مفهوم أساسي: مربع الفرق بين حدين - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 مربع الفرق بين حدين

المفاهيم الأساسية

مربع الفرق بين حدين: مربع (أ – ب) هو مربع أ ناقص مثلي حاصل ضرب أ في ب مضافاً إليه مربع ب.

المربع الكامل: ناتج مربع الفرق بين حدين (ثلاثي الحدود الذي يشكل مربعاً كاملاً).

خريطة المفاهيم

```markmap

مربع الفرق بين حدين

القاعدة العامة

التعبير اللفظي

• مربع (أ – ب) = مربع أ – ٢ × (أ × ب) + مربع ب

التعبير الرمزي

• (أ – ب)² = أ² – ٢أب + ب²

طريقة الاشتقاق

• اكتب (أ – ب) على صورة أ + (– ب)
• طبق قاعدة مربع مجموع حدين
• (أ – ب)² = [(أ) + (– ب)]² = أ² + ٢(أ)(– ب) + (– ب)² = أ² – ٢أب + ب²

تنبيه مهم

• (أ – ب)² ≠ أ² – ب²
• (أ – ب)² = أ² – ٢أب + ب²
• (أ – ب)(أ + ب) = أ² – ب²

تطبيقات

• تبسيط المقادير الجبرية
• حل مسائل من واقع الحياة (مثل مساحة السطح)

```

نقاط مهمة

• قاعدة مربع الفرق تنتج ثلاثي حدود يسمى المربع الكامل.
• يجب التمييز بين (أ – ب)² و (أ – ب)(أ + ب)، فالأولى تعطي أ² – ٢أب + ب² والثانية تعطي أ² – ب².
• يمكن استخدام القاعدة لإيجاد أنماط لحل مسائل من واقع الحياة.

---

حل مثال

مثال ٢: أوجد ناتج: (س² – ٥ص)²

الحل:

نطبق قاعدة مربع الفرق: (أ – ب)² = أ² – ٢أب + ب²

هنا: أ = س² و ب = ٥ص

نعوض في القاعدة:

(س² – ٥ص)² = (س²)² – ٢(س²)(٥ص) + (٥ص)²

نبسط:

= س⁴ – ١٠س²ص + ٢٥ص²

مثال ٣ من واقع الحياة (فيزياء):

المسألة: طول ضلع مكعب ألمنيوم أقل من طول ضلع مكعب نحاس بـ ٤ سم. اكتب معادلة تمثل مساحة سطح مكعب الألمنيوم بدلالة طول ضلع مكعب النحاس.

الحل:

ليكن `جـ` طول ضلع مكعب النحاس.

إذن طول ضلع مكعب الألمنيوم هو: `جـ – ٤`.

مساحة سطح المكعب = ٦ × (طول الضلع)²

معادلة مساحة سطح مكعب الألمنيوم:

مساحة\ السطح = ٦(جـ – ٤)²

باستخدام قاعدة مربع الفرق:

(جـ – ٤)² = جـ² – ٢(جـ)(٤) + (٤)² = جـ² – ٨جـ + ١٦

إذن:

مساحة\ السطح = ٦(جـ² – ٨جـ + ١٦)

مساحة\ السطح = ٦جـ² – ٤٨جـ + ٩٦

---

تحقق من فهمك

السؤال الأول:

أ) (ب – ١)²

الحل: بتطبيق القاعدة (أ – ب)² = أ² – ٢أب + ب²

حيث أ = ب و ب = ١

(ب – ١)² = ب² – ٢(ب)(١) + (١)² = ب² – ٢ب + ١

ب) (أ – ب)(أ + ب)

الحل: هذه ليست حالة مربع فرق، بل هي حالة فرق بين مربعين.

(أ – ب)(أ + ب) = أ² – ب²

السؤال الثاني (حديقة):

أ) كيف يمكن التعبير عن مساحة الحديقة الجديدة بمربع ثنائية الحد السابقة؟

الحل:

• الحديقة الأصلية طولها وعرضها ٣ أمتار، إذن مساحتها = ٣ × ٣ = ٩ م².
• بعد إضافة ٣ أمتار لكل بعد، يصبح الطول = ٣ + ٣ = ٦ أمتار، والعرض = ٣ + ٣ = ٦ أمتار.
• مساحة الحديقة الجديدة = ٦ × ٦ = ٣٦ م².
• يمكن التعبير عن المساحة الجديدة كمربع ثنائية الحد (٣ + ٣)، أي (٣ + ٣)².

ب) أوجد مربع مساحة الحديقة الثنائية الحد السابقة.

الحل:

(٣ + ٣)² = ٦² = ٣٦

أو بتطبيق قاعدة مربع المجموع:

(٣ + ٣)² = ٣² + ٢(٣)(٣) + ٣² = ٩ + ١٨ + ٩ = ٣٦

ولإيجاد قاعدة مربع الفرق بين حدين، اكتب أ- ب على صورة أ + (- ب)، وربّع الناتج باستعمال قاعدة مربع مجموع حدين. (أ - ب)² = [أ + (- ب)]² = أ² + 2(أ)(- ب) + (- ب)² = أ² - 2أب + ب²

التعبير اللفظي: مربع (أ - ب) هو مربع أ ناقص مثلي حاصل ضرب أ في ب مضافًا إليه مربع ب. الرموز: (أ - ب)² = (أ - ب)(أ - ب) = أ² - 2أب + ب² مثال: (س - 3)² = (س - 3)(س - 3) = س² - 6س + 9

مربع الفرق بين حدين تذكر أن ناتج (س - 7)² لا يساوي س² - 7² أو س² - 49، وأن (س - 7)² = (س - 7)(س - 7) = س² - 14س + 49

أوجد ناتج: (2س - 5ص)². (أ - ب)² = أ² - 2أب + ب² (مربع الفرق) (2س - 5ص)² = (2س)² - 2(2س)(5ص) + (5ص)² (أ = 2س، ب = 5ص) = 4س² - 20س ص + 25ص² (بسّط)

تحقق من فهمك

يُسمى ناتج مربع المجموع أو مربع الفرق بين حدين بالمربع الكامل أو ثلاثي الحدود الذي يشكل مربعًا كاملاً. ويمكنك استعمال هذه القواعد لإيجاد أنماط لحل مسائل من واقع الحياة.

فيزياء: طول ضلع مكعب ألمنيوم أقل من طول ضلع مكعب نحاس بـ 4 سم. اكتب معادلة تمثل مساحة سطح مكعب الألمنيوم بدلالة طول ضلع مكعب النحاس. ليكن جـ طول ضلع مكعب النحاس، إذن طول ضلع مكعب الألمنيوم جـ - 4 مساحة السطح = 6ل² (مساحة سطح المكعب) مساحة السطح = 6(جـ - 4)² (عوّض عن ل بـ (جـ - 4)) مساحة السطح = 6[جـ² - 2(4)(جـ) + 4²] (مربع الفرق) مساحة السطح = 6(جـ² - 8جـ + 16) (بسّط)

3) حديقة: لدى عماد حديقة، طولها وعرضها ل مترًا، ويريد إضافة 3 أمتار إلى كل من الطول والعرض.

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

ولإيجاد قاعدة مربع الفرق بين حدين، اكتب أ- ب على صورة أ + (- ب)، وربّع الناتج باستعمال قاعدة مربع مجموع حدين. (أ - ب)² = [أ + (- ب)]² = أ² + 2(أ)(- ب) + (- ب)² = أ² - 2أب + ب² --- SECTION: مفهوم أساسي: مربع الفرق بين حدين --- التعبير اللفظي: مربع (أ - ب) هو مربع أ ناقص مثلي حاصل ضرب أ في ب مضافًا إليه مربع ب. الرموز: (أ - ب)² = (أ - ب)(أ - ب) = أ² - 2أب + ب² مثال: (س - 3)² = (س - 3)(س - 3) = س² - 6س + 9 --- SECTION: تنبيه! --- مربع الفرق بين حدين تذكر أن ناتج (س - 7)² لا يساوي س² - 7² أو س² - 49، وأن (س - 7)² = (س - 7)(س - 7) = س² - 14س + 49 --- SECTION: مثال 2: مربع الفرق بين حدين --- أوجد ناتج: (2س - 5ص)². (أ - ب)² = أ² - 2أب + ب² (مربع الفرق) (2س - 5ص)² = (2س)² - 2(2س)(5ص) + (5ص)² (أ = 2س، ب = 5ص) = 4س² - 20س ص + 25ص² (بسّط) --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك 2أ. (6ب - 1)² 2ب. (أ - 2ب)² يُسمى ناتج مربع المجموع أو مربع الفرق بين حدين بالمربع الكامل أو ثلاثي الحدود الذي يشكل مربعًا كاملاً. ويمكنك استعمال هذه القواعد لإيجاد أنماط لحل مسائل من واقع الحياة. --- SECTION: مثال 3 من واقع الحياة: مربع الفرق بين حدين --- فيزياء: طول ضلع مكعب ألمنيوم أقل من طول ضلع مكعب نحاس بـ 4 سم. اكتب معادلة تمثل مساحة سطح مكعب الألمنيوم بدلالة طول ضلع مكعب النحاس. ليكن جـ طول ضلع مكعب النحاس، إذن طول ضلع مكعب الألمنيوم جـ - 4 مساحة السطح = 6ل² (مساحة سطح المكعب) مساحة السطح = 6(جـ - 4)² (عوّض عن ل بـ (جـ - 4)) مساحة السطح = 6[جـ² - 2(4)(جـ) + 4²] (مربع الفرق) مساحة السطح = 6(جـ² - 8جـ + 16) (بسّط) --- SECTION: تحقق من فهمك --- 3) حديقة: لدى عماد حديقة، طولها وعرضها ل مترًا، ويريد إضافة 3 أمتار إلى كل من الطول والعرض. أ. بيّن كيف يمكن التعبير عن مساحة الحديقة الجديدة بمربع ثنائية حد. ب. أوجد مربع ثنائية الحد السابقة. رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: رسم توضيحي لمكعبين باللون الأزرق. المكعب العلوي يمثل مكعب النحاس وطول ضلعه مشار إليه بالحرف 'جـ'. المكعب السفلي يمثل مكعب الألمنيوم وطول ضلعه مشار إليه بالتعبير 'جـ - 4'. Context: يوضح الرسم العلاقة بين أطوال أضلاع المكعبين المستخدمة في حل المثال الفيزيائي رقم 3.