إرشادات للدراسة - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 ناتج ضرب مجموع حدين في الفرق بينهما

المفاهيم الأساسية

ناتج ضرب مجموع حدين في الفرق بينهما: هو مربع الحد الأول ناقص مربع الحد الثاني.

التعبير الرمزي: (أ + ب)(أ - ب) = أ² - ب²

خريطة المفاهيم

```markmap

ناتج ضرب مجموع حدين في الفرق بينهما

القاعدة العامة

التعبير اللفظي

• ناتج ضرب (أ + ب) في (أ - ب) هو مربع أ ناقص مربع ب

التعبير الرمزي

• (أ + ب)(أ - ب) = أ² - ب²
• (أ - ب)(أ + ب) = أ² - ب²

طريقة الاشتقاق

• (أ + ب)(أ - ب) = أ² - أب + أب - ب²
• الحدان الأوسطان (-أب + أب) هما معكوسان جمعيان، مجموعهما صفر
• الناتج النهائي: أ² - ب²

تنبيه مهم

• (أ - ب)² ≠ أ² – ب²
• (أ – ب)² = أ² – ٢أب + ب²
• (أ – ب)(أ + ب) = أ² – ب²

تطبيقات

• تبسيط المقادير الجبرية
• حل مسائل من واقع الحياة (مثل مساحة القرص الطائر)

```

نقاط مهمة

• يمكن كتابة (أ - ب) على الصورة (أ + (-ب)).
• الحدان الأوسطان في المفكوك (أ² - أب + أب - ب²) متعاكسان، لذا يحذفان.
• الناتج دائماً على صورة فرق بين مربعين.

---

حل مثال

مثال ٤:

أوجد ناتج: (٢ س + ٣)(٢ س - ٣)

الحل:

بتطبيق القاعدة (أ + ب)(أ - ب) = أ² - ب²

حيث أ = ٢ س ، ب = ٣

(٢ س + ٣)(٢ س - ٣) = (٢ س)² - (٣)² = ٤ س² - ٩

مثال ٣ ألعاب:

تحوي لعبة القرص الطائر قرصًا على شكل دائرة نصف قطرها س + ٤ سم.

أ) اكتب عبارة تمثل مساحة القرص الطائر.

الحل:

مساحة الدائرة = ط × نق²

مساحة القرص = ط × (س + ٤)²

ب) إذا كان قطر القرص الطائر ٢٤ سم، فما مساحته؟ (ط ≈ ٣,١٤).

الحل:

نصف القطر = القطر ÷ ٢ = ٢٤ ÷ ٢ = ١٢ سم

إذاً: س + ٤ = ١٢ ⇒ س = ٨

مساحة القرص = ٣.١٤ × (١٢)² = ٣.١٤ × ١٤٤ = ٤٥٢.١٦ سم² تقريباً.

---

تحقق من فهمك

أ) (٣ ن + ٢)(٣ ن - ٢)

الحل:

(٣ ن)² - (٢)² = ٩ ن² - ٤

ب) (٤ ج - ٥هـ)(٤ ج + ٥هـ)

الحل:

(٤ج)² - (٥هـ)² = ١٦ ج² - ٢٥ هـ²

---

> 📝 ملاحظة: هذه الصفحة تحتوي على أسئلة تقويمية - راجع تبويب الواجبات للإجابات الكاملة.

ناتج ضرب مجموع حدين في الفرق بينهما: سنرى الآن ناتج ضرب مجموع حدين في الفرق بينهما، (أ + ب) (أ - ب). تذكر أنه يمكن كتابة أ - ب على الصورة أ + (- ب).

أنماط: عند استعمال أي من هذه القواعد فإن أ، ب قد يكونان عددين، أو متغيرين، أو عبارتين بأعداد ومتغيرات.

لاحظ أن كلاً من الحدين الأوسطين هو معكوس جمعي للآخر، ومجموعهما صفر. لذا فإن (أ + ب)(أ - ب) = أ^2 - أ ب + أ ب - ب^2 = أ^2 - ب^2.

التعبير اللفظي: ناتج ضرب (أ + ب)، (أ - ب) هو مربع أ ناقص مربع ب. الرموز: (أ + ب)(أ - ب) = (أ - ب)(أ + ب) = أ^2 - ب^2

ناتج ضرب مجموع حدين في الفرق بينهما أوجد ناتج: (٢س^٢ + ٣)(٢س^٢ - ٣). (أ + ب)(أ - ب) = أ^٢ - ب^٢ (حاصل ضرب المجموع في الفرق) (٢س^٢ + ٣)(٢س^٢ - ٣) = (٢س^٢)^٢ - (٣)^٢ (أ = ٢س^٢، ب = ٣) = ٤س^٤ - ٩ (بسط)

تحقق من فهمك

تأكد

أوجد ناتج كل مما يأتي:

٧) ألعاب: تحوي لعبة القرص الطائر قرصًا على شكل دائرة نصف قطرها (س + ٤) سم.

أوجد ناتج كل مما يأتي:

ناتج ضرب مجموع حدين في الفرق بينهما: سنرى الآن ناتج ضرب مجموع حدين في الفرق بينهما، (أ + ب) (أ - ب). تذكر أنه يمكن كتابة أ - ب على الصورة أ + (- ب). --- SECTION: إرشادات للدراسة --- أنماط: عند استعمال أي من هذه القواعد فإن أ، ب قد يكونان عددين، أو متغيرين، أو عبارتين بأعداد ومتغيرات. لاحظ أن كلاً من الحدين الأوسطين هو معكوس جمعي للآخر، ومجموعهما صفر. لذا فإن (أ + ب)(أ - ب) = أ^2 - أ ب + أ ب - ب^2 = أ^2 - ب^2. --- SECTION: مفهوم أساسي: ناتج ضرب مجموع حدين في الفرق بينهما --- التعبير اللفظي: ناتج ضرب (أ + ب)، (أ - ب) هو مربع أ ناقص مربع ب. الرموز: (أ + ب)(أ - ب) = (أ - ب)(أ + ب) = أ^2 - ب^2 --- SECTION: مثال ٤ --- ناتج ضرب مجموع حدين في الفرق بينهما أوجد ناتج: (٢س^٢ + ٣)(٢س^٢ - ٣). (أ + ب)(أ - ب) = أ^٢ - ب^٢ (حاصل ضرب المجموع في الفرق) (٢س^٢ + ٣)(٢س^٢ - ٣) = (٢س^٢)^٢ - (٣)^٢ (أ = ٢س^٢، ب = ٣) = ٤س^٤ - ٩ (بسط) --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك ٤أ. (٣ن + ٢)(٣ن - ٢) ٤ب. (٤جـ - ٧د)(٤جـ + ٧د) تأكد --- SECTION: المثالان ١، ٢ --- أوجد ناتج كل مما يأتي: ١. (س + ٥)^٢ ٢. (١١ - أ)^٢ ٣. (٢س + ٧ص)^٢ ٤. (م - ٤)(م - ٤) ٥. (جـ - ٤هـ)(جـ - ٤هـ) ٦. (٣جـ + ٦د)^٢ --- SECTION: مثال ٣ --- ٧) ألعاب: تحوي لعبة القرص الطائر قرصًا على شكل دائرة نصف قطرها (س + ٤) سم. أ. اكتب عبارة تمثل مساحة القرص الطائر. ب. إذا كان قطر القرص الطائر ٢٤ سم، فما مساحته؟ (ط ≈ ٣,١٤). --- SECTION: مثال ٤ --- أوجد ناتج كل مما يأتي: ٨. (أ - ٣)(أ + ٣) ٩. (س + ٥)(س - ٥) ١٠. (٦ص - ٧)(٦ص + ٧) --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: مخطط يوضح هندسياً ناتج ضرب (أ+ب)(أ-ب). يتكون من جزأين: الجزء الأول يظهر جمع المربعات والمستطيلات (أ^2، -ب^2، أ ب، -أ ب) حيث يلغي أ ب و -أ ب بعضهما (صفر). الجزء الثاني يظهر مربعاً كبيراً طول ضلعه 'أ' ومساحته 'أ^2' تم اقتطاع مربع صغير منه طول ضلعه 'ب' ومساحته 'ب^2'، ثم إعادة ترتيب الأجزاء المتبقية لتكوين مستطيل أبعاده (أ+ب) و (أ-ب). Context: يوضح المفهوم الهندسي لقاعدة فرق المربعين (أ+ب)(أ-ب) = أ^2 - ب^2.