صفحة 43 - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال نشاط 1: استعمل بطاقات الجبر لإيجاد ناتج (س + 3)(س + 4). حدد بعدي المستطيل: س + 3، س + 4 كما في الشكل الأول أدناه، ثم استعمل بطاقات الجبر لإكمال المستطيل كما في الشكل الثاني.

الإجابة: يحتوي المستطيل على بطاقة واحدة س^2، 7 بطاقات س، 12 بطاقة 1. وعليه تكون مساحة المستطيل تساوي س^2 + 7س + 12. إذن (س + 3)(س + 4) = س^2 + 7س + 12

خطوات الحل:

1. ### الخطوة 1: تحديد المعطيات والمطلوب | العنصر | الوصف | |--------|--------| | **المعطى 1** | بعد المستطيل الأول (الطول): `س + 3` | | **المعطى 2** | بعد المستطيل الثاني (العرض): `س + 4` | | **المطلوب** | إيجاد مساحة المستطيل باستخدام بطاقات الجبر، والتي تمثل ناتج ضرب: `(س + 3)(س + 4)` |
2. ### الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم **مبدأ ضرب المقادير الجبرية باستخدام النموذج الهندسي:** > مساحة المستطيل = الطول × العرض وبالتالي: `مساحة المستطيل = (س + 3) × (س + 4)`.
3. ### الخطوة 3: بناء المستطيل باستخدام بطاقات الجبر 1. **تمثيل الأبعاد:** - الطول `(س + 3)` يعني جزء طوله `س` و جزء آخر طوله `3` (وحدات). - العرض `(س + 4)` يعني جزء عرضه `س` و جزء آخر عرضه `4` (وحدات). 2. **تقسيم المستطيل إلى مناطق:** عند تركيب البطاقات، ينقسم المستطيل إلى أربع مناطق رئيسية: - **المنطقة الأولى:** تقاطع `س` (من الطول) و `س` (من العرض) تعطي مساحة مقدارها `س × س = س²`. تمثلها **بطاقة واحدة من نوع `س²`**. - **المنطقة الثانية:** تقاطع `س` (من الطول) و `4` (من العرض) تعطي مساحة مقدارها `س × 4 = 4س`. تمثلها **4 بطاقات من نوع `س`**. - **المنطقة الثالثة:** تقاطع `3` (من الطول) و `س` (من العرض) تعطي مساحة مقدارها `3 × س = 3س`. تمثلها **3 بطاقات من نوع `س`**. - **المنطقة الرابعة:** تقاطع `3` (من الطول) و `4` (من العرض) تعطي مساحة مقدارها `3 × 4 = 12`. تمثلها **12 بطاقة من نوع `1`** (الوحدة).
4. ### الخطوة 4: جمع بطاقات كل نوع | نوع البطاقة | العدد | المجموع الجبري | |-------------|-------|----------------| | `س²` | 1 | `س²` | | `س` | 4 + 3 = 7 | `7س` | | `1` | 12 | `+12` | **إجمالي البطاقات المكونة للمستطيل:** `1` بطاقة `س²`، `7` بطاقات `س`، `12` بطاقة `1`.
5. ### الخطوة 5: كتابة مساحة المستطيل (الناتج النهائي) مساحة المستطيل = مجموع مساحات المناطق الأربع = `س² + 4س + 3س + 12`. **بجمع الحدود المتشابهة (`4س + 3س`)** نحصل على: > `(س + 3)(س + 4) = س² + 7س + 12` **الإجابة النهائية:** ناتج ضرب `(س + 3)` في `(س + 4)` هو **المقدار الثلاثي `س² + 7س + 12`**.

سؤال نشاط 2: استعمل بطاقات الجبر لإيجاد ناتج (س - 2)(س - 5). الخطوة 1: حدد بعدي المستطيل س - 2، س - 5 ثم استعمل بطاقات الجبر لتكوين المستطيل كما هو موضح في الشكل المقابل.

الإجابة: يحتوي المستطيل على بطاقة واحدة س^2، و -7 بطاقات س، و 10 بطاقات 1. فتكون مساحة المستطيل س^2 - 7س + 10. لذا فإن (س - 2)(س - 5) = س^2 - 7س + 10

خطوات الحل:

1. ### الخطوة 1: تحديد المعطيات والمطلوب | العنصر | الوصف | |--------|--------| | **المعطى 1** | بعد المستطيل الأول (الطول): `س - 2` | | **المعطى 2** | بعد المستطيل الثاني (العرض): `س - 5` | | **المطلوب** | إيجاد مساحة المستطيل باستخدام بطاقات الجبر، والتي تمثل ناتج ضرب: `(س - 2)(س - 5)` | > **ملاحظة مهمة:** البعدان يتضمنان حدوداً **سالبة** (`-2` و `-5`). في نموذج بطاقات الجبر، يتم تمثيل الحد السالب `-ن` باستخدام بطاقات ملونة أو معكوسة (بطاقات سلبية).
2. ### الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم **مبدأ ضرب المقادير الجبرية باستخدام النموذج الهندسي:** > مساحة المستطيل = الطول × العرض وبالتالي: `مساحة المستطيل = (س - 2) × (س - 5)`.
3. ### الخطوة 3: بناء المستطيل باستخدام بطاقات الجبر (مع مراعاة الإشارات) 1. **تمثيل الأبعاد مع الإشارات:** - الطول `(س - 2)` يعني جزء موجب طوله `س` وجزء **سال**ب مقداره `2`. - العرض `(س - 5)` يعني جزء موجب عرضه `س` وجزء **سال**ب مقداره `5`. 2. **تقسيم المستطيل إلى أربع مناطق مع تحديد إشارة مساحة كل منطقة:** - **المنطقة (أ):** `س × س = س²` (**موجبة**). تمثلها **بطاقة واحدة `س²`**. - **المنطقة (ب):** `س × (-5) = -5س` (**سالبة**). تمثلها **5 بطاقات `س` سالبة**. - **المنطقة (جـ):** `(-2) × س = -2س` (**سالبة**). تمثلها **2 بطاقة `س` سالبة**. - **المنطقة (د):** `(-2) × (-5) = +10` (**موجبة**، لأن ضرب عددين سالبين يعطي عدداً موجباً). تمثلها **10 بطاقات `1` موجبة**.
4. ### الخطوة 4: جمع بطاقات كل نوع (مع مراعاة الإشارات) | نوع البطاقة | العدد والإشارة | المجموع الجبري | |-------------|----------------|----------------| | `س²` | 1 (موجبة) | `س²` | | `س` | (-5) + (-2) = -7 | `-7س` | | `1` | +10 | `+10` | **إجمالي البطاقات المكونة للمستطيل:** `1` بطاقة `س²`، `7` بطاقات `س` **سالبة**، `10` بطاقات `1` **موجبة**.
5. ### الخطوة 5: كتابة مساحة المستطيل (الناتج النهائي) مساحة المستطيل = مجموع مساحات المناطق الأربع = `س² + (-5س) + (-2س) + 10`. **بجمع الحدود المتشابهة (`-5س - 2س = -7س`)** نحصل على: > `(س - 2)(س - 5) = س² - 7س + 10` **الإجابة النهائية:** ناتج ضرب `(س - 2)` في `(س - 5)` هو **المقدار الثلاثي `س² - 7س + 10`**.

ما الطريقة الأساسية لاستخدام بطاقات الجبر لضرب ثنائيتي حد؟

• أ) تحديد البعدين، ملء المستطيل، حساب المساحة.
• ب) رسم شكل بياني للحدود، ثم قسمة الناتج على ٢.
• ج) جمع جميع الحدود ثم ضربها في أربعة.
• د) تحليل الحدود إلى عوامل أولية ثم جمعها.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: تحديد البعدين، ملء المستطيل، حساب المساحة.

الشرح: العملية تبدأ بتحديد حدود الثنائية كأبعاد للمستطيل. ثم تُملأ المساحة الداخلية ببطاقات الجبر المناسبة التي تمثل حاصل ضرب الأبعاد. أخيراً، تُجمع مساحات هذه البطاقات للحصول على ناتج الضرب.

تلميح: فكر في الخطوات الأولى والأخيرة لتمثيل عملية الضرب بالمستطيل.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

عند استخدام بطاقات الجبر لضرب ثنائيتي حد تحتوي على حدود سالبة مثل (س - ٢)(س - ٥)، لماذا تُملأ الفراغات الناتجة عن ضرب -١ في -١ ببطاقات ١ الموجبة؟

• أ) لأن البطاقات السالبة غير موجودة في المجموعة.
• ب) لأن حاصل ضرب -١ في -١ هو ١.
• ج) لأن البطاقات الموجبة تلغي تأثير البطاقات السالبة.
• د) لتسهيل عملية جمع المساحات النهائية.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: لأن حاصل ضرب -١ في -١ هو ١.

الشرح: في الرياضيات، ضرب عددين سالبين ينتج عنه دائمًا عدد موجب. لذا، عندما تمثل بطاقات الجبر ضرب -١ في -١، فإن النتيجة هي بطاقة موجبة ١.

تلميح: تذكر قاعدة ضرب الأعداد الصحيحة ذات الإشارات المتشابهة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

في ضرب (س - ٢)(س - ٥) باستخدام بطاقات الجبر، ما هو الحد الأوسط في المستطيل الناتج وكيف يتكون من بطاقات س؟

• أ) -٣س، من طرح ٥س من ٢س.
• ب) -٧س، من جمع بطاقتي -س وخمس بطاقات -س.
• ج) ١٠س، من ضرب -٢س في -٥س.
• د) ٣س، من إضافة ٢س إلى ٥س.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: -٧س، من جمع بطاقتي -س وخمس بطاقات -س.

الشرح: الحد الأوسط (-٧س) يمثل المساحات التي تنتج عن ضرب س في الأعداد الثابتة السالبة. في هذه الحالة، لدينا (س × -٥) = -٥س و (س × -٢) = -٢س، ومجموعهما -٧س، والذي يمثل بسبع بطاقات من نوع '-س'.

تلميح: انظر إلى مكونات بعدي المستطيل وكيف تتفاعل حدود 'س' السالبة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

أي من التعبيرات التالية يمثل مساحة المستطيل الناتجة عن ضرب (س + ٣)(س + ٤) باستخدام بطاقات الجبر؟

• أ) س² + ٦س + ٧
• ب) س² + ٧س + ١٢
• ج) ٢س + ٧
• د) س² + ١٢س + ٧

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: س² + ٧س + ١٢

الشرح: بناءً على النشاط ١، المستطيل الناتج عن ضرب (س + ٣)(س + ٤) يحتوي على: بطاقة واحدة من س² (ناتج س × س)، سبع بطاقات من س (ناتج س × ٤ + س × ٣)، واثنا عشر بطاقة من ١ (ناتج ٣ × ٤). وبجمعها نحصل على س² + ٧س + ١٢.

تلميح: اجمع جميع مكونات البطاقات: بطاقة س²، بطاقات س، وبطاقات ١.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

في سياق ضرب ثنائيتي حد باستخدام بطاقات الجبر، ما الذي تمثله بطاقة واحدة من نوع 'س²'؟

• أ) مجموع س + س.
• ب) مساحة المربع الناتج عن ضرب س في س.
• ج) طول ضلع المستطيل فقط.
• د) ضعف قيمة س.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: مساحة المربع الناتج عن ضرب س في س.

الشرح: بطاقة 'س²' هي مربع يمثل حاصل ضرب س (طول) في س (عرض)، أي س × س = س². وهي تشكل الركن العلوي الأيسر في تمثيل المستطيل.

تلميح: فكر في الأبعاد التي تمثلها 'س' عند ضربها في نفسها.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل