الربط مع الحياة - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 28: 28) تعبير: وضح إذا كانت العبارة "يمكن استعمال التوزيع بالترتيب لضرب ثلاثية حد في ثلاثية حدود" صحيحة دائماً أم صحيحة أحيانا أم غير صحيحة أبداً، وفسر إجابتك.

الإجابة: صحيحة دائماً؛ لأننا نضرب كل حد في الثنائية في كل حد في الثنائية (خاصية التوزيع).

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | الوصف | |---------|--------| | العبارة | "يمكن استعمال التوزيع بالترتيب لضرب ثلاثية حد في ثلاثية حدود" | | المطلوب | تحديد صحة العبارة (دائماً، أحياناً، أبداً) وتفسير الإجابة. |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم - خاصية التوزيع** - **خاصية التوزيع** تُستخدم لضرب كثيرتي حدود، حيث **نضرب كل حد** من كثيرة الحدود الأولى في **كل حد** من كثيرة الحدود الثانية. - بالنسبة لـ **ثلاثية حد في ثلاثية حدود**، يمكن تطبيق هذه الخاصية بضرب كل حد من الحدود الثلاثة الأولى في كل حد من الحدود الثلاثة الثانية.
3. **الخطوة 3: تحليل العبارة** - عند ضرب ثلاثيتي حدود، مثل $(a + b + c)(x + y + z)$: 1. نوزع $a$ على $(x + y + z)$: $a \cdot x + a \cdot y + a \cdot z$. 2. ثم نوزع $b$ على $(x + y + z)$: $b \cdot x + b \cdot y + b \cdot z$. 3. ثم نوزع $c$ على $(x + y + z)$: $c \cdot x + c \cdot y + c \cdot z$. - هذه العملية منهجية وتُطبق **دائماً**، لأنها تعتمد على قاعدة التوزيع الأساسية في الجبر.
4. **الخطوة 4: الإجابة النهائية** > العبارة **صحيحة دائماً**؛ لأن خاصية التوزيع تسمح لنا بضرب كل حد في الثلاثية الأولى بكل حد في الثلاثية الثانية، وهذا إجراء قياسي يمكن تطبيقه في جميع حالات ضرب كثيرات الحدود.

سؤال 31: 31) اكتب: لخص الطرق التي يمكن استعمالها لضرب كثيرات الحدود.

الإجابة: خاصية التوزيع، طريقة FOIL، أو نموذج المساحة.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | الوصف | |---------|--------| | المطلوب | تلخيص الطرق التي يمكن استخدامها لضرب كثيرات الحدود. |
2. **الخطوة 2: عرض الطرق الرئيسية** يمكن تلخيص طرق ضرب كثيرات الحدود في الجدول التالي: | الطريقة | الوصف | مثال توضيحي | |----------|--------|--------------| | **خاصية التوزيع** | توزيع كل حد من كثيرة الحدود الأولى على كل حد من كثيرة الحدود الثانية. | $(a+b)(x+y) = a(x+y) + b(x+y)$ | | **طريقة FOIL** | تستخدم لضرب **ثنائيتي حدود** فقط، وتتبع ترتيب: <br> **F**irst (الأولان) <br> **O**uter (الطرفان) <br> **I**nner (الوسطان) <br> **L**ast (الأخيران) | $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$ | | **نموذج المساحة** | تمثيل الضرب كمستطيل، حيث الأبعاد هما كثيري الحدود، ومساحة المستطيلات الفرعية تمثل الحدود الناتجة. | ![تمثيل هندسي] (يمكن رسم مستطيل مقسم) |
3. **الخطوة 3: ملاحظات مهمة** > - **خاصية التوزيع** هي الطريقة الأكثر عمومية وتنطبق على أي عدد من الحدود. > - **طريقة FOIL** هي حالة خاصة من التوزيع وتنطبق فقط على ضرب ثنائيتي حدود. > - **نموذج المساحة** يساعد في الفهم البصري والهندسي لعملية الضرب.
4. **الخطوة 4: الإجابة النهائية** > الطرق الرئيسية لضرب كثيرات الحدود هي: **خاصية التوزيع** (وهي الأساس)، **طريقة FOIL** (لثنائيتي حدود)، و **نموذج المساحة** (للفهم الهندسي).

سؤال 33: 33) إجابة قصيرة: أي نقطة على خط الأعداد تمثل عدداً مكعباً أكبر منه؟

الإجابة: النقطة ن

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | الوصف | |---------|--------| | السؤال | أي نقطة على خط الأعداد تمثل عدداً مكعباً أكبر منه؟ | | المعطيات الضمنية | خط أعداد يظهر نقاطًا مرقمة (غير موضحة في السؤال مباشرة). يُفهم أن النقطة **ن** تمثل العدد المكعب. | | المطلوب | تحديد النقطة التي تمثل عدداً مكعباً **أكبر منه** (أي أن العدد نفسه أكبر من مكعبه). |
2. **الخطوة 2: مفهوم العدد المكعب الأكبر منه** - **العدد المكعب** للعدد $x$ هو $x^3$. - عبارة "تمثل عدداً مكعباً أكبر منه" تعني: $x^3 > x$. - لحل المتباينة: 1. $x^3 > x$ 2. $x^3 - x > 0$ 3. $x(x^2 - 1) > 0$ 4. $x(x-1)(x+1) > 0$
3. **الخطوة 3: تحليل إشارة المتباينة** نحدد الفترات التي تكون فيها $x(x-1)(x+1) > 0$ باستخدام جدول الإشارة: | الفترة | $x < -1$ | $-1 < x < 0$ | $0 < x < 1$ | $x > 1$ | |---------|----------|--------------|-------------|---------| | إشارة $x$ | - | - | + | + | | إشارة $(x-1)$ | - | - | - | + | | إشارة $(x+1)$ | - | + | + | + | | **الإشارة الكلية** | **-** | **+** | **-** | **+** | > **نتيجة التحليل:** $x^3 > x$ عندما يكون $x$ في الفترة $(-1, 0)$ أو $(1, \infty)$.
4. **الخطوة 4: تفسير على خط الأعداد** - بالنظر إلى خط الأعداد، النقاط التي تمثل أعدادًا في الفترات $(-1, 0)$ أو أكبر من $1$ تحقق الشرط. - وفقاً للإجابة المعطاة (**النقطة ن**)، يُفترض أنها تقع في إحدى هاتين الفترتين (غالباً بين -1 و 0 لأنها قد تكون سالبة أو كسرية).
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** > **النقطة ن** تمثل العدد الذي يكون مكعبه أكبر منه، لأنها تقع على خط الأعداد في موضع يحقق الشرط $x^3 > x$ (أي في الفترة بين -1 و 0 أو أكبر من 1).

ما ناتج ضرب العبارتين: ٢س - ٥، ٣س + ٤؟

• أ) ٥س - ١
• ب) ٦س² - ٧س - ٢٠
• ج) ٦س² - ٢٠
• د) ٦س² + ٧س - ٢٠

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ٦س² - ٧س - ٢٠

الشرح: 1. نستخدم طريقة FOIL لضرب ثنائيتي الحدود: 2. F (الأولان): (٢س)(٣س) = ٦س². 3. O (الطرفان): (٢س)(٤) = ٨س. 4. I (الوسطان): (-٥)(٣س) = -١٥س. 5. L (الأخيران): (-٥)(٤) = -٢٠. 6. نجمع الحدود: ٦س² + ٨س - ١٥س - ٢٠ = ٦س² - ٧س - ٢٠.

تلميح: طبق طريقة FOIL (الأولان، الطرفان، الوسطان، الأخيران) لضرب ثنائيتي الحدود.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

إذا كان طول ملعب كرة طائرة ١٨ م، فأوجد مساحته، علماً بأن بعدي الملعب هما (٧ص - ٥) متر، (٨ص + ٢) متر.

• أ) ١٢٦ م^٢
• ب) ٢٢٥ م^٢
• ج) ١٦٢ م^٢
• د) ١٤٤ م^٢

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ١٦٢ م^٢

الشرح: ١. بافتراض أن أحد بعدي الملعب هو الطول المعطى: ٨ص + ٢ = ١٨. ٢. نحل المعادلة لإيجاد قيمة ص: ٨ص = ١٦، إذن ص = ٢. ٣. نعوض قيمة ص في البعد الآخر: ٧(٢) - ٥ = ١٤ - ٥ = ٩ م. ٤. نحسب المساحة: المساحة = الطول × العرض = ١٨ م × ٩ م = ١٦٢ م^٢.

تلميح: حدد قيمة 'ص' أولاً باستخدام أحد الأبعاد المعطاة وقيمة الطول، ثم أوجد البعد الآخر واحسب المساحة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

اكتب عبارة تمثل مساحة مثلث طول قاعدته ٢س + ٣، وارتفاعه ٣س - ١.

• أ) ٦س^٢ + ٧س - ٣
• ب) ٣س^٢ - ٣.٥س - ١.٥
• ج) ٣س^٢ + ٣.٥س + ١.٥
• د) ٣س^٢ + ٣.٥س - ١.٥

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: ٣س^٢ + ٣.٥س - ١.٥

الشرح: ١. صيغة مساحة المثلث: ٠.٥ × القاعدة × الارتفاع. ٢. بالتعويض: ٠.٥ × (٢س + ٣) × (٣س - ١). ٣. نضرب الثنائيتين: (٢س + ٣)(٣س - ١) = ٦س^٢ - ٢س + ٩س - ٣ = ٦س^٢ + ٧س - ٣. ٤. نضرب الناتج في ٠.٥: ٠.٥(٦س^٢ + ٧س - ٣) = ٣س^٢ + ٣.٥س - ١.٥.

تلميح: تذكر أن مساحة المثلث = نصف القاعدة × الارتفاع، واستخدم خاصية التوزيع لضرب كثيرات الحدود.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

اكتب عبارة تمثل مربع مجموع الحدين أ + ب.

• أ) أ^٢ + ب^٢
• ب) أ^٢ + أب + ب^٢
• ج) أ^٢ + ٢أب + ب^٢
• د) ٢(أ + ب)

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: أ^٢ + ٢أب + ب^٢

الشرح: ١. مربع مجموع حدين (أ + ب)^٢ يعني (أ + ب) مضروبة في (أ + ب). ٢. بتطبيق خاصية التوزيع أو طريقة FOIL: أ×أ + أ×ب + ب×أ + ب×ب. ٣. بجمع الحدود المتشابهة: أ^٢ + أب + أب + ب^٢ = أ^٢ + ٢أب + ب^٢.

تلميح: تذكر قاعدة فك الأقواس لتربيع مجموع حدين.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

وضّح إذا كانت العبارة "يمكن استعمال التوزيع بالترتيب لضرب ثنائية حد في ثلاثية حدود" صحيحة دائمًا، أم صحيحة أحيانًا، أم غير صحيحة أبدًا، وفسّر إجابتك.

• أ) صحيحة أحيانًا
• ب) غير صحيحة أبدًا
• ج) صحيحة دائمًا
• د) صحيحة فقط إذا كانت الحدود متشابهة

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: صحيحة دائمًا

الشرح: ١. خاصية التوزيع هي مبدأ أساسي في الجبر يسمح بضرب كل حد من كثيرة حدود في كل حد من كثيرة حدود أخرى. ٢. هذا المبدأ ينطبق بغض النظر عن عدد الحدود في كل كثيرة حدود. ٣. لذلك، يمكن دائمًا استخدام التوزيع لضرب ثنائية حد في ثلاثية حدود.

تلميح: فكر في خاصية التوزيع وكيفية تطبيقها على أي عدد من الحدود.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

لخّص الطرق التي يمكن استعمالها لضرب كثيرات الحدود.

• أ) خاصية التوزيع فقط
• ب) طريقة FOIL، التحليل إلى عوامل
• ج) خاصية التجميع، القسمة التركيبية
• د) خاصية التوزيع، طريقة FOIL، نموذج المساحة

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: خاصية التوزيع، طريقة FOIL، نموذج المساحة.

الشرح: ١. خاصية التوزيع هي الطريقة الأساسية والأكثر عمومية لضرب كثيرات الحدود. ٢. طريقة FOIL هي حالة خاصة ومناسبة لضرب ثنائيتي حدود. ٣. نموذج المساحة هو تمثيل بصري لعملية ضرب كثيرات الحدود.

تلميح: فكر في الطرق الرئيسية لضرب التعبيرات الجبرية.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

اكتب عبارة تمثل مساحة ملعب كرة طائرة أبعاده (٧ص - ٥) متر و (٨ص + ٢) متر.

• أ) ٥٦ص² + ٥٤ص - ١٠
• ب) ٥٦ص² - ١٠
• ج) ٥٦ص² + ٢٦ص - ١٠
• د) ٥٦ص² - ٢٦ص - ١٠

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: ٥٦ص² - ٢٦ص - ١٠

الشرح: 1. مساحة المستطيل = الطول × العرض. 2. نضرب (٧ص - ٥)(٨ص + ٢) باستخدام خاصية التوزيع (أو FOIL). 3. (٧ص)(٨ص) + (٧ص)(٢) + (-٥)(٨ص) + (-٥)(٢) 4. ٥٦ص² + ١٤ص - ٤٠ص - ١٠ 5. نجمع الحدود المتشابهة: ٥٦ص² - ٢٦ص - ١٠.

تلميح: تذكر أن مساحة المستطيل هي حاصل ضرب بعديه، واستخدم طريقة FOIL لضرب ثنائيتي الحدود.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

اكتب جملة توضح كيفية الحصول على مربع مجموع حدين.

• أ) مربع الحد الأول، زائد ضعف حاصل ضرب الحدين، زائد مربع الحد الثاني.
• ب) مربع الحد الأول زائد مربع الحد الثاني فقط.
• ج) حاصل ضرب الحد الأول في ضعف الحد الثاني.
• د) مربع الحد الأول، ناقص ضعف حاصل ضرب الحدين، زائد مربع الحد الثاني.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: مربع الحد الأول، زائد ضعف حاصل ضرب الحدين، زائد مربع الحد الثاني.

الشرح: 1. مربع مجموع حدين (أ+ب)² يعني (أ+ب) × (أ+ب). 2. عند فك الأقواس ينتج أ² + أب + بأ + ب². 3. نجمع الحدود المتشابهة لنحصل على أ² + ٢أب + ب².

تلميح: تذكر قاعدة فك مربع ذي الحدين (أ+ب)².

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

أوجد ناتج : (س^م + س^ن)(س^م-١ - س^١-ن + س^ن).

• أ) س^(٢م-١) + س^(م-ن+١) + س^(م+ن) + س^(م+ن-١) - س + س^(٢ن)
• ب) س^(٢م) - س^(م-ن) + س^(م+ن) + س^(م+ن) - س^٠ + س^(٢ن)
• ج) س^(٢م-١) - س^(م-ن+١) + س^(م+ن) + س^(م+ن-١) - س + س^(٢ن)
• د) س^(٢م-١) + س^(٢ن)

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: س^(٢م-١) - س^(م-ن+١) + س^(م+ن) + س^(م+ن-١) - س + س^(٢ن)

الشرح: 1. نستخدم خاصية التوزيع بضرب كل حد من القوس الأول في كل حد من القوس الثاني. 2. س^م × س^(م-١) = س^(٢م-١) 3. س^م × (-س^(١-ن)) = -س^(م+١-ن) 4. س^م × س^ن = س^(م+ن) 5. س^ن × س^(م-١) = س^(ن+م-١) 6. س^ن × (-س^(١-ن)) = -س^(ن+١-ن) = -س 7. س^ن × س^ن = س^(٢ن) 8. نجمع الحدود الناتجة.

تلميح: طبق خاصية التوزيع (ضرب كثيرات الحدود) وتذكر قواعد الأسس عند الضرب: س^أ × س^ب = س^(أ+ب).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

أي مما يلي يمثل ناتج ضرب الثنائية (س+1) والثلاثية (س²+س+1)؟

• أ) س³ + ١
• ب) س³ + س² + س + ١
• ج) س³ + ٢س² + ٢س + ١
• د) س³ - ٢س² + ٢س + ١

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: س³ + ٢س² + ٢س + ١

الشرح: 1. نضرب س في كل حد من الثلاثية: س(س²+س+١) = س³+س²+س. 2. نضرب 1 في كل حد من الثلاثية: ١(س²+س+١) = س²+س+١. 3. نجمع النواتج: (س³+س²+س) + (س²+س+١). 4. نجمع الحدود المتشابهة: س³ + (س²+س²) + (س+س) + ١ = س³ + ٢س² + ٢س + ١.

تلميح: استخدم خاصية التوزيع بضرب كل حد من الثنائية في جميع حدود الثلاثية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط