: -9ج(-2ج + ج^2) + 3(ج^2 + 4)

• أ) -9ج^3 - 15ج^2 + 12
• ب) -9ج^3 + 18ج^2 + 12
• ج) -9ج^3 + 3ج^2 + 12
• د) -9ج^3 + 21ج^2 + 12

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: -9ج^3 + 21ج^2 + 12

الشرح: 1. نوزع الأقواس: (-9ج × -2ج) + (-9ج × ج^2) + (3 × ج^2) + (3 × 4) 2. نبسّط الحدود: 18ج^2 - 9ج^3 + 3ج^2 + 12 3. نجمع الحدود المتشابهة ونرتب: -9ج^3 + (18ج^2 + 3ج^2) + 12 = -9ج^3 + 21ج^2 + 12

تلميح: تذكر قواعد ضرب الإشارات وقواعد الأسس عند الضرب، ثم اجمع الحدود المتشابهة ورتّبها.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

بسّط العبارة: 4ن(2ن^2 ب^2 - 3ن ب^2 + 5ن) + 4ب(6ن^2 ب - 2ن ب^2 + 3ب)

• أ) 8ن^3 ب^2 + 12ن^2 ب^2 + 20ن^2 - 8ن ب^3 + 12ب^2
• ب) 8ن^3 ب^2 - 12ن^2 ب^2 + 20ن^2 + 24ن^2 ب^2 - 8ن ب^3 + 12ب^2
• ج) 8ن^3 ب^2 + 20ن^2 - 8ن ب^3 + 12ب^2
• د) 8ن^3 ب^2 + 12ن^2 ب^2 + 20ن^2 + 8ن ب^3 + 12ب^2

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: 8ن^3 ب^2 + 12ن^2 ب^2 + 20ن^2 - 8ن ب^3 + 12ب^2

الشرح: 1. نوزع 4ن: 8ن^3 ب^2 - 12ن^2 ب^2 + 20ن^2 2. نوزع 4ب: 24ن^2 ب^2 - 8ن ب^3 + 12ب^2 3. نجمع العبارتين: 8ن^3 ب^2 - 12ن^2 ب^2 + 20ن^2 + 24ن^2 ب^2 - 8ن ب^3 + 12ب^2 4. نجمع الحدود المتشابهة (-12ن^2 ب^2 + 24ن^2 ب^2): 8ن^3 ب^2 + 12ن^2 ب^2 + 20ن^2 - 8ن ب^3 + 12ب^2

تلميح: وزع كل حد على المقدار داخل القوس، ثم اجمع الحدود المتشابهة مع الانتباه للمتغيرات والأسس.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

سدود: واجهة سد على شكل شبه منحرف. طول قاعدتها السفلية مثلا ارتفاعها. وقاعدتها العليا أقل من 1/2 ارتفاعها بـ 10 أمتار. إذا كان ارتفاع السد 60 متراً، فما مساحة هذه الواجهة؟

• أ) 2700 م^2
• ب) 2400 م^2
• ج) 1800 م^2
• د) 3600 م^2

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 2400 م^2

الشرح: 1. الارتفاع (h) = 60 م. 2. القاعدة السفلية (b1) = h = 60 م. 3. القاعدة العليا (b2) = (0.5h - 10) = (0.5 * 60 - 10) = 30 - 10 = 20 م. 4. مساحة شبه المنحرف A = 0.5 * h * (b1 + b2) = 0.5 * 60 * (60 + 20) 5. A = 30 * 80 = 2400 م^2

تلميح: احسب أطوال القواعد بدلالة الارتفاع أولاً، ثم استخدم صيغة مساحة شبه المنحرف: A = 0.5 * الارتفاع * (القاعدة الأولى + القاعدة الثانية).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حل المعادلة: 7(ن^2 + 5ن - 9) + ن = ن(7ن - 2) + 13

• أ) ن = -2
• ب) ن = 2
• ج) ن = 1/2
• د) ن = 76

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ن = 2

الشرح: 1. وزّع الأقواس: $7ن^2 + 35ن - 63 + ن = 7ن^2 - 2ن + 13$ 2. بسّط الطرفين: $7ن^2 + 36ن - 63 = 7ن^2 - 2ن + 13$ 3. انقل الحدود المتشابهة: $36ن + 2ن = 13 + 63$ 4. بسّط واقسم: $38ن = 76$, إذن $ن = 2$

تلميح: ابدأ بتوزيع الحدود على الأقواس، ثم اجمع الحدود المتشابهة في كل طرف، وأخيراً انقل الحدود لحل المعادلة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حل المعادلة: 9ج(ج - 11) + 10(5ج - 3) = 3ج(ج + 5) + ج(6ج - 3) - 30

• أ) ج = -1
• ب) ج = 1
• ج) ج = 0
• د) ج = 61

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ج = 0

الشرح: 1. وزّع الأقواس: $9ج^2 - 99ج + 50ج - 30 = 3ج^2 + 15ج + 6ج^2 - 3ج - 30$ 2. بسّط الطرفين: $9ج^2 - 49ج - 30 = 9ج^2 + 12ج - 30$ 3. اجمع الحدود المتشابهة: $-49ج - 30 = 12ج - 30$ 4. انقل الحدود وحل: $-49ج - 12ج = 0$, إذن $-61ج = 0$, ومنه $ج = 0$

تلميح: ابدأ بتوزيع الحدود على الأقواس، ثم بسّط كل طرف على حدة قبل تجميع الحدود المتشابهة وحل المعادلة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حل المعادلة: 2ن(5ن - 2) - 10(ن^2 - 3ن + 6) = -8ن(ن + 4) + 4(2ن^2 - 7ن)

• أ) ن = -30/43
• ب) ن = 60
• ج) ن = 30/43
• د) ن = 43/30

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ن = 30/43

الشرح: 1. وزّع الأقواس: $10ن^2 - 4ن - 10ن^2 + 30ن - 60 = -8ن^2 - 32ن + 8ن^2 - 28ن$ 2. بسّط الطرفين: $26ن - 60 = -60ن$ 3. انقل الحدود: $26ن + 60ن = 60$ 4. بسّط واقسم: $86ن = 60$, إذن $ن = 60/86 = 30/43$

تلميح: انتبه جيدًا لإشارات الحدود عند التوزيع وتجميع الحدود المتشابهة في كل طرف من المعادلة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

بسّط العبارة: $\frac{2}{3}$ ن ب^2(30ب^2 + 9ن^2 ب - 12)

• أ) $20ن ب^4 + 6ن^3 ب^3 - 8ن ب^2$
• ب) $10ن ب^4 + 3ن^3 ب^3 - 4ن ب^2$
• ج) $20ن ب^4 + 6ن^2 ب^3 - 8ن ب^2$
• د) $20ن ب^2 + 6ن^3 ب - 8ن$

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: $20ن ب^4 + 6ن^3 ب^3 - 8ن ب^2$

الشرح: 1. وزّع الحد $\frac{2}{3}$ ن ب^2 على كل حد داخل القوس. 2. اضرب المعاملات واجمع الأسس: $(\frac{2}{3} \times 30)ن ب^{2+2} + (\frac{2}{3} \times 9)ن^{1+2} ب^{2+1} - (\frac{2}{3} \times 12)ن ب^2$ 3. بسّط الحدود: $20ن ب^4 + 6ن^3 ب^3 - 8ن ب^2$

تلميح: تذكر عند ضرب وحيدات الحد، اضرب المعاملات واجمع أسس المتغيرات المتشابهة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

بسّط العبارة: $\frac{3}{5}$ ر^2 ل(10ر^3 + 5ر ل^3 + 15ل^2)

• أ) $6ر^5 ل + 3ر^3 ل^4 + 9ر^2 ل^3$
• ب) $6ر^6 ل + 3ر^3 ل^3 + 9ر^2 ل^2$
• ج) $30ر^5 ل + 15ر^3 ل^4 + 45ر^2 ل^3$
• د) $6ر^5 ل + 3ر^2 ل^4 + 9ر^2 ل^3$

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: $6ر^5 ل + 3ر^3 ل^4 + 9ر^2 ل^3$

الشرح: 1. وزّع الحد $\frac{3}{5}$ ر^2 ل على كل حد داخل القوس. 2. اضرب المعاملات واجمع الأسس: $(\frac{3}{5} \times 10)ر^{2+3} ل + (\frac{3}{5} \times 5)ر^{2+1} ل^{1+3} + (\frac{3}{5} \times 15)ر^2 ل^{1+2}$ 3. بسّط الحدود: $6ر^5 ل + 3ر^3 ل^4 + 9ر^2 ل^3$

تلميح: انتبه جيداً لجمع أسس المتغيرات المتشابهة عند التوزيع.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

سدود: واجهة سد على شكل شبه منحرف. طول قاعدتها السفلية مثلا ارتفاعها. وقاعدتها العليا أقل من 1/2 ارتفاعها بـ 10 أمتار. اكتب عبارة لإيجاد مساحة هذه الواجهة.

• أ) \frac{1}{2}h^2 - 5h
• ب) \frac{3}{4}h^2 - 10h
• ج) \frac{3}{4}h^2 + 5h
• د) \frac{3}{4}h^2 - 5h

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: \frac{3}{4}h^2 - 5h

الشرح: 1. نحدد المعطيات: الارتفاع = h، القاعدة السفلية = h، القاعدة العليا = $\frac{1}{2}h - 10$. 2. نطبق قانون مساحة شبه المنحرف: $A = \frac{1}{2} \times \text{الارتفاع} \times (\text{القاعدة الأولى} + \text{القاعدة الثانية})$. 3. نعوض بالقيم: $A = \frac{1}{2}h(h + (\frac{1}{2}h - 10))$. 4. نبسط العبارة داخل القوس: $h + \frac{1}{2}h - 10 = \frac{3}{2}h - 10$. 5. نوزع \frac{1}{2}h على المقدار: $A = \frac{1}{2}h(\frac{3}{2}h - 10) = \frac{3}{4}h^2 - 5h$.

تلميح: تذكر قانون مساحة شبه المنحرف: $A = \frac{1}{2}h(b_1 + b_2)$ حيث $b_1$ و $b_2$ هما طولا القاعدتين.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

بسّط العبارة: -س ع^2(2ع^2 + 4س ع^3) + س ع^2(س ع + 5س^3 ع) + س ع^2(3س^2 ع + 4س ع)

• أ) -2س ع^4 - 4س^2 ع^5 + س^2 ع^3 + 5س^4 ع^3 + 3س^3 ع^3 + 4س^2 ع^3
• ب) -2س ع^4 - 4س^2 ع^5 + 5س^2 ع^3 + 5س^4 ع^3 + 3س^3 ع^3
• ج) 2س ع^4 - 4س^2 ع^5 + 5س^2 ع^3 + 5س^4 ع^3 + 3س^3 ع^4
• د) -2س ع^4 + 4س^2 ع^5 + 5س^2 ع^3 - 5س^4 ع^3 + 3س^3 ع^3

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: -2س ع^4 - 4س^2 ع^5 + 5س^2 ع^3 + 5س^4 ع^3 + 3س^3 ع^3

الشرح: 1. وزّع -س ع^2 على القوس الأول: $-2س ع^4 - 4س^2 ع^5$. 2. وزّع س ع^2 على القوس الثاني: $+س^2 ع^3 + 5س^4 ع^3$. 3. وزّع س ع^2 على القوس الثالث: $+3س^3 ع^3 + 4س^2 ع^3$. 4. اجمع الحدود الناتجة: $-2س ع^4$ $-4س^2 ع^5$ $+س^2 ع^3 + 4س^2 ع^3 = +5س^2 ع^3$ $+5س^4 ع^3$ $+3س^3 ع^3$ 5. رتب الحدود (اختياري) واكتب الناتج النهائي: $-2س ع^4 - 4س^2 ع^5 + 5س^2 ع^3 + 5س^4 ع^3 + 3س^3 ع^3$.

تلميح: تذكر قواعد ضرب وحيدات الحد (تضرب المعاملات وتجمع أسس المتغيرات المتشابهة) ثم اجمع الحدود المتشابهة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط