لماذا؟

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 9 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 ضرب كثيرات الحدود

المفاهيم الأساسية

طريقة التوزيع بالترتيب: طريقة لضرب كثيرات الحدود.

العبارة التربيعية: ناتج ضرب ثنائيي حد (مثل: س² + ٨س + ١٥).

خريطة المفاهيم

```markmap

ضرب كثيرات الحدود

فيما سبق

ضرب وحيدة حد بكثيرة حدود

والآن (أهداف الدرس)

ضرب كثيرات الحدود باستعمال خاصية التوزيع
ضرب كثيرتي حدود باستعمال طريقة الترتيب

المفردات

طريقة التوزيع بالترتيب
العبارة التربيعية

المفهوم الأساسي

ضرب ثنائيي حد (مثال: (ع + ١٨٠)(ع + ٢٧))

الطرق

#### الطريقة الأفقية

استخدام خاصية التوزيع
مثال: س(س+٣) + ٥(س+٣) = س² + ٣س + ٥س + ١٥ = س² + ٨س + ١٥

#### الطريقة الرأسية

ترتيب الحدود بشكل عمودي والضرب
مثال:

- (س + ٣)

- × (س + ٥)

- ـــــــــــــــــــ

- س² + ٣س

- + ٥س + ١٥

- ـــــــــــــــــــ

- س² + ٨س + ١٥

الخطوات العامة

تطبيق خاصية التوزيع

كتابة الناتج كمجموع حدود

جمع الحدود المتشابهة

```

نقاط مهمة

يمكن ضرب ثنائيي الحد أفقياً أو رأسياً.
الناتج النهائي هو عبارة تربيعية (كثيرة حدود من الدرجة الثانية).
مثال تطبيقي من الحياة: حساب مساحة قطعة قماش مستطيلة لأجل خياطة ثوب.

---

حل مثال

مثال ١: أوجد ناتج الضرب في كل مما يأتي:

أ) (س + ٣)(س + ٥)

* الطريقة الأفقية (باستخدام خاصية التوزيع):

* س(س + ٣) + ٥(س + ٣)

* = س² + ٣س + ٥س + ١٥

* = س² + ٨س + ١٥

* الطريقة الرأسية:

```

س + ٣

× س + ٥

ـــــــــــــــ

٥س + ١٥

س² + ٣س

ـــــــــــــــ

س² + ٨س + ١٥

```

* الناتج: س² + ٨س + ١٥

ب) (س - ٢)(س + ٤)

* الطريقة الأفقية (باستخدام خاصية التوزيع):

* س(س - ٢) + ٤(س - ٢)

* = س² - ٢س + ٤س - ٨

* = س² + ٢س - ٨

* الطريقة الرأسية:

```

س - ٢

× س + ٤

ـــــــــــــــ

٤س - ٨

س² - ٢س

ـــــــــــــــ

س² + ٢س - ٨

```

* الناتج: س² + ٢س - ٨

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: NON_EDUCATIONAL

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

نوع: محتوى تعليمي

6-6 ضرب كثيرات الحدود

نوع: محتوى تعليمي

لخياطة ثوب نستعمل قطعة من القماش مستطيلة الشكل. ويُحدد بعداها بناءً على طول صاحب الثوب وعرضه. فإذا كان طول قطعة القماش المراد تفصيلها كثوب لأيمن يساوي طول أيمن ع زائد 180 سم، أو ع + 180 وعرض القطعة يساوي نصف طول أيمن مضافاً إليه 27 سم، أو 1/2 ع + 27. ولإيجاد المساحة التقريبية لقطعة القماش، فإنك تحتاج لإيجاد ناتج (ع + 180)(1/2 ع + 27).

نوع: محتوى تعليمي

فيما سبق درست ضرب وحيدة حد في كثيرة حدود. والآن أضرب كثيرات الحدود باستعمال خاصية التوزيع. أضرب ثنائيتي حد باستعمال طريقة التوزيع بالترتيب.

المفردات

نوع: محتوى تعليمي

طريقة التوزيع بالترتيب، العبارة التربيعية

نوع: محتوى تعليمي

ضرب ثنائيتي حد: تستعمل خاصية التوزيع لضرب ثنائيتي حد مثل ع + 180، 1/2 ع + 27. ويمكن ضرب ثنائيتي الحد أفقياً أو رأسياً.

مثال 1 خاصية التوزيع

نوع: محتوى تعليمي

أوجد ناتج الضرب في كل مما يأتي:

نوع: محتوى تعليمي

أ) (2س + 3)(س + 5)
الطريقة الرأسية:
اضرب في س: س(2س + 3) = 2س^2 + 3س
اضرب في 5: 5(2س + 3) = 10س + 15
اجمع الحدود المتشابهة: 2س^2 + 3س + 10س + 15 = 2س^2 + 13س + 15
الطريقة الأفقية:
(2س + 3)(س + 5) = 2س(س + 5) + 3(س + 5)
= 2س^2 + 10س + 3س + 15
= 2س^2 + 13س + 15

نوع: محتوى تعليمي

ب) (س - 2)(3س + 4)
الطريقة الرأسية:
اضرب في 3س: 3س(س - 2) = 3س^2 - 6س
اضرب في 4: 4(س - 2) = 4س - 8
اجمع الحدود المتشابهة: 3س^2 - 6س + 4س - 8 = 3س^2 - 2س - 8

نوع: METADATA

الدرس 6-6: ضرب كثيرات الحدود 45

🔍 عناصر مرئية

رمز استجابة سريعة (QR Code) يؤدي إلى رابط الدرس الرقمي على موقع عين التعليمي.

صورة توضيحية لمحل خياطة تظهر فيه أقمشة متنوعة مرتبة على أرفف خشبية، تستخدم كتمهيد لمسألة واقعية حول حساب مساحة القماش.

توضيح لخطوات ضرب ثنائيتي حد (2س + 3) و (س + 5) باستخدام الطريقة الرأسية.

توضيح لخطوات ضرب ثنائيتي حد (س - 2) و (3س + 4) باستخدام الطريقة الرأسية.

📄 النص الكامل للصفحة

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

6-6 ضرب كثيرات الحدود

--- SECTION: لماذا؟ ---
لخياطة ثوب نستعمل قطعة من القماش مستطيلة الشكل. ويُحدد بعداها بناءً على طول صاحب الثوب وعرضه. فإذا كان طول قطعة القماش المراد تفصيلها كثوب لأيمن يساوي طول أيمن ع زائد 180 سم، أو ع + 180 وعرض القطعة يساوي نصف طول أيمن مضافاً إليه 27 سم، أو 1/2 ع + 27. ولإيجاد المساحة التقريبية لقطعة القماش، فإنك تحتاج لإيجاد ناتج (ع + 180)(1/2 ع + 27).

فيما سبق درست ضرب وحيدة حد في كثيرة حدود. والآن أضرب كثيرات الحدود باستعمال خاصية التوزيع. أضرب ثنائيتي حد باستعمال طريقة التوزيع بالترتيب.

--- SECTION: المفردات ---
طريقة التوزيع بالترتيب، العبارة التربيعية

ضرب ثنائيتي حد: تستعمل خاصية التوزيع لضرب ثنائيتي حد مثل ع + 180، 1/2 ع + 27. ويمكن ضرب ثنائيتي الحد أفقياً أو رأسياً.

--- SECTION: مثال 1 خاصية التوزيع ---
أوجد ناتج الضرب في كل مما يأتي:
أ. (2س + 3)(س + 5)
ب. (س - 2)(3س + 4)

أ) (2س + 3)(س + 5)
الطريقة الرأسية:
اضرب في س: س(2س + 3) = 2س^2 + 3س
اضرب في 5: 5(2س + 3) = 10س + 15
اجمع الحدود المتشابهة: 2س^2 + 3س + 10س + 15 = 2س^2 + 13س + 15
الطريقة الأفقية:
(2س + 3)(س + 5) = 2س(س + 5) + 3(س + 5)
= 2س^2 + 10س + 3س + 15
= 2س^2 + 13س + 15

ب) (س - 2)(3س + 4)
الطريقة الرأسية:
اضرب في 3س: 3س(س - 2) = 3س^2 - 6س
اضرب في 4: 4(س - 2) = 4س - 8
اجمع الحدود المتشابهة: 3س^2 - 6س + 4س - 8 = 3س^2 - 2س - 8

الدرس 6-6: ضرب كثيرات الحدود 45

--- VISUAL CONTEXT ---
**IMAGE**: Untitled
Description: رمز استجابة سريعة (QR Code) يؤدي إلى رابط الدرس الرقمي على موقع عين التعليمي.

**IMAGE**: Untitled
Description: صورة توضيحية لمحل خياطة تظهر فيه أقمشة متنوعة مرتبة على أرفف خشبية، تستخدم كتمهيد لمسألة واقعية حول حساب مساحة القماش.

**TABLE**: Untitled
Description: توضيح لخطوات ضرب ثنائيتي حد (2س + 3) و (س + 5) باستخدام الطريقة الرأسية.
Table Structure:
Headers: اضرب في س | اضرب في 5 | اجمع الحدود المتشابهة
Rows:
Row 1: 2س + 3 | 2س + 3 | 2س + 3
Row 2: (×) س | (×) 5 | (×) س + 5
Row 3: 2س^2 + 3س | 10س + 15 | 2س^2 + 3س
Row 4:  |  | 10س + 15
Row 5:  |  | 2س^2 + 13س + 15
Calculation needed: ضرب كثيرات الحدود رأسياً

**TABLE**: Untitled
Description: توضيح لخطوات ضرب ثنائيتي حد (س - 2) و (3س + 4) باستخدام الطريقة الرأسية.
Table Structure:
Headers: اضرب في 3س | اضرب في 4 | اجمع الحدود المتشابهة
Rows:
Row 1: س - 2 | س - 2 | س - 2
Row 2: (×) 3س | (×) 4 | (×) 3س + 4
Row 3: 3س^2 - 6س | 4س - 8 | 3س^2 - 6س
Row 4:  |  | 4س - 8
Row 5:  |  | 3س^2 - 2س - 8
Calculation needed: ضرب كثيرات الحدود رأسياً

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 5 بطاقة لهذه الصفحة

عند ضرب ثنائيتي حد مثل (أ + ب)(ج + د) باستخدام خاصية التوزيع، ما هي الخطوات الأساسية المتبعة؟

أ) جمع الحدود المتشابهة داخل كل ثنائية حد أولاً، ثم ضرب الناتجين.
ب) ضرب الحد الأول من ثنائية الحد الأولى بالحد الأول من ثنائية الحد الثانية فقط.
ج) ضرب كل حد في ثنائية الحد الأولى بجميع حدود ثنائية الحد الثانية، ثم جمع الحدود المتشابهة الناتجة.
د) طرح الحدود المتشابهة الناتجة بعد ضرب الحد الأول من كل ثنائية حد.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ضرب كل حد في ثنائية الحد الأولى بجميع حدود ثنائية الحد الثانية، ثم جمع الحدود المتشابهة الناتجة.

الشرح: يتم ضرب الحد الأول من ثنائية الحد الأولى في جميع حدود ثنائية الحد الثانية، ثم الحد الثاني من ثنائية الحد الأولى في جميع حدود ثنائية الحد الثانية، وأخيرًا جمع الحدود المتشابهة.

تلميح: تذكر كيف يتم توزيع الضرب على الجمع في حالة كثيرة الحدود.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما هو التعريف الصحيح للعبارة التربيعية في الجبر؟

أ) عبارة جبرية يكون فيها أعلى أس للمتغير هو 1.
ب) عبارة جبرية تتضمن دائماً جذوراً تربيعية.
ج) عبارة جبرية تحتوي على أربعة حدود فقط.
د) عبارة جبرية يكون فيها أعلى أس للمتغير هو 2.

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: هي عبارة جبرية يكون فيها أعلى أس للمتغير هو 2.

الشرح: العبارة التربيعية هي تعبير رياضي تكون أعلى قوة فيه للمتغير هي 2. على سبيل المثال، س² + 3س + 2 هي عبارة تربيعية.

تلميح: تذكر أن كلمة 'تربيعية' تشير إلى الدرجة الثانية.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

عند استخدام طريقة التوزيع بالترتيب (FOIL) لضرب ثنائيتي الحد (2س + 3)(س + 5)، ما هو ناتج ضرب الحدين الداخليين (Inner terms)؟

أ) 3س
ب) 10س
ج) 2س²
د) 15

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: 3س

الشرح: 1. الحدود الداخلية في (2س + 3)(س + 5) هي '3' و 'س'. 2. ناتج ضربهما هو 3 × س = 3س.

تلميح: تذكر طريقة التوزيع بالترتيب (FOIL) وركز على الحدود الداخلية (Inner).

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

بعد ضرب ثنائيتي الحد (س - 2)(3س + 4) وتبسيط الناتج، ما هو معامل الحد الذي يحتوي على المتغير س (الحد الخطي)؟

أ) 3
ب) -2
ج) 4
د) -8

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: -2

الشرح: 1. نضرب س في (3س + 4) = 3س² + 4س. 2. نضرب -2 في (3س + 4) = -6س - 8. 3. نجمع الحدود المتشابهة: (3س² + 4س - 6س - 8) = 3س² - 2س - 8. 4. معامل الحد الخطي (-2س) هو -2.

تلميح: أوجد ناتج ضرب جميع الحدود أولاً، ثم اجمع الحدود المتشابهة لتحديد الحد الخطي ومعامله.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

عند ضرب ثنائيتي الحد (ع + 180)(1/2 ع + 27) باستخدام الطريقة الأفقية (خاصية التوزيع)، أي عبارة تمثل الخطوة الأولى الصحيحة لتطبيق خاصية التوزيع؟

أ) ع(1/2 ع) + 180(27)
ب) (ع + 180) × (1/2 ع)
ج) ع(1/2 ع + 27) + 180(1/2 ع + 27)
د) ع(1/2 ع) + 27(180)

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ع(1/2 ع + 27) + 180(1/2 ع + 27)

الشرح: الخطوة الأولى في الطريقة الأفقية لضرب ثنائيتي حد هي توزيع كل حد من الثنائية الأولى على الثنائية الثانية كاملة. ف(ع + 180) تُوزّع كـ ع مضروبة في (1/2 ع + 27) زائد 180 مضروبة في (1/2 ع + 27).

تلميح: تذكر أن خاصية التوزيع تعني توزيع كل حد من الثنائية الأولى على الثنائية الثانية كاملة.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط