تحقق من فهمك - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 ضرب ثنائيات الحد (طريقة التوزيع بالترتيب)

المفاهيم الأساسية

طريقة التوزيع بالترتيب (FOIL): لضرب ثنائيتي حد، أوجد ناتج جمع كل من: ضرب الحدين الأولين، وضرب الحدين في الطرفين، وضرب الحدين الأوسطين، وضرب الحدين الأخيرين بالترتيب.

العبارة التربيعية: عبارة ذات متغير واحد من الدرجة الثانية (نتيجة ضرب عبارتين خطيتين).

خريطة المفاهيم

```markmap

ضرب كثيرات الحدود

فيما سبق

• ضرب وحيدة حد بكثيرة حدود

والآن (أهداف الدرس)

• ضرب كثيرات الحدود باستعمال خاصية التوزيع
• ضرب كثيرتي حدود باستعمال طريقة الترتيب

المفردات

• طريقة التوزيع بالترتيب
• العبارة التربيعية

المفهوم الأساسي

• ضرب ثنائيي حد (مثال: (ع + ١٨٠)(ع + ٢٧))

الطرق

#### الطريقة الأفقية

• استخدام خاصية التوزيع
• مثال: س(س+٣) + ٥(س+٣) = س² + ٣س + ٥س + ١٥ = س² + ٨س + ١٥

#### الطريقة الرأسية

• ترتيب الحدود بشكل عمودي والضرب
• مثال:

- (س + ٣)

- × (س + ٥)

- ـــــــــــــــــــ

- س² + ٣س

- + ٥س + ١٥

- ـــــــــــــــــــ

- س² + ٨س + ١٥

الخطوات العامة

تطبيق خاصية التوزيع

كتابة الناتج كمجموع حدود

جمع الحدود المتشابهة

الطريقة الأفقية (تفصيل)

• مثال: (س - ٢)(٣س + ٤)

- الخطوة ١: اكتبها كفرق بين حاصلي ضرب

- الخطوة ٢: خاصية التوزيع

- الخطوة ٣: اجمع الحدود المتشابهة

طريقة التوزيع بالترتيب (FOIL)

• التعبير اللفظي: أولين، طرفين، أوسطين، أخيرين
• مثال توضيحي: (س + ٤)(س - ٢)

- أولين (أ): س × س

- طرفين (ط): س × (-٢)

- أوسطين (و): ٤ × س

- أخيرين (خ): ٤ × (-٢)

- الناتج: س² - ٢س + ٤س - ٨ = س² + ٢س - ٨

• نتيجة الضرب: عبارة تربيعية

```

نقاط مهمة

• تُسمى الصيغة المختصرة لخاصية التوزيع في ضرب ثنائيتي حد بطريقة التوزيع بالترتيب.
• عند ضرب عبارتين خطيتين، تكون النتيجة عبارة تربيعية (درجة ثانية).
• يمكن استعمال طريقة التوزيع بالترتيب لإيجاد عبارة تمثل مساحة مستطيل أُعطي بعداه على صورة ثنائيتي حد.
• تُقرأ العبارة (س + 4)(س - 2) على الصورة "س زائد 4 مضروباً في س ناقص 2".

---

حل مثال

مثال 1 (الطريقة الأفقية):

(س - 2)(3س + 4)

اكتبها كفرق بين حاصلي ضرب: س(3س + 4) - 2(3س + 4)

خاصية التوزيع: 3س² + 4س - 6س - 8

اجمع الحدود المتشابهة: 3س² - 2س - 8

مثال 2: طريقة التوزيع بالترتيب

أ) (2ص - 7)(3ص + 5)

• الحل: (2ص)(3ص) + (2ص)(5) + (-7)(3ص) + (-7)(5) = 6ص² + 10ص - 21ص - 35 = 6ص² - 11ص - 35

ب) (4أ - 5)(2أ - 9)

• الحل: (4أ)(2أ) + (4أ)(-9) + (-5)(2أ) + (-5)(-9) = 8أ² - 36أ - 10أ + 45 = 8أ² - 46أ + 45

---

تحقق من فهمك

1) بسّط كل عبارة:

• أ) (3م + 4)(م + 5)

- الحل: (3م)(م) + (3م)(5) + (4)(م) + (4)(5) = 3م² + 15م + 4م + 20 = 3م² + 19م + 20

• ب) (5ص - 2)(ص + 8)

- الحل: (5ص)(ص) + (5ص)(8) + (-2)(ص) + (-2)(8) = 5ص² + 40ص - 2ص - 16 = 5ص² + 38ص - 16

2) أوجد ناتج الضرب:

• أ) (4ب - 5)(3ب + 2)

- الحل: (4ب)(3ب) + (4ب)(2) + (-5)(3ب) + (-5)(2) = 12ب² + 8ب - 15ب - 10 = 12ب² - 7ب - 10

• ب) (2ص - 5)(ص - 6)

- الحل: (2ص)(ص) + (2ص)(-6) + (-5)(ص) + (-5)(-6) = 2ص² - 12ص - 5ص + 30 = 2ص² - 17ص + 30

الطريقة الأفقية:

(س - 2)(3س + 4) = س(3س + 4) - 2(3س + 4) ... اكتبها كفرق بين حاصلي ضرب = 3س^2 + 4س - 6س - 8 ... خاصية التوزيع = 3س^2 - 2س - 8 ... اجمع الحدود المتشابهة

بسط كل عبارة فيما يأتي:

وتُسمى الصيغة المختصرة لخاصية التوزيع في ضرب ثنائيتي حد بطريقة التوزيع بالترتيب.

التعبير اللفظي: لضرب ثنائيتي حد، أوجد ناتج جمع كل من: ضرب الحدين الأولين، وضرب الحدين في الطرفين، وضرب الحدين الأوسطين، وضرب الحدين الأخيرين بالترتيب.

كثيرات الحدود كعوامل: تُقرأ العبارة (س + 4)(س - 2) على الصورة س زائد 4 مضروبًا في س ناقص 2

طريقة التوزيع بالترتيب أوجد ناتج الضرب في كل مما يأتي: أ) (2ص - 7)(3ص + 5) (2ص - 7)(3ص + 5) = (2ص)(3ص) + (2ص)(5) + (-7)(3ص) + (-7)(5) ... طريقة التوزيع بالترتيب = 6ص^2 + 10ص - 21ص - 35 ... اضرب = 6ص^2 - 11ص - 35 ... اجمع الحدود المتشابهة ب) (4أ - 5)(2أ - 9) (4أ - 5)(2أ - 9) = (4أ)(2أ) + (4أ)(-9) + (-5)(2أ) + (-5)(-9) ... طريقة التوزيع بالترتيب = 8أ^2 - 36أ - 10أ + 45 ... اضرب = 8أ^2 - 46أ + 45 ... اجمع الحدود المتشابهة

تحقق من فهمك

لاحظ أنه عند ضرب عبارتين خطيتين، تكون النتيجة عبارة تربيعية. العبارة التربيعية هي عبارة ذات متغير واحد من الدرجة الثانية. ونتيجة ضرب ثلاث عبارات خطية، هي عبارة من الدرجة الثالثة. ويمكنك استعمال طريقة التوزيع بالترتيب لإيجاد عبارة تمثل مساحة مستطيل أُعطي بعداه على صورة ثنائيتي حد.

الطريقة الأفقية: (س - 2)(3س + 4) = س(3س + 4) - 2(3س + 4) ... اكتبها كفرق بين حاصلي ضرب = 3س^2 + 4س - 6س - 8 ... خاصية التوزيع = 3س^2 - 2س - 8 ... اجمع الحدود المتشابهة --- SECTION: تحقق من فهمك --- بسط كل عبارة فيما يأتي: 1أ. (3م + 4)(م + 5) 1ب. (5ص - 2)(ص + 8) وتُسمى الصيغة المختصرة لخاصية التوزيع في ضرب ثنائيتي حد بطريقة التوزيع بالترتيب. --- SECTION: مفهوم أساسي: طريقة التوزيع بالترتيب --- التعبير اللفظي: لضرب ثنائيتي حد، أوجد ناتج جمع كل من: ضرب الحدين الأولين، وضرب الحدين في الطرفين، وضرب الحدين الأوسطين، وضرب الحدين الأخيرين بالترتيب. --- SECTION: قراءة الرياضيات --- كثيرات الحدود كعوامل: تُقرأ العبارة (س + 4)(س - 2) على الصورة س زائد 4 مضروبًا في س ناقص 2 --- SECTION: مثال 2 --- طريقة التوزيع بالترتيب أوجد ناتج الضرب في كل مما يأتي: أ) (2ص - 7)(3ص + 5) (2ص - 7)(3ص + 5) = (2ص)(3ص) + (2ص)(5) + (-7)(3ص) + (-7)(5) ... طريقة التوزيع بالترتيب = 6ص^2 + 10ص - 21ص - 35 ... اضرب = 6ص^2 - 11ص - 35 ... اجمع الحدود المتشابهة ب) (4أ - 5)(2أ - 9) (4أ - 5)(2أ - 9) = (4أ)(2أ) + (4أ)(-9) + (-5)(2أ) + (-5)(-9) ... طريقة التوزيع بالترتيب = 8أ^2 - 36أ - 10أ + 45 ... اضرب = 8أ^2 - 46أ + 45 ... اجمع الحدود المتشابهة --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك 2أ. (4ب - 5)(3ب + 2) 2ب. (2ص - 5)(ص - 6) لاحظ أنه عند ضرب عبارتين خطيتين، تكون النتيجة عبارة تربيعية. العبارة التربيعية هي عبارة ذات متغير واحد من الدرجة الثانية. ونتيجة ضرب ثلاث عبارات خطية، هي عبارة من الدرجة الثالثة. ويمكنك استعمال طريقة التوزيع بالترتيب لإيجاد عبارة تمثل مساحة مستطيل أُعطي بعداه على صورة ثنائيتي حد. --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: مخطط يوضح عملية ضرب ثنائيتي الحد (س + 4) و (س - 2) باستخدام طريقة FOIL. تظهر أسهم ملونة تربط الحدود ببعضها البعض مع تسميات توضيحية لكل عملية ضرب. Key Values: ناتج ضرب الحدين الأولين: (س)(س), ناتج ضرب الحدين في الطرفين: (س)(-2), ناتج ضرب الحدين الأوسطين: (4)(س), ناتج ضرب الحدين الأخيرين: (4)(-2) Context: يوضح المخطط بصرياً كيفية توزيع الحدود عند ضرب ثنائيتي حد لضمان ضرب كل حد في القوس الأول بكل حد في القوس الثاني. **DIAGRAM**: Untitled Description: رسم توضيحي لعملية ضرب (2ص - 7) في (3ص + 5) باستخدام الأسهم الملونة لتمثيل طريقة التوزيع بالترتيب (الأول، الطرفين، الأوسطين، الأخيرين). Key Values: الأول: 2ص * 3ص, الطرفين: 2ص * 5, الأوسطين: -7 * 3ص, الأخيرين: -7 * 5 Context: تطبيق عملي لطريقة التوزيع بالترتيب الموضحة في المفهوم الأساسي على مثال جبري يحتوي على معاملات وثوابت سالبة.