مثال 3 - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 20: مثال 3 (20) مصارعة: تكون سجادة المصارعة في العادة مربعة الشكل. طول ضلعها 12 متراً تقريباً، وتحتوي على دائرتين كما في الشكل المجاور. افترض أن نصف قطر الدائرة الداخلية (ر) متر، وأن نصف قطر الدائرة الخارجية يزيد على نصف قطر الدائرة الداخلية بـ 3 أمتار. أ) اكتب عبارة تمثل مساحة الدائرة الكبرى. ب) اكتب عبارة تمثل مساحة جزء المربع خارج الدائرة الكبرى.

الإجابة: أ) مساحة الدائرة الكبرى: π(ر + 3)² ب) المنطقة المتبقية: 144 − π(ر + 3)²

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحديد المعطيات والمطلوب** | نوع العنصر | الوصف | الرمز / القيمة | |------------|-------|----------------| | شكل السجادة | مربع | - | | طول ضلع المربع | 12 متر | 12 م | | نصف قطر الدائرة الداخلية | ر متر | ر | | نصف قطر الدائرة الخارجية | يزيد عن الداخلية بـ 3 أمتار | ر + 3 م | **المطلوب:** - أ) كتابة عبارة تمثل مساحة الدائرة الكبرى. - ب) كتابة عبارة تمثل مساحة الجزء من المربع خارج الدائرة الكبرى.
2. **الخطوة 2: استدعاء القوانين الأساسية** - **مساحة الدائرة**: $A_{\text{دائرة}} = \pi r^2$ حيث $r$ هو نصف القطر. - **مساحة المربع**: $A_{\text{مربع}} = (\text{طول الضلع})^2$.
3. **الخطوة 3: حل الجزء (أ) - مساحة الدائرة الكبرى** 1. نصف قطر الدائرة الكبرى هو: $r_{\text{كبيرة}} = ر + 3$ متر. 2. بتطبيق قانون مساحة الدائرة: $$A_{\text{كبيرة}} = \pi \times (r_{\text{كبيرة}})^2 = \pi \times (ر + 3)^2$$ 3. إذن العبارة المطلوبة لمساحة الدائرة الكبرى هي: $\pi(ر + 3)^2$.
4. **الخطوة 4: حل الجزء (ب) - مساحة الجزء خارج الدائرة الكبرى** 1. نحسب أولاً مساحة المربع: $$A_{\text{مربع}} = (12)^2 = 144 \text{ م}^2$$ 2. مساحة الدائرة الكبرى حسب الجزء (أ): $A_{\text{كبيرة}} = \pi(ر + 3)^2$ 3. المساحة المتبقية خارج الدائرة الكبرى تساوي مساحة المربع ناقص مساحة الدائرة الكبرى: $$A_{\text{متبقية}} = A_{\text{مربع}} - A_{\text{كبيرة}} = 144 - \pi(ر + 3)^2$$
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** > **أ)** العبارة التي تمثل مساحة الدائرة الكبرى هي: **$\pi(ر + 3)^2$ متر مربع**. > **ب)** العبارة التي تمثل مساحة جزء المربع خارج الدائرة الكبرى هي: **$144 - \pi(ر + 3)^2$ متر مربع**.

أوجد ناتج: (3أ⁴ - ب)(3أ⁴ + ب)

• أ) 9أ¹⁶ - ب²
• ب) 9أ⁸ + ب²
• ج) 6أ⁴ - ب²
• د) 9أ⁸ - ب²

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: 9أ⁸ - ب²

الشرح: ١. طبق صيغة الفرق بين مربعين: (3أ⁴)² - (ب)² ٢. ربع الحد الأول: (3أ⁴)² = 3² × (أ⁴)² = 9أ⁸ ٣. ربع الحد الثاني: (ب)² = ب² ٤. الناتج النهائي: 9أ⁸ - ب²

تلميح: استخدم قاعدة الفرق بين مربعين: (س - ص)(س + ص) = س² - ص².

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد ناتج: (1/2 ص - 4)²

• أ) 1/4 ص² + 4ص + 16
• ب) 1/4 ص² - 2ص + 16
• ج) 1/2 ص² - 4ص + 16
• د) 1/4 ص² - 4ص + 16

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: 1/4 ص² - 4ص + 16

الشرح: ١. ربع الحد الأول: (1/2 ص)² = (1/2)² × ص² = 1/4 ص² ٢. اضرب الحدين في 2 ثم في الإشارة السالبة: -2 × (1/2 ص) × 4 = -4ص ٣. ربع الحد الثاني: (4)² = 16 ٤. اجمع الحدود: 1/4 ص² - 4ص + 16

تلميح: تذكر صيغة مربع فرق حدين: (س - ص)² = س² - 2سص + ص²

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد ناتج: (8هـ - 4ن)²

• أ) 64هـ² - 32هـن + 16ن²
• ب) 64هـ² + 64هـن + 16ن²
• ج) 8هـ² - 64هـن + 4ن²
• د) 64هـ² - 64هـن + 16ن²

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: 64هـ² - 64هـن + 16ن²

الشرح: ١. طبق صيغة مربع الفرق على المقدار (8هـ - 4ن)² ٢. الحد الأول مربع: (8هـ)² = 64هـ² ٣. الحد الأوسط: -2 × 8هـ × 4ن = -64هـن ٤. الحد الأخير مربع: (4ن)² = 16ن² ٥. الناتج النهائي: 64هـ² - 64هـن + 16ن²

تلميح: تذكر صيغة مربع الفرق بين حدين: (أ - ب)² = أ² - 2أب + ب²

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد ناتج: (ل + 3)(ل - 3)

• أ) ل² + 6ل - 9
• ب) ل² - 6ل - 9
• ج) ل² + 9
• د) ل² - 9

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: ل² - 9

الشرح: ١. طبق صيغة فرق المربعين على المقدار (ل + 3)(ل - 3) ٢. مربع الحد الأول: (ل)² = ل² ٣. مربع الحد الثاني: (3)² = 9 ٤. الناتج النهائي: ل² - 9

تلميح: تذكر صيغة حاصل ضرب مجموع حدين وفرقهما (فرق المربعين): (أ + ب)(أ - ب) = أ² - ب²

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد ناتج: (2م + 3)(2م - 3)(م + 4)

• أ) 4م³ + 16م² - 9م - 36
• ب) 4م³ + 16م² + 9م + 36
• ج) 4م³ + 4م² - 9م - 36
• د) 4م³ - 9م - 36

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: 4م³ + 16م² - 9م - 36

الشرح: ١. اضرب (2م + 3)(2م - 3) باستخدام الفرق بين مربعين: (2م)² - (3)² = 4م² - 9 ٢. اضرب الناتج في (م + 4): (4م² - 9)(م + 4) ٣. وزع الضرب: 4م²(م) + 4م²(4) - 9(م) - 9(4) ٤. بسّط الحدود: 4م³ + 16م² - 9م - 36

تلميح: ابدأ بضرب الحدين الأولين باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، ثم اضرب الناتج في الحد الثالث.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

أوجد ناتج (أ + 10)(أ + 10):

• أ) أ² + 100
• ب) أ² + 10أ + 100
• ج) 2أ + 20
• د) أ² + 20أ + 100

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: أ² + 20أ + 100

الشرح: ١. نعيد كتابة التعبير كـ (أ + 10)². ٢. نطبق صيغة مربع مجموع حدين: (س+ص)² = س² + 2س ص + ص². ٣. أ² + 2(أ)(10) + 10² = أ² + 20أ + 100.

تلميح: تذكر صيغة مربع مجموع حدين: (س+ص)² = س² + 2س ص + ص²

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد ناتج (ب - 6)(ب - 6):

• أ) ب² - 36
• ب) ب² + 12ب + 36
• ج) ب² - 12ب + 36
• د) ب² + 36

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ب² - 12ب + 36

الشرح: ١. نعيد كتابة التعبير كـ (ب - 6)². ٢. نطبق صيغة مربع فرق حدين: (س-ص)² = س² - 2س ص + ص². ٣. ب² - 2(ب)(6) + 6² = ب² - 12ب + 36.

تلميح: تذكر صيغة مربع فرق حدين: (س-ص)² = س² - 2س ص + ص²

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد ناتج (هـ + 7)²:

• أ) هـ² + 49
• ب) هـ² - 14هـ + 49
• ج) هـ² + 14هـ + 49
• د) هـ² + 7هـ + 49

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: هـ² + 14هـ + 49

الشرح: ١. نطبق صيغة مربع مجموع حدين: (س+ص)² = س² + 2س ص + ص². ٢. هـ² + 2(هـ)(7) + 7² = هـ² + 14هـ + 49.

تلميح: تذكر صيغة مربع مجموع حدين: (س+ص)² = س² + 2س ص + ص²

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد ناتج (س + 6)²:

• أ) س² + 36
• ب) س² - 12س + 36
• ج) س² + 6س + 36
• د) س² + 12س + 36

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: س² + 12س + 36

الشرح: ١. نطبق صيغة مربع مجموع حدين: (س+ص)² = س² + 2س ص + ص². ٢. س² + 2(س)(6) + 6² = س² + 12س + 36.

تلميح: تذكر صيغة مربع مجموع حدين: (س+ص)² = س² + 2س ص + ص²

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد ناتج (8 - م)²:

• أ) 64 - م²
• ب) 64 + 16م + م²
• ج) 64 - 16م + م²
• د) 8 - م²

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 64 - 16م + م²

الشرح: ١. نطبق صيغة مربع فرق حدين: (س-ص)² = س² - 2س ص + ص². ٢. 8² - 2(8)(م) + م² = 64 - 16م + م².

تلميح: تذكر صيغة مربع فرق حدين: (س-ص)² = س² - 2س ص + ص²

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد ناتج: (4 - س)(4 + س)

• أ) 16 + س²
• ب) 16 - س²
• ج) 8 - س²
• د) 16 - 2س + س²

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 16 - س²

الشرح: ١. نطبق قانون الفرق بين مربعين: (4)² - (س)² ٢. نبسط: 16 - س²

تلميح: تذكر صيغة الفرق بين مربعين: (أ - ب)(أ + ب) = أ² - ب²

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد ناتج: (2ك + 5ر)(2ك - 5ر)

• أ) 4ك² + 25ر²
• ب) 2ك² - 5ر²
• ج) 4ك² - 25ر²
• د) 4ك² - 10كر + 25ر²

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 4ك² - 25ر²

الشرح: ١. نطبق قانون الفرق بين مربعين: (2ك)² - (5ر)² ٢. نحسب مربعات الحدود: 4ك² - 25ر²

تلميح: هذا حاصل ضرب مجموع حدين وفرقهما. تذكر (أ + ب)(أ - ب) = أ² - ب²

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد ناتج: (9 - 2ص)²

• أ) 81 - 18ص + 4ص²
• ب) 81 - 36ص + 4ص²
• ج) 81 + 36ص + 4ص²
• د) 81 - 4ص²

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 81 - 36ص + 4ص²

الشرح: ١. طبق صيغة مربع الفرق على المقدار (9 - 2ص)² ٢. الحد الأول مربع: (9)² = 81 ٣. الحد الأوسط: -2 × 9 × 2ص = -36ص ٤. الحد الأخير مربع: (2ص)² = 4ص² ٥. الناتج النهائي: 81 - 36ص + 4ص²

تلميح: تذكر صيغة مربع الفرق بين حدين: (أ - ب)² = أ² - 2أب + ب²

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد ناتج: (2ب + 3)²

• أ) 4ب² + 6ب + 9
• ب) 4ب² + 9
• ج) 2ب² + 12ب + 9
• د) 4ب² + 12ب + 9

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: 4ب² + 12ب + 9

الشرح: ١. طبق صيغة مربع المجموع على المقدار (2ب + 3)² ٢. الحد الأول مربع: (2ب)² = 4ب² ٣. الحد الأوسط: 2 × 2ب × 3 = 12ب ٤. الحد الأخير مربع: (3)² = 9 ٥. الناتج النهائي: 4ب² + 12ب + 9

تلميح: تذكر صيغة مربع مجموع حدين: (أ + ب)² = أ² + 2أب + ب²

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد ناتج: (5ن - 2)²

• أ) 25ن² - 10ن + 4
• ب) 25ن² - 4
• ج) 25ن² - 20ن + 4
• د) 25ن² + 20ن + 4

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 25ن² - 20ن + 4

الشرح: ١. طبق صيغة مربع الفرق على المقدار (5ن - 2)² ٢. الحد الأول مربع: (5ن)² = 25ن² ٣. الحد الأوسط: -2 × 5ن × 2 = -20ن ٤. الحد الأخير مربع: (2)² = 4 ٥. الناتج النهائي: 25ن² - 20ن + 4

تلميح: تذكر صيغة مربع الفرق بين حدين: (أ - ب)² = أ² - 2أب + ب²

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد ناتج: (5ص + 7)²

• أ) 25ص² + 70ص + 49
• ب) 25ص² + 49
• ج) 5ص² + 70ص + 49
• د) 25ص² + 35ص + 49

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: 25ص² + 70ص + 49

الشرح: ١. نطبق القانون: (5ص)² + 2(5ص)(7) + 7² ٢. نبسط الحدود: 25ص² + 70ص + 49

تلميح: تذكر قانون مربع مجموع حدين: (أ + ب)² = أ² + 2أب + ب²

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد ناتج: (8 - 10أ)²

• أ) 64 + 100أ²
• ب) 64 - 80أ + 100أ²
• ج) 64 - 160أ - 100أ²
• د) 64 - 160أ + 100أ²

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: 64 - 160أ + 100أ²

الشرح: ١. نطبق القانون: 8² - 2(8)(10أ) + (10أ)² ٢. نبسط الحدود: 64 - 160أ + 100أ²

تلميح: تذكر قانون مربع فرق حدين: (أ - ب)² = أ² - 2أب + ب²

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد ناتج: (3/4 ك + 8)²

• أ) (9/16)ك² + 64
• ب) (9/16)ك² + 12ك + 64
• ج) (3/16)ك² + 12ك + 64
• د) (9/16)ك² + 6ك + 64

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: (9/16)ك² + 12ك + 64

الشرح: ١. نطبق القانون: (3/4 ك)² + 2(3/4 ك)(8) + 8² ٢. نبسط الحدود: (9/16)ك² + (24/4 ك) + 64 ٣. نواصل التبسيط: (9/16)ك² + 12ك + 64

تلميح: تذكر مربع مجموع حدين (أ + ب)² = أ² + 2أب + ب². لا تنسَ تربيع الكسر والمعامل.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

أوجد ناتج: (3أ² + 7ب)(3أ² - 7ب)

• أ) 9أ⁴ + 49ب²
• ب) 6أ⁴ - 14ب²
• ج) 9أ⁴ - 49ب²
• د) 9أ² - 49ب²

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 9أ⁴ - 49ب²

الشرح: ١. طبق صيغة الفرق بين مربعين: (3أ²)² - (7ب)² ٢. ربع الحد الأول: (3أ²)² = 3² × (أ²)² = 9أ⁴ ٣. ربع الحد الثاني: (7ب)² = 7² × ب² = 49ب² ٤. الناتج النهائي: 9أ⁴ - 49ب²

تلميح: تذكر صيغة الفرق بين مربعين: (س + ص)(س - ص) = س² - ص²

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد ناتج: (أ + 4ب)²

• أ) أ² + 16ب²
• ب) أ² + 4أب + 16ب²
• ج) أ² + 8أب + 4ب²
• د) أ² + 8أب + 16ب²

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: أ² + 8أب + 16ب²

الشرح: ١. ربع الحد الأول: أ² ٢. اضرب الحدين في 2: 2 × أ × 4ب = 8أب ٣. ربع الحد الثاني: (4ب)² = 16ب² ٤. اجمع الحدود: أ² + 8أب + 16ب²

تلميح: تذكر صيغة مربع مجموع حدين: (س + ص)² = س² + 2سص + ص²

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط