صفحة 55 - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 48: تحقّق: هل يوجد قاعدة لمكعب المجموع (أ + ب)^3؟ (أ) استقص إجابة هذا السؤال بإيجاد ناتج: (أ + ب)^3. (ب) استعمل القاعدة التي وجدتها في الفرع (أ) لإيجاد ناتج: (س + 2)^3.

الإجابة: (أ) (أ + ب)^3 = أ^3 + 3أ^2ب + 3أب^2 + ب^3. (ب) (س + 2)^3 = س^3 + 6س^2 + 12س + 8.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الجزء | المطلوب | |-------|---------| | (أ) | إيجاد قاعدة (أ + ب)^3 وتطويرها خطوة بخطوة | | (ب) | تطبيق القاعدة على العبارة (س + 2)^3 |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** يتم الاستناد إلى تعريف الأسس وقواعد ضرب كثيرات الحدود (خاصية التوزيع). > **تذكير:** $(أ + ب)^3 = (أ + ب) \times (أ + ب) \times (أ + ب)$.
3. **الخطوة 3: إيجاد ناتج (أ + ب)^3 (الجزء أ)** 1. لنكتب المكعب كحاصل ضرب: $(أ + ب)^3 = (أ + ب) \times (أ + ب)^2$ 2. نوجد ناتج $(أ + ب)^2$ باستخدام **قاعدة مربع المجموع**: $(أ + ب)^2 = أ^2 + 2أب + ب^2$ 3. نضرب الناتج في $(أ + ب)$: $(أ^2 + 2أب + ب^2) \times (أ + ب)$ 4. نطبق **خاصية التوزيع (الضرب)**: $(أ^2 + 2أب + ب^2) \times (أ + ب) = أ^2(أ+ب) + 2أب(أ+ب) + ب^2(أ+ب)$ 5. نوزع مرة أخرى: $= أ^3 + أ^2ب + 2أ^2ب + 2أب^2 + أب^2 + ب^3$ 6. **نجمع الحدود المتشابهة**: $= أ^3 + (أ^2ب + 2أ^2ب) + (2أب^2 + أب^2) + ب^3$ $= أ^3 + 3أ^2ب + 3أب^2 + ب^3$ > **القاعدة العامة لمكعب المجموع هي:** $(أ + ب)^3 = أ^3 + 3أ^2ب + 3أب^2 + ب^3$
4. **الخطوة 4: تطبيق القاعدة على (س + 2)^3 (الجزء ب)** 1. نحدد الحدود في المثال: $أ = س$ $ب = 2$ 2. نعوض في القاعدة العامة $(أ + ب)^3 = أ^3 + 3أ^2ب + 3أب^2 + ب^3$: $(س + 2)^3 = (س)^3 + 3 \times (س)^2 \times (2) + 3 \times (س) \times (2)^2 + (2)^3$ 3. **نحسب كل حد على حدة**: $س^3 = س^3$ $3 \times س^2 \times 2 = 6س^2$ $3 \times س \times 4 = 12س$ $2^3 = 8$ 4. نجمع الناتج: $(س + 2)^3 = س^3 + 6س^2 + 12س + 8$
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** ✅ **نعم، توجد قاعدة لمكعب المجموع**، ويمكن تطبيقها بسهولة. نتيجة الجزء (ب) بعد التبسيط هي: $س^3 + 6س^2 + 12س + 8$.

سؤال 49: تبرير: أوجد قيمة جـ التي تجعل من العبارة 25 س^2 − 90 س + جـ مربعًا كاملاً.

الإجابة: ج = 81، إذ أن 25 س^2 − 90 س + 81 = (5 س − 9)^2.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | $25س^2 - 90س + جـ$ | إيجاد قيمة الثابت **جـ** التي تجعل العبارة **مربعًا كاملاً** لثنائية حد. |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** صورة **مربع ثنائية الحد الكامل**: $(أ \pm ب)^2 = أ^2 \pm 2أب + ب^2$ نقارن معطياتنا $25س^2 - 90س + جـ$ بهذه الصورة.
3. **الخطوة 3: مقارنة المعاملات مع صورة المربع الكامل** 1. نحدد الحد الأول في الصورة $أ^2$ ونساويه بحدنا الأول: $أ^2 = 25س^2$ بأخذ الجذر التربيعي: $أ = 5س$ (نأخذ الموجب أو السالب، الإشارة ستحدد لاحقاً). 2. نحدد الحد الأوسط في الصورة $\pm 2أب$ ونساويه بحدنا الأوسط: $2أب = 90س$ (لاحظ أننا نأخذ القيمة المطلقة لأن الإشارة في الحد الأوسط لدينا هي **سالب**). 3. نعوض بقيمة $أ = 5س$ في معادلة الحد الأوسط: $2 \times (5س) \times ب = 90س$ $10س \times ب = 90س$ 4. بقسمة الطرفين على $10س$ (بافتراض $س \ne 0$): $ب = \frac{90س}{10س} = 9$ 5. نحدد إشارة $ب$ من خلال إشارة الحد الأوسط في المعطيات. الحد الأوسط لدينا هو **$-90س$**، وبما أن $أ = 5س$ موجبة، فلكي يكون حاصل $2أب$ سالباً يجب أن تكون إشارة $ب$ **سالب**. > **تصحيح:** $ب = -9$ 6. الآن نحدد الحد الأخير في صورة المربع الكامل، وهو $ب^2$: $ب^2 = (-9)^2 = 81$ 7. حسب الصورة $(أ - ب)^2$، فإن العبارة الكاملة ستكون: $(5س - 9)^2 = (5س)^2 - 2 \times (5س) \times 9 + (9)^2 = 25س^2 - 90س + 81$ > **النتيجة:** يجب أن يكون $جـ = ب^2 = 81$.
4. **الخطوة 4: الإجابة النهائية** ✅ القيمة التي تجعل العبارة مربعاً كاملاً هي **جـ = 81**، حيث تصبح العبارة: $25س^2 - 90س + 81 = (5س - 9)^2$.

سؤال 50: اكتب: صف كيف تجد مربع مجموع ومربع الفرق بين حدين، وكيف تجد ناتج ضرب مجموع حدين في الفرق بينهما.

الإجابة: (أ + ب)^2 = أ^2 + 2أب + ب^2. (أ − ب)^2 = أ^2 − 2أب + ب^2. (أ + ب)(أ − ب) = أ^2 − ب^2.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المطلوب | الوصف | |---------|-------| | **مربع مجموع حدين** | وصف طريقة إيجاد $(أ + ب)^2$ | | **مربع فرق حدين** | وصف طريقة إيجاد $(أ - ب)^2$ | | **حاصل ضرب (أ+ب)(أ-ب)** | وصف طريقة إيجاد ناتج الضرب هذا |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ الأساسي** المبدأ المستخدم هو **خاصية التوزيع (الضرب)** أو ما يسمى **بطريقة FOIL** عند ضرب ثنائيتي حد. > **FOIL:** First, Outer, Inner, Last (أول، خارجي، داخلي، أخير).
3. **الخطوة 3: وصف إيجاد مربع المجموع $(أ + ب)^2$** 1. اكتب مربع المجموع على صورة حاصل ضرب: $(أ + ب)^2 = (أ + ب) \times (أ + ب)$ 2. وزع ضرب كل حد في القوس الأول في كل حد من القوس الثاني: $= أ(أ + ب) + ب(أ + ب)$ 3. وزع مرة أخرى: $= أ \times أ + أ \times ب + ب \times أ + ب \times ب$ 4. بسّط: $= أ^2 + أب + بأ + ب^2$ 5. بما أن $أب = بأ$، نجمع الحدين الأوسطين: $= أ^2 + 2أب + ب^2$ > **القاعدة:** $(أ + ب)^2 = أ^2 + 2أب + ب^2$ > **الوصف:** مربع مجموع حدين يساوي **مربع الأول**، **زائد** **ضعف حاصل ضرب الأول في الثاني**، **زائد** **مربع الثاني**.
4. **الخطوة 4: وصف إيجاد مربع الفرق $(أ - ب)^2$** 1. اكتب مربع الفرق على صورة حاصل ضرب: $(أ - ب)^2 = (أ - ب) \times (أ - ب)$ 2. وزع ضرب كل حد في القوس الأول في كل حد من القوس الثاني: $= أ(أ - ب) + (-ب)(أ - ب)$ 3. وزع مرة أخرى: $= أ \times أ + أ \times (-ب) + (-ب) \times أ + (-ب) \times (-ب)$ 4. بسّط: $= أ^2 - أب - بأ + ب^2$ 5. مرة أخرى، $-أب - بأ = -2أب$: $= أ^2 - 2أب + ب^2$ > **القاعدة:** $(أ - ب)^2 = أ^2 - 2أب + ب^2$ > **الوصف:** مربع فرق حدين يساوي **مربع الأول**، **ناقص** **ضعف حاصل ضرب الأول في الثاني**، **زائد** **مربع الثاني**.
5. **الخطوة 5: وصف إيجاد حاصل ضرب المجموع في الفرق $(أ+ب)(أ-ب)$** 1. اكتب العبارة: $(أ + ب)(أ - ب)$ 2. وزع ضرب كل حد في القوس الأول في كل حد من القوس الثاني: $= أ(أ - ب) + ب(أ - ب)$ 3. وزع مرة أخرى: $= أ \times أ + أ \times (-ب) + ب \times أ + ب \times (-ب)$ 4. بسّط: $= أ^2 - أب + بأ - ب^2$ 5. لاحظ أن $-أب + بأ = 0$، لأن $أب = بأ$، فيحذف الحدان الأوسطان: $= أ^2 - ب^2$ > **القاعدة:** $(أ + ب)(أ - ب) = أ^2 - ب^2$ > **الوصف:** حاصل ضرب مجموع حدين في الفرق بينهما يساوي **فرق مربعي الحدين** (مربع الأول ناقص مربع الثاني). > هذه القاعدة تسمى **فرق المربعات**.
6. **الخطوة 6: الإجابة النهائية** ✅ يمكن إيجاد هذه النواتج بتطبيق **خاصية التوزيع** بانتظام. النتائج هي قواعد جبرية مهمة: - **مربع المجموع:** $أ^2 + 2أب + ب^2$. - **مربع الفرق:** $أ^2 - 2أب + ب^2$. - **فرق المربعات (مجموع × فرق):** $أ^2 - ب^2$.

ما هي القاعدة الجبرية لمربع مجموع حدين (أ + ب)²؟

• أ) أ² + ب²
• ب) أ² + أب + ب²
• ج) أ² + 2أب + ب²
• د) أ² - 2أب + ب²

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: أ² + 2أب + ب²

الشرح: 1. نكتب مربع المجموع على صورة حاصل ضرب: (أ + ب) × (أ + ب) 2. نوزع ضرب كل حد: أ(أ + ب) + ب(أ + ب) = أ² + أب + بأ + ب² 3. نجمع الحدود المتشابهة (أب و بأ): أ² + 2أب + ب².

تلميح: فك (أ + ب)² على أنه (أ + ب) × (أ + ب) ثم طبق خاصية التوزيع.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

استعمل قاعدة مكعب المجموع (أ + ب)³ لإيجاد ناتج: (س + ٢)³.

• أ) س³ + ٨
• ب) س³ + ٦س² + ١٢س + ٨
• ج) س³ + ٣س² + ٦س + ٨
• د) س³ + ٢س² + ٤س + ٨

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: س³ + ٦س² + ١٢س + ٨

الشرح: ١. حدد الحد الأول (أ) والحد الثاني (ب): أ = س، ب = ٢. ٢. عوض في القاعدة: (س)³ + ٣(س)²(٢) + ٣(س)(٢)² + (٢)³. ٣. بسّط كل حد: س³ + (٣ × س² × ٢) + (٣ × س × ٤) + ٨. ٤. الناتج النهائي: س³ + ٦س² + ١٢س + ٨.

تلميح: تذكر أن قاعدة مكعب المجموع هي: أ³ + ٣أ²ب + ٣أب² + ب³.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد ناتج: (ج + د)(ج + د)(ج + د)

• أ) ج³ + د³
• ب) ج³ + 3ج²د + 3جد² + د³
• ج) ج³ + 2ج²د + 2جد² + د³
• د) ج³ + ج²د + جد² + د³

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ج³ + 3ج²د + 3جد² + د³

الشرح: ١. العبارة هي مكعب مجموع حدين: (ج + د)³. ٢. طبق القاعدة (أ + ب)³ = أ³ + 3أ²ب + 3أب² + ب³ حيث أ=ج و ب=د. ٣. الناتج = ج³ + 3(ج)²(د) + 3(ج)(د)² + د³ = ج³ + 3ج²د + 3جد² + د³.

تلميح: تذكر قاعدة مكعب مجموع حدين: (أ + ب)³ = أ³ + 3أ²ب + 3أب² + ب³

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد ناتج: (أ² - ب)³

• أ) أ⁶ - ب³
• ب) أ⁵ - 3أ⁴ب + 3أ²ب² - ب³
• ج) أ⁶ - 3أ⁴ب + 3أ²ب² - ب³
• د) أ⁶ + 3أ⁴ب + 3أ²ب² + ب³

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: أ⁶ - 3أ⁴ب + 3أ²ب² - ب³

الشرح: ١. العبارة هي مكعب فرق حدين: (أ² - ب)³. ٢. طبق القاعدة (س - ص)³ حيث س=أ² و ص=ب. ٣. الناتج = (أ²)³ - 3(أ²)²ب + 3(أ²)ب² - ب³. ٤. بسّط الأسس: أ⁶ - 3أ⁴ب + 3أ²ب² - ب³.

تلميح: تذكر قاعدة مكعب فرق حدين: (س - ص)³ = س³ - 3س²ص + 3سص² - ص³. ثم انتبه للأسس.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

أوجد ناتج: (ف + ج)(ف + ج)(ف - ج)(ف + ج)

• أ) ف⁴ - ج⁴
• ب) ف⁴ + 2ف³ج - 2فج³ - ج⁴
• ج) ف⁴ + 3ف³ج - 3فج³ - ج⁴
• د) ف⁴ + ف³ج - فج³ - ج⁴

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ف⁴ + 2ف³ج - 2فج³ - ج⁴

الشرح: ١. أعد ترتيب العبارة: (ف + ج)³ (ف - ج). ٢. أوجد (ف + ج)³ = ف³ + 3ف²ج + 3فج² + ج³. ٣. اضرب الناتج في (ف - ج) باستخدام خاصية التوزيع: (ف³ + 3ف²ج + 3فج² + ج³)(ف - ج) = ف(ف³ + 3ف²ج + 3فج² + ج³) - ج(ف³ + 3ف²ج + 3فج² + ج³) = ف⁴ + 3ف³ج + 3ف²ج² + فج³ - ف³ج - 3ف²ج² - 3فج³ - ج⁴ ٤. اجمع الحدود المتشابهة: ف⁴ + (3ف³ج - ف³ج) + (3ف²ج² - 3ف²ج²) + (فج³ - 3فج³) - ج⁴ ٥. بسّط: ف⁴ + 2ف³ج - 2فج³ - ج⁴.

تلميح: أعد ترتيب الحدود ثم طبق قواعد مكعب المجموع وقاعدة ضرب الفرق في المجموع، أو خاصية التوزيع خطوة بخطوة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

أوجد ناتج: (ك - م)(ك + م)(ك - م)

• أ) ك³ - م³
• ب) ك³ - ك²م + كم² - م³
• ج) ك³ - ك²م - كم² + م³
• د) ك³ + ك²م + كم² + م³

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ك³ - ك²م - كم² + م³

الشرح: ١. أعد ترتيب العبارة: (ك - م)² (ك + م). ٢. أوجد (ك - م)² = ك² - 2كم + م². ٣. اضرب الناتج في (ك + م) باستخدام خاصية التوزيع: (ك² - 2كم + م²)(ك + م) = ك(ك² - 2كم + م²) + م(ك² - 2كم + م²) = ك³ - 2ك²م + كم² + ك²م - 2كم² + م³ ٤. اجمع الحدود المتشابهة: ك³ + (-2ك²م + ك²م) + (كم² - 2كم²) + م³. ٥. بسّط: ك³ - ك²م - كم² + م³.

تلميح: أعد ترتيب الحدود لتصبح (ك - م)² (ك + م) ثم طبق قواعد مربع الفرق وضرب كثيرات الحدود.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد ناتج: (ن - ب)²(ن + ب)

• أ) ن³ - ب³
• ب) ن³ + ن²ب + نب² + ب³
• ج) ن³ - ن²ب - نب² + ب³
• د) ن³ - 2ن²ب + 2نب² - ب³

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ن³ - ن²ب - نب² + ب³

الشرح: ١. أوجد مربع الفرق: (ن - ب)² = ن² - 2نب + ب². ٢. اضرب الناتج في (ن + ب) باستخدام خاصية التوزيع: (ن² - 2نب + ب²)(ن + ب) = ن(ن² - 2نب + ب²) + ب(ن² - 2نب + ب²) = ن³ - 2ن²ب + نب² + ن²ب - 2نب² + ب³ ٣. اجمع الحدود المتشابهة: ن³ + (-2ن²ب + ن²ب) + (نب² - 2نب²) + ب³. ٤. بسّط: ن³ - ن²ب - نب² + ب³.

تلميح: طبق قاعدة مربع الفرق أولاً (ن - ب)² = ن² - 2نب + ب²، ثم اضرب الناتج في (ن + ب) باستخدام خاصية التوزيع.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد ناتج: (ك + ر)²(ك - ر)

• أ) ك³ + ك²ر + ك ر² + ر³
• ب) ك³ + ك²ر - ك ر² - ر³
• ج) ك³ - ك²ر + ك ر² - ر³
• د) ك³ - ر³

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ك³ + ك²ر - ك ر² - ر³

الشرح: ١. بسّط (ك + ر)² باستخدام قاعدة مربع المجموع: ك² + 2كر + ر². ٢. اضرب الناتج (ك² + 2كر + ر²) في (ك - ر) باستخدام خاصية التوزيع. ٣. سيصبح: ك³ - ك²ر + 2ك²ر - 2كر² + كر² - ر³. ٤. اجمع الحدود المتشابهة: ك³ + ك²ر - ك ر² - ر³.

تلميح: تذكر قاعدة مربع المجموع أولاً، ثم اضرب الناتج في فرق الحدين.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حدد العبارة المختلفة عن العبارات الثلاث الأخرى فيما يأتي: (٢ج - د)(٢ج - د)، (٢ج + د)(٢ج - د)، (٢ج + د)(٢ج + د)، (ج + د)(ج + د)

• أ) (٢ج - د)(٢ج - د)
• ب) (٢ج + د)(٢ج + د)
• ج) (٢ج + د)(٢ج - د)
• د) (ج + د)(ج + د)

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: (٢ج + د)(٢ج - د)

الشرح: ١. العبارة (٢ج - د)(٢ج - د) هي مربع فرق (٢ج - د)². ٢. العبارة (٢ج + د)(٢ج + د) هي مربع مجموع (٢ج + د)². ٣. العبارة (ج + د)(ج + د) هي مربع مجموع (ج + د)². ٤. العبارة (٢ج + د)(٢ج - د) هي الوحيدة التي تمثل فرق مربعين (٤ج² - د²).

تلميح: حلل كل عبارة لتحديد نوعها (مربع مجموع، مربع فرق، فرق مربعين).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد قيمة جـ التي تجعل من العبارة ٢٥س² - ٩٠س + جـ مربعًا كاملاً.

• أ) ٩٠
• ب) ٨١
• ج) ١٨٠
• د) ٤٥

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ٨١

الشرح: ١. من الحد الأول أ² = ٢٥س²، نستنتج أن أ = ٥س. ٢. من الحد الأوسط -٢أب = -٩٠س، بالتعويض عن أ: -٢(٥س)ب = -٩٠س، أي -١٠سب = -٩٠س. ٣. بقسمة الطرفين على -١٠س، نجد أن ب = ٩. ٤. الحد الأخير في المربع الكامل هو ب²، إذن جـ = ٩² = ٨١.

تلميح: قارن العبارة بصورة المربع الكامل: (أ - ب)² = أ² - ٢أب + ب².

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما هي القاعدة المستخدمة لإيجاد مربع فرق حدين؟

• أ) (أ − ب)² = أ² − ب²
• ب) (أ − ب)² = أ² + ٢أب + ب²
• ج) (أ − ب)² = أ² − ٢أب + ب²
• د) (أ − ب)² = أ² + ب²

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: (أ − ب)² = أ² − ٢أب + ب²

الشرح: ١. مربع فرق حدين يعني (أ - ب) مضروباً في (أ - ب). ٢. بتطبيق خاصية التوزيع: أ(أ - ب) - ب(أ - ب) = أ² - أب - بأ + ب². ٣. بجمع الحدود المتشابهة (-أب و -بأ)، نحصل على: أ² - ٢أب + ب².

تلميح: تذكر خطوات ضرب ثنائية حد في نفسها مع وجود إشارة سالبة بين الحدين.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

ما هي القاعدة الجبرية لمكعب مجموع حدين (أ + ب)³؟

• أ) أ³ + ب³
• ب) أ³ + 2أ²ب + 2أب² + ب³
• ج) أ³ + 3أ²ب + 3أب² + ب³
• د) أ³ + 3أب + ب³

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: أ³ + 3أ²ب + 3أب² + ب³

الشرح: 1. نكتب المكعب كحاصل ضرب: (أ + ب) × (أ + ب)² 2. نوجد مربع المجموع: (أ + ب)² = أ² + 2أب + ب² 3. نضرب الناتج في (أ + ب): أ(أ² + 2أب + ب²) + ب(أ² + 2أب + ب²) = أ³ + 2أ²ب + أب² + أ²ب + 2أب² + ب³ 4. نجمع الحدود المتشابهة: أ³ + 3أ²ب + 3أب² + ب³.

تلميح: تذكر أن (أ + ب)³ = (أ + ب) × (أ + ب)²، ثم فك مربع المجموع أولاً.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما هي القاعدة الجبرية لحاصل ضرب مجموع حدين في الفرق بينهما (أ + ب)(أ - ب)؟

• أ) أ² + ب²
• ب) أ² - أب + ب²
• ج) أ² - ب²
• د) أ² + 2أب + ب²

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: أ² - ب²

الشرح: 1. نكتب العبارة: (أ + ب)(أ - ب) 2. نوزع ضرب كل حد: أ(أ - ب) + ب(أ - ب) = أ² - أب + بأ - ب² 3. نلاحظ أن الحدان الأوسطان (-أب + بأ) يحذفان لأن مجموعهما صفر. 4. الناتج: أ² - ب².

تلميح: طبق خاصية التوزيع على جميع الحدود، ولاحظ الحدود التي يمكن حذفها.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

في ثلاثية الحدود المربعة الكاملة $أ² \pm 2أب + ب²$، ما العلاقة بين الحد الأوسط والحدين الطرفيين؟

• أ) الحد الأوسط هو مجموع الحدين الطرفيين.
• ب) الحد الأوسط هو حاصل ضرب الحد الأول في الحد الأخير.
• ج) الحد الأوسط هو ضعف حاصل ضرب الجذر التربيعي للحد الأول في الجذر التربيعي للحد الأخير (مع مراعاة الإشارة).
• د) الحد الأوسط هو مربع مجموع الحد الأول والحد الأخير.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: الحد الأوسط هو ضعف حاصل ضرب الجذر التربيعي للحد الأول في الجذر التربيعي للحد الأخير (مع مراعاة الإشارة).

الشرح: في ثلاثية الحدود المربعة الكاملة $(أ \pm ب)² = أ² \pm 2أب + ب²$، الحد الأوسط ($2أب$) هو ضعف حاصل ضرب الجذر التربيعي للحد الأول ($أ$) في الجذر التربيعي للحد الأخير ($ب$). الإشارة تتبع إشارة الحد الأوسط في الأصل.

تلميح: فكر في كيفية الحصول على الحد الأوسط عند فك $(أ \pm ب)²$.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما هي طريقة FOIL المستخدمة لضرب ثنائيتي حد؟

• أ) هي اختصار لضرب الحدود الأول والثاني والثالث والرابع من كل ثنائية حد.
• ب) هي اختصار لضرب الحدود المتشابهة فقط في ثنائيتي الحد.
• ج) هي اختصار لضرب الحدود الأول (First) والخارجي (Outer) والداخلي (Inner) والأخير (Last) من كل ثنائية حد ثم جمع النواتج.
• د) هي طريقة لتبسيط الحدود بعد جمعها في ثنائيتي الحد.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: هي اختصار لضرب الحدود الأول (First) والخارجي (Outer) والداخلي (Inner) والأخير (Last) من كل ثنائية حد ثم جمع النواتج.

الشرح: طريقة FOIL هي اختصار يساعد على تذكر الخطوات الأربع لضرب ثنائيتي حد: 1. F (First): اضرب الحدين الأولين. 2. O (Outer): اضرب الحدين الخارجيين. 3. I (Inner): اضرب الحدين الداخليين. 4. L (Last): اضرب الحدين الأخيرين. ثم تُجمع النواتج لتبسيط العبارة.

تلميح: FOIL هو اختصار لأربع كلمات إنجليزية تصف ترتيب الضرب.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل