سؤال 3: ما أكبر قيمة يمكن أن تمثل الطول المشترك لكل من المستطيلين اللذين مساحتهما 84 سم²، 70 سم²؟ علماً بأن بعدي كل منهما عددان كاملان؟
الإجابة: س 3: 14 سم
خطوات الحل:
- | المفهوم | القيمة / الوصف | الوحدة | |----------|----------------|--------| | مساحة المستطيل الأول | 84 | سم² | | مساحة المستطيل الثاني | 70 | سم² | | شرط الأبعاد | عددان كاملان | - | | **المطلوب** | أكبر طول مشترك ممكن لكلا المستطيلين | سم |
- **المبدأ المستخدم:** لإيجاد أكبر طول مشترك (بُعد) يمكن أن يكون موجوداً في كلا المستطيلين، يجب أن يكون هذا الطول قاسماً مشتركاً لمساحتي كلا المستطيلين. بما أن المساحة = الطول × العرض، وبما أن الأبعاد أعداد كاملة، فإن **أكبر قيمة ممكنة** هي **القاسم المشترك الأكبر (GCD) للعددين 84 و 70**.
- **الخطوة 1: تحليل كل مساحة إلى عواملها الأولية** - تحليل العدد 84: $84 = 2 \times 42 = 2 \times 2 \times 21 = 2^{2} \times 3 \times 7$ - تحليل العدد 70: $70 = 2 \times 35 = 2 \times 5 \times 7$
- **الخطوة 2: تحديد العوامل الأولية المشتركة وأصغر أسس لها** | العامل | في العدد 84 | في العدد 70 | القوة المشتركة (الأصغر) | |--------|-------------|-------------|--------------------------| | 2 | $2^2$ | $2^1$ | $2^1$ | | 3 | $3^1$ | غير موجود | - | | 5 | غير موجود | $5^1$ | - | | 7 | $7^1$ | $7^1$ | $7^1$ | > **ملاحظة:** نأخذ العوامل المشتركة فقط وبأصغر أسسها.
- **الخطوة 3: حساب القاسم المشترك الأكبر (GCD)** $$\text{GCD}(84, 70) = 2^{1} \times 7^{1} = 2 \times 7 = 14$$
- **الخطوة 4: التحقق من إمكانية تمثيل العدد 14 كبُعد (طول) في كلا المستطيلين** - للمستطيل الأول (مساحة 84 سم²): إذا كان الطول = 14 سم، فإن العرض = $\frac{84}{14} = 6$ سم (عدد كامل). ✅ - للمستطيل الثاني (مساحة 70 سم²): إذا كان الطول = 14 سم، فإن العرض = $\frac{70}{14} = 5$ سم (عدد كامل). ✅ > هذا يؤكد أن العدد 14 يمكن أن يمثل طولاً مشتركاً صحيحاً لكلا المستطيلين.
- **النتيجة:** أكبر طول يمكن أن يكون مشتركاً بين مستطيلين مساحتهما 84 سم² و 70 سم²، وبأبعاد كاملة، هو **14 سم**.