مثال ٣ - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 ضرب كثيرات الحدود

المفاهيم الأساسية

خاصية التوزيع: الأداة الأساسية لضرب كثيرات الحدود، حيث يتم توزيع كل حد من حدود كثيرة الحدود الأولى على كل حد من حدود كثيرة الحدود الثانية.

خريطة المفاهيم

```markmap

ضرب كثيرات الحدود

فيما سبق

• ضرب وحيدة حد بكثيرة حدود

والآن (أهداف الدرس)

• ضرب كثيرات الحدود باستعمال خاصية التوزيع
• ضرب كثيرتي حدود باستعمال طريقة الترتيب

المفردات

• طريقة التوزيع بالترتيب
• العبارة التربيعية

المفهوم الأساسي

• ضرب ثنائيي حد (مثال: (ع + ١٨٠)(ع + ٢٧))

الطرق

#### الطريقة الأفقية

• استخدام خاصية التوزيع
• مثال: س(س+٣) + ٥(س+٣) = س² + ٣س + ٥س + ١٥ = س² + ٨س + ١٥

#### الطريقة الرأسية

• ترتيب الحدود بشكل عمودي والضرب
• مثال:

- (س + ٣)

- × (س + ٥)

- ـــــــــــــــــــ

- س² + ٣س

- + ٥س + ١٥

- ـــــــــــــــــــ

- س² + ٨س + ١٥

الخطوات العامة

تطبيق خاصية التوزيع

كتابة الناتج كمجموع حدود

جمع الحدود المتشابهة

الطريقة الأفقية (تفصيل)

• مثال: (س - ٢)(٣س + ٤)

- الخطوة ١: اكتبها كفرق بين حاصلي ضرب

- الخطوة ٢: خاصية التوزيع

- الخطوة ٣: اجمع الحدود المتشابهة

طريقة التوزيع بالترتيب (FOIL)

• التعبير اللفظي: أولين، طرفين، أوسطين، أخيرين
• مثال توضيحي: (س + ٤)(س - ٢)

- أولين (أ): س × س

- طرفين (ط): س × (-٢)

- أوسطين (و): ٤ × س

- أخيرين (خ): ٤ × (-٢)

- الناتج: س² - ٢س + ٤س - ٨ = س² + ٢س - ٨

• نتيجة الضرب: عبارة تربيعية

تطبيق: مساحة بركة سباحة وممر

• بركة مستطيلة (٧ م × ٥ م) محاطة بممر عرضه س متر
• الطول الكلي: (٢س + ٧)
• العرض الكلي: (٢س + ٥)
• المساحة الكلية: (٢س + ٧)(٢س + ٥) = ٤س² + ٢٤س + ٣٥

إرشادات للدراسة

• عند ضرب كثيرة حدود (م حدود) في أخرى (ن حدود): الناتج الأولي يحوي (م × ن) حداً قبل التبسيط

```

نقاط مهمة

• لحساب مساحة شكل مستطيل محاط بإطار منتظم، أضف ضعف عرض الإطار إلى كل من الطول والعرض الأصليين.
• خطوات ضرب كثيرتي حدود: 1) وزع 2) اضرب 3) اجمع الحدود المتشابهة.
• يمكن التحقق من صحة تبسيط عبارة الضرب بتعويض قيمة عددية للمتغير في العبارتين (المبسطة وغير المبسطة).

---

حل مثال

مثال ٤: أوجد ناتج الضرب في كل مما يأتي:

أ) (س + ٥)(س² - ٣س - ٥)

تطبيق خاصية التوزيع:

= س(س² - ٣س - ٥) + ٥(س² - ٣س - ٥)

إجراء عملية الضرب:

= س³ - ٣س² - ٥س + ٥س² - ١٥س - ٢٥

جمع الحدود المتشابهة:

= س³ + (-٣س² + ٥س²) + (-٥س - ١٥س) - ٢٥

= س³ + ٢س² - ٢٠س - ٢٥

ب) (ص² + ٣ص - ١)(ص² - ٥ص + ٢)

تطبيق خاصية التوزيع:

= ص²(ص² - ٥ص + ٢) + ٣ص(ص² - ٥ص + ٢) - ١(ص² - ٥ص + ٢)

إجراء عملية الضرب:

= ص⁴ - ٥ص³ + ٢ص² + ٣ص³ - ١٥ص² + ٦ص - ص² + ٥ص - ٢

جمع الحدود المتشابهة:

= ص⁴ + (-٥ص³ + ٣ص³) + (٢ص² - ١٥ص² - ص²) + (٦ص + ٥ص) - ٢

= ص⁴ - ٢ص³ - ١٤ص² + ١١ص - ٢

---

تحقق من فهمك

1) إذا كان طول البركة ٩ م وعرضها ٧ م. فأوجد مساحة سطح البركة والممر معاً.

• الطول الكلي للبركة والممر: (٢س + ٩)
• العرض الكلي للبركة والممر: (٢س + ٧)
• المساحة الكلية: (٢س + ٩)(٢س + ٧)
• باستخدام خاصية التوزيع:

= ٢س(٢س + ٧) + ٩(٢س + ٧)

= ٤س² + ١٤س + ١٨س + ٦٣

= ٤س² + ٣٢س + ٦٣

2) (٤س + ٢)(س² - ٣ص + ٢)

تطبيق خاصية التوزيع:

= ٤س(س² - ٣ص + ٢) + ٢(س² - ٣ص + ٢)

إجراء عملية الضرب:

= ٤س³ - ١٢س ص + ٨س + ٢س² - ٦ص + ٤

ترتيب الناتج (عادةً حسب القوى التنازلية لـ س):

= ٤س³ + ٢س² - ١٢س ص + ٨س - ٦ص + ٤

مثال ٣ من واقع الحياة التوزيع بالترتيب

بركة سباحة: يحيط ممر ببركة سباحة مستطيلة الشكل. إذا كان عرض الممر هو س متر. فاكتب عبارة تمثل مساحة سطح البركة والممر معًا. افهم: المطلوب كتابة عبارة لمساحة سطح البركة والممر حولها. خطط: استعمل صيغة مساحة المستطيل بعد تحديد طول البركة وعرضها بالإضافة إلى عرض الممر. حل: بما أن الممر منتظم من جميع جهات البركة، فإن طول المستطيل الممثل للبركة والممر يزيد على طول البركة بمقدار ٢س، وكذلك العرض؛ لذا يمكن تمثيل الطول بـ ٢س + ٧ والعرض بـ ٢س + ٥ المساحة = الطول × العرض = (٢س + ٧)(٢س + ٥) = ٢س(٢س) + ٢س(٥) + ٧(٢س) + ٧(٥) ... طريقة التوزيع بالترتيب = ٤س^٢ + ١٠س + ١٤س + ٣٥ ... اضرب = ٤س^٢ + ٢٤س + ٣٥ ... اجمع الحدود المتشابهة لذا تكون المساحة الكلية للممر والبركة معًا هي ٤س^٢ + ٢٤س + ٣٥ تحقق: اختر قيمة لـ س وعوضها في العبارتين (٢س + ٧)(٢س + ٥)، ٤س^٢ + ٢٤س + ٣٥ ستجد أن النتيجة هي نفسها لكلتا العبارتين.

٣) إذا كان طول البركة ٩ م وعرضها ٧ م، فأوجد مساحة سطح البركة والممر معًا.

ضرب كثيرات الحدود: يمكنك استعمال خاصية التوزيع أيضًا لإيجاد ناتج ضرب كثيرتي حدود.

خاصية التوزيع أوجد ناتج الضرب في كل مما يأتي: أ) (٦س + ٥)(٢س^٢ - ٣س - ٥) (٦س + ٥)(٢س^٢ - ٣س - ٥) = ٦س(٢س^٢ - ٣س - ٥) + ٥(٢س^٢ - ٣س - ٥) ... خاصية التوزيع = ١٢س^٣ - ١٨س^٢ - ٣٠س + ١٠س^٢ - ١٥س - ٢٥ ... اضرب. = ١٢س^٣ - ٨س^٢ - ٤٥س - ٢٥ ... اجمع الحدود المتشابهة ب) (٢ص^٢ + ٣ص - ١)(٣ص^٢ - ٥ص + ٢) (٢ص^٢ + ٣ص - ١)(٣ص^٢ - ٥ص + ٢) = ٢ص^٢(٣ص^٢ - ٥ص + ٢) + ٣ص(٣ص^٢ - ٥ص + ٢) - ١(٣ص^٢ - ٥ص + ٢) ... خاصية التوزيع = ٦ص^٤ - ١٠ص^٣ + ٤ص^٢ + ٩ص^٣ - ١٥ص^٢ + ٦ص - ٣ص^٢ + ٥ص - ٢ ... اضرب = ٦ص^٤ - ص^٣ - ١٤ص^٢ + ١١ص - ٢ ... اجمع الحدود المتشابهة

تحقق من فهمك

تعتمد تكلفة بركة السباحة على عدة عوامل، منها: كون البركة فوق مستوى سطح الأرض، أو دون مستوى سطحها، ونوع المادة المستعملة في تبليطها.

ضرب كثيرات الحدود: عند ضرب كثيرة حدود تحوي م حدًا في أخرى تحوي ن حدًا، سيكون ناتج الضرب قبل التبسيط كثيرة حدود تحوي م × ن حدًا، وفي المثال (٤أ) ناتج الضرب يحوي ٣×٢ = ٦ حدود قبل التبسيط.

٤٧ الفصل ٦: ضرب كثيرات الحدود وزارة التعليم Ministry of Education 2024 - 1446

مثال ٣ من واقع الحياة التوزيع بالترتيب --- SECTION: مثال ٣ --- بركة سباحة: يحيط ممر ببركة سباحة مستطيلة الشكل. إذا كان عرض الممر هو س متر. فاكتب عبارة تمثل مساحة سطح البركة والممر معًا. افهم: المطلوب كتابة عبارة لمساحة سطح البركة والممر حولها. خطط: استعمل صيغة مساحة المستطيل بعد تحديد طول البركة وعرضها بالإضافة إلى عرض الممر. حل: بما أن الممر منتظم من جميع جهات البركة، فإن طول المستطيل الممثل للبركة والممر يزيد على طول البركة بمقدار ٢س، وكذلك العرض؛ لذا يمكن تمثيل الطول بـ ٢س + ٧ والعرض بـ ٢س + ٥ المساحة = الطول × العرض = (٢س + ٧)(٢س + ٥) = ٢س(٢س) + ٢س(٥) + ٧(٢س) + ٧(٥) ... طريقة التوزيع بالترتيب = ٤س^٢ + ١٠س + ١٤س + ٣٥ ... اضرب = ٤س^٢ + ٢٤س + ٣٥ ... اجمع الحدود المتشابهة لذا تكون المساحة الكلية للممر والبركة معًا هي ٤س^٢ + ٢٤س + ٣٥ تحقق: اختر قيمة لـ س وعوضها في العبارتين (٢س + ٧)(٢س + ٥)، ٤س^٢ + ٢٤س + ٣٥ ستجد أن النتيجة هي نفسها لكلتا العبارتين. --- SECTION: تحقق من فهمك --- ٣) إذا كان طول البركة ٩ م وعرضها ٧ م، فأوجد مساحة سطح البركة والممر معًا. ضرب كثيرات الحدود: يمكنك استعمال خاصية التوزيع أيضًا لإيجاد ناتج ضرب كثيرتي حدود. --- SECTION: مثال ٤ --- خاصية التوزيع أوجد ناتج الضرب في كل مما يأتي: أ) (٦س + ٥)(٢س^٢ - ٣س - ٥) (٦س + ٥)(٢س^٢ - ٣س - ٥) = ٦س(٢س^٢ - ٣س - ٥) + ٥(٢س^٢ - ٣س - ٥) ... خاصية التوزيع = ١٢س^٣ - ١٨س^٢ - ٣٠س + ١٠س^٢ - ١٥س - ٢٥ ... اضرب. = ١٢س^٣ - ٨س^٢ - ٤٥س - ٢٥ ... اجمع الحدود المتشابهة ب) (٢ص^٢ + ٣ص - ١)(٣ص^٢ - ٥ص + ٢) (٢ص^٢ + ٣ص - ١)(٣ص^٢ - ٥ص + ٢) = ٢ص^٢(٣ص^٢ - ٥ص + ٢) + ٣ص(٣ص^٢ - ٥ص + ٢) - ١(٣ص^٢ - ٥ص + ٢) ... خاصية التوزيع = ٦ص^٤ - ١٠ص^٣ + ٤ص^٢ + ٩ص^٣ - ١٥ص^٢ + ٦ص - ٣ص^٢ + ٥ص - ٢ ... اضرب = ٦ص^٤ - ص^٣ - ١٤ص^٢ + ١١ص - ٢ ... اجمع الحدود المتشابهة --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك ٤أ. (٣س - ٥)(٢س^٢ + ٧س - ٨) ٤ب. (م^٢ + ٢م - ٣)(٤م^٢ - ٧م + ٥) --- SECTION: الربط مع الحياة --- تعتمد تكلفة بركة السباحة على عدة عوامل، منها: كون البركة فوق مستوى سطح الأرض، أو دون مستوى سطحها، ونوع المادة المستعملة في تبليطها. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- ضرب كثيرات الحدود: عند ضرب كثيرة حدود تحوي م حدًا في أخرى تحوي ن حدًا، سيكون ناتج الضرب قبل التبسيط كثيرة حدود تحوي م × ن حدًا، وفي المثال (٤أ) ناتج الضرب يحوي ٣×٢ = ٦ حدود قبل التبسيط. ٤٧ الفصل ٦: ضرب كثيرات الحدود وزارة التعليم Ministry of Education 2024 - 1446 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: مخطط يوضح بركة سباحة مستطيلة محاطة بممر. البركة ملونة باللون الأزرق الفاتح وأبعادها ٧ م و ٥ م. الممر ملون باللون البني وعرضه س م. الأبعاد الكلية للمستطيل الخارجي هي ٢س + ٧ و ٢س + ٥. Key Values: طول البركة: ٧ م, عرض البركة: ٥ م, عرض الممر: س م Context: يوضح المسألة اللفظية في المثال ٣ حول حساب مساحة البركة والممر معًا. **IMAGE**: Untitled Description: صورة فوتوغرافية لسباح يقفز في بركة سباحة داخلية. Context: ربط موضوع الدرس (مساحة بركة السباحة) بالواقع.