مفهوم أساسي: خاصية الضرب الصفري - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 حل المعادلات بالتحليل (خاصية الضرب الصفري)

المفاهيم الأساسية

خاصية الضرب الصفري: إذا كان حاصل ضرب عاملين يساوي صفراً، فيجب أن يكون أحدهما على الأقل صفراً.

حل المعادلة (الجذر): أي قيمة للمتغير تجعل المعادلة صحيحة.

خريطة المفاهيم

```markmap

حل المعادلات بالتحليل

الأساس: خاصية الضرب الصفري

الصيغة الرمزية

• إذا كان أ × ب = ٠، فإن: أ = ٠ أو ب = ٠

التطبيق

• تحويل المعادلة إلى الصورة: (عامل) × (عامل) = ٠
• مساواة كل عامل بالصفر
• حل المعادلتين الناتجتين

خطوات الحل العامة

١. كتابة المعادلة بالصورة القياسية

• جعل أحد الطرفين يساوي صفراً

٢. تحليل الطرف الآخر

• أخذ (ق.م.أ) أو التحليل
• الوصول لصورة حاصل ضرب عاملين

٣. تطبيق خاصية الضرب الصفري

• مساواة كل عامل بالصفر

٤. حل المعادلات البسيطة الناتجة

٥. التحقق من الحلول

• بالتعويض في المعادلة الأصلية

تنبيه مهم

• لا تقسم طرفي المعادلة على متغير
• القسمة على صفر غير معرفة

```

نقاط مهمة

• يمكن حل بعض المعادلات باستخدام التحليل وخاصية الضرب الصفري.
• يجب الحصول على صفر في أحد طرفي المعادلة أولاً قبل التحليل.
• الحل النهائي هو مجموعة الجذور (القيم) التي تحقق المعادلة.

---

تحقق من فهمك

حلل كلاً من كثيرات الحدود الآتية:

(١٣) جـ² - جـ - ٨ + ٥د - ٤

* الخطوة ١: جمع الحدود الثابتة: `-٨ - ٤ = -١٢`

* الخطوة ٢: ترتيب كثير الحدود: `جـ² - جـ + ٥د - ١٢`

* التحليل: هذا التعبير ليس على الصورة التربيعية القياسية في متغير واحد (يحتوي على متغيرين: جـ، د). التحليل الشائع غير ممكن بالطرق البسيطة المذكورة. قد يكون هناك خطأ في كتابة السؤال أو أنه يحتاج طريقة تحليل أخرى (مثل تجميع الحدود).

(١٤) ٣ف² - ١٨ف + ٢٧

* الخطوة ١: إخراج العامل المشترك الأكبر (ق.م.أ): `٣(ف² - ٦ف + ٩)`

* الخطوة ٢: تحليل المقدار داخل القوس: `ف² - ٦ف + ٩ = (ف - ٣)(ف - ٣) = (ف - ٣)²`

* النتيجة النهائية: `٣(ف - ٣)²`

---

حل مثال (مثال ٤)

حل كلًا من المعادلات الآتية وتحقق من صحة الحل:

المعادلة: `(١٥ - ٣د)(٢ + ٧د) = ٠`

* تطبيق خاصية الضرب الصفري:

* `١٥ - ٣د = ٠` أو `٢ + ٧د = ٠`

* حل كل معادلة على حدة:

1. `١٥ - ٣د = ٠` → `١٥ = ٣د` → `د = ٥`

2. `٢ + ٧د = ٠` → `٧د = -٢` → `د = -٢/٧`

* الجذران هما: `٥` ، `-٢/٧`

* التحقق:

* التعويض بـ `د = ٥`: `(١٥ - ٣×٥)(٢ + ٧×٥) = (١٥-١٥)(٢+٣٥) = (٠)(٣٧) = ٠` ✓

* التعويض بـ `د = -٢/٧`: `(١٥ - ٣×(-٢/٧))(٢ + ٧×(-٢/٧)) = (١٥ + ٦/٧)(٢ - ٢) = (١١٥/٧ + ٦/٧)(٠) = (١٢١/٧)(٠) = ٠` ✓

المعادلة: `جـ² = ٣جـ`

* الخطوة ١ (جعل أحد الطرفين صفراً): `جـ² - ٣جـ = ٠`

* الخطوة ٢ (التحليل بأخذ ق.م.أ): `جـ(جـ - ٣) = ٠`

* تطبيق خاصية الضرب الصفري:

* `جـ = ٠` أو `جـ - ٣ = ٠`

* حل كل معادلة:

1. `جـ = ٠`

2. `جـ - ٣ = ٠` → `جـ = ٣`

* الجذران هما: `٣` ، `٠`

* التحقق:

* التعويض بـ `جـ = ٣`: `٣² = ٣×٣` → `٩ = ٩` ✓

* التعويض بـ `جـ = ٠`: `٠² = ٣×٠` → `٠ = ٠` ✓

تحقق من فهمك

حلل كلاً من كثيرات الحدود الآتية :

حل المعادلات بالتحليل

يمكنك حل بعض المعادلات بالتحليل . انظر إلى الجمل الآتية: 0 = (0.25)0 0 = (312-)0 0 = (2 - 2)0 0 = (0)3 لاحظ أن أحد العاملين على الأقل في كل حالة يساوي صفرًا. وتبين هذه الأمثلة خاصية الضرب الصفري.

التعبير اللفظي: إذا كان حاصل ضرب عاملين يساوي صفرًا، فيجب أن يكون أحدهما على الأقل صفرًا. الرموز: لأي عددين حقيقيين أ، ب، إذا كان أ ب = 0 ، فإن أ = 0 ، أو ب = 0 ، أو كليهما يساوي صفرًا.

سبق أن تعلمت أن حل المعادلة أو جذرها هو أي قيمة للمتغير تجعلها صحيحة.

حل المعادلات حل كلاً من المعادلات الآتية وتحقق من صحة الحل:

قيمة غير معروفة: قد تجد أنه من الأسهل حل معادلة بقسمة كل طرف منها على متغير. وبما أن قيمة المتغير غير معروفة، لذا قد تقسم في هذه الحالة على صفر، والقسمة على صفر غير معرفة.

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

68 الفصل 7: التحليل والمعادلات التربيعية

تحقق من فهمك حلل كلاً من كثيرات الحدود الآتية : 3أ. جـ - 2جـ د + 8د - 4 3ب. 3ف^3 - 2ف^2 - 18ف + 27 حل المعادلات بالتحليل يمكنك حل بعض المعادلات بالتحليل . انظر إلى الجمل الآتية: 0 = (0.25)0 0 = (312-)0 0 = (2 - 2)0 0 = (0)3 لاحظ أن أحد العاملين على الأقل في كل حالة يساوي صفرًا. وتبين هذه الأمثلة خاصية الضرب الصفري. --- SECTION: مفهوم أساسي: خاصية الضرب الصفري --- التعبير اللفظي: إذا كان حاصل ضرب عاملين يساوي صفرًا، فيجب أن يكون أحدهما على الأقل صفرًا. الرموز: لأي عددين حقيقيين أ، ب، إذا كان أ ب = 0 ، فإن أ = 0 ، أو ب = 0 ، أو كليهما يساوي صفرًا. سبق أن تعلمت أن حل المعادلة أو جذرها هو أي قيمة للمتغير تجعلها صحيحة. --- SECTION: مثال 4 --- حل المعادلات حل كلاً من المعادلات الآتية وتحقق من صحة الحل: أ. (2د + 6)(3د - 15) = 0 ب. جـ^2 = 3جـ --- SECTION: تنبيه ! --- قيمة غير معروفة: قد تجد أنه من الأسهل حل معادلة بقسمة كل طرف منها على متغير. وبما أن قيمة المتغير غير معروفة، لذا قد تقسم في هذه الحالة على صفر، والقسمة على صفر غير معرفة. وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 68 الفصل 7: التحليل والمعادلات التربيعية --- VISUAL CONTEXT --- **FIGURE**: Untitled Description: إطار أزرق يحتوي على المفهوم الأساسي لخاصية الضرب الصفري مع التعبير اللفظي والرموز. Context: يوضح القاعدة الرياضية الأساسية المستخدمة لحل المعادلات التربيعية بالتحليل. **SIDEBAR**: Untitled Description: صندوق جانبي باللون الأحمر يحتوي على ملاحظة تحذيرية حول القسمة على متغير قد تكون قيمته صفراً. Context: ينبه الطالب إلى خطأ رياضي شائع وهو القسمة على صفر عند محاولة تبسيط المعادلات.