إرشادات لحل المسألة - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 تحليل ثلاثيات الحدود (س² + ب س + جـ)

المفاهيم الأساسية

خمن وتحقق: استراتيجية حل مسألة تعتمد على عمل تخمين مدروس، التحقق من معقوليته، ثم تعديله حتى الوصول للإجابة الصحيحة.

خريطة المفاهيم

```markmap

تحليل ثلاثيات الحدود باستعمال بطاقات الجبر

المبدأ الأساسي

تمثيل ثلاثية الحدود بمستطيل

• إذا أمكن تكوين مستطيل ⇒ قابلة للتحليل
• إذا لم يُمكن تكوين مستطيل ⇒ غير قابلة للتحليل

خطوات التحليل

الخطوة ١

• مثل العبارة ببطاقات الجبر

الخطوة ٢

• ضع بطاقة س² في الزاوية
• رتب بطاقات الواحد لتكون مستطيلاً (جرب عوامل الحد الثابت)

الخطوة ٣

• أكمل المستطيل ببطاقات س
• اقرأ أبعاد المستطيل (الطول والعرض) ⇒ هما العاملان

حالات خاصة

عندما يكون الحد الأوسط سالباً والثابت موجباً

• مثال: س² - ٥س + ٦
• الناتج: (س - ٢)(س - ٣)

عندما يكون الحد الثابت سالباً

• مثال: س² - ٤س - ٥
• قد نحتاج لإضافة أزواج صفرية
• الناتج: (س + ١)(س - ٥)

تحليل س² + ب س + جـ (جديد)

القاعدة العامة

• (س + م)(س + ن) = س² + (م + ن)س + (م × ن)

خطوات التحليل

ابحث عن عددين (م، ن)

مجموعهما = ب (معامل س)

حاصل ضربهما = جـ (الحد الثابت)

اكتب الناتج: (س + م)(س + ن)

إشارات العوامل

• إذا كان جـ موجباً ⇒ لم، ن لهما الإشارة نفسها
• إذا كانت ب موجبة ⇒ لم، ن موجبان
• إذا كانت ب سالبة ⇒ لم، ن سالبان

الحالة ١: ب، جـ موجبين

• مثال: س² + ٩س + ٢٠
• العاملان موجبان (٤، ٥)
• الناتج: (س + ٤)(س + ٥)

الحالة ٢: ب سالبة، جـ موجبة

• مثال: س² - ٨س + ١٢
• العاملان سالبان (-٢، -٦)
• الناتج: (س - ٢)(س - ٦)

```

نقاط مهمة

• عند تحليل ثلاثية حدود، اعمل تخميناً مدروساً، وتحقق من المعقولية، ثم عدل التخمين حتى تصل إلى الإجابة الصحيحة.
• إذا كانت ب سالبة، وجـ موجبة في ثلاثية الحدود، استعمل ما تعرفه عن ضرب ثنائيي الحد لتقليص قائمة العوامل الممكنة.
• عندما تجد العوامل الصحيحة فليس هناك ضرورة لاختبار العوامل الأخرى.

---

حل مثال

مثال 1: حلل س² + ٩ س + ٢٠

المعطيات: ب = ٩ (موجب)، جـ = ٢٠ (موجب).

المطلوب: إيجاد عاملين موجبين مجموعهما ٩ وناتج ضربهما ٢٠.

عوامل العدد ٢٠:

- ٢٠، ١ ← مجموعهما ٢١

- ١٠، ٢ ← مجموعهما ١٢

- ٥، ٤ ← مجموعهما ٩ ✓

الحل: العاملان هما ٤ و ٥.

كتابة الناتج: (س + ٤)(س + ٥) = س² + ٩ س + ٢٠.

التحقق: (س + ٤)(س + ٥) = س² + ٥س + ٤س + ٢٠ = س² + ٩س + ٢٠ ✓

مثال 2: حلل س² - ٨ س + ١٢

المعطيات: ب = -٨ (سالب)، جـ = ١٢ (موجب).

المطلوب: إيجاد عاملين سالبين مجموعهما -٨ وناتج ضربهما ١٢.

عوامل العدد ١٢ (سالبة):

- -١٢، -١ ← مجموعهما -١٣

- -٦، -٢ ← مجموعهما -٨ ✓

- -٤، -٣ ← مجموعهما -٧

الحل: العاملان هما -٢ و -٦.

كتابة الناتج: (س - ٢)(س - ٦) = س² - ٨ س + ١٢.

التحقق البصري: التمثيل البياني للدالة الأصلية ص = س² - ٨س + ١٢ والدالة المحللة ص = (س - ٢)(س - ٦) متطابقان، مما يؤكد صحة التحليل. (الرسم البياني يظهر قطعاً مكافئاً يقطع محور السينات عند النقطتين (٢، ٠) و (٦، ٠)).

---

تحقق من فهمك

أ) حلل د² + ١١ د + ٢٤

المعطيات: ب = ١١ (موجب)، جـ = ٢٤ (موجب).

المطلوب: عاملان موجبان مجموعهما ١١ وناتج ضربهما ٢٤.

عوامل العدد ٢٤:

- ٢٤، ١ ← مجموعهما ٢٥

- ١٢، ٢ ← مجموعهما ١٤

- ٨، ٣ ← مجموعهما ١١ ✓

الحل: العاملان هما ٣ و ٨.

الناتج: (د + ٣)(د + ٨).

ب) حلل ن² + ١٠ ن + ٩

المعطيات: ب = ١٠ (موجب)، جـ = ٩ (موجب).

المطلوب: عاملان موجبان مجموعهما ١٠ وناتج ضربهما ٩.

عوامل العدد ٩:

- ٩، ١ ← مجموعهما ١٠ ✓

الحل: العاملان هما ١ و ٩.

الناتج: (ن + ١)(ن + ٩).

أ) حلل م² - ٢٢ م + ٢١

المعطيات: ب = -٢٢ (سالب)، جـ = ٢١ (موجب).

المطلوب: عاملان سالبان مجموعهما -٢٢ وناتج ضربهما ٢١.

عوامل العدد ٢١ (سالبة):

- -٢١، -١ ← مجموعهما -٢٢ ✓

الحل: العاملان هما -١ و -٢١.

الناتج: (م - ١)(م - ٢١).

ب) حلل و² - ١١ و + ٢٨

المعطيات: ب = -١١ (سالب)، جـ = ٢٨ (موجب).

المطلوب: عاملان سالبان مجموعهما -١١ وناتج ضربهما ٢٨.

عوامل العدد ٢٨ (سالبة):

- -٢٨، -١ ← مجموعهما -٢٩

- -١٤، -٢ ← مجموعهما -١٦

- -٧، -٤ ← مجموعهما -١١ ✓

الحل: العاملان هما -٤ و -٧.

الناتج: (و - ٤)(و - ٧).

مثال ١: تحليل س^٢ + ب س + ج عندما يكون ب، ج موجبين

حلّل : س^٢ + ٩س + ٢٠. بما أن ج، ب موجبان في ثلاثية الحدود، ب = ٩، ج = ٢٠. لذا يجب إيجاد عاملين موجبين مجموعهما ٩، وناتج ضربهما ٢٠. كوّن قائمة عوامل العدد ٢٠، وأوجد العاملين اللذين مجموعهما ٩.

س^٢ + ٩س + ٢٠ = (س + م)(س + ن) = (س + ٤)(س + ٥) العاملان الصحيحان هما ٤، ٥ اكتب القاعدة م = ٤، ن = ٥

تحقق: يمكنك التحقق من هذه النتيجة بضرب العاملين لتحصل على العبارة الأصلية. (س + ٤)(س + ٥) = س^٢ + ٥س + ٤س + ٢٠ (طريقة التوزيع بالترتيب) = س^٢ + ٩س + ٢٠ (بسّط)

تحقق من فهمك

حلّل كلاً من كثيرتي الحدود الآتيتين:

إذا كانت ب سالبة، وج موجبة في ثلاثية الحدود، استعمل ما تعرفه عن ضرب ثنائيي الحد؛ لتقليص قائمة العوامل الممكنة.

مثال ٢: تحليل س^٢ + ب س + ج عندما تكون ب سالبة، ج موجبة

حلّل : س^٢ - ٨س + ١٢ بما أن ج موجبة، و ب سالبة في ثلاثية الحدود، ب = -٨، ج = ١٢ لذا يجب إيجاد عاملين سالبين مجموعهما -٨ وحاصل ضربهما ١٢

س^٢ - ٨س + ١٢ = (س + م)(س + ن) = (س - ٢)(س - ٦) العاملان الصحيحان هما -٢، -٦ اكتب القاعدة م = -٢، ن = -٦

تحقق: مثّل المعادلتين: ص = س^٢ - ٨س + ١٢، ص = (س - ٢)(س - ٦) بيانياً على الشاشة نفسها. بما أن التمثيلين متطابقان، فإن ثلاثية الحدود حُللت بصورة صحيحة.

تحقق من فهمك

حلّل كلاً من كثيرتي الحدود الآتيتين:

خمن وتحقق عند تحليل ثلاثية حدود، اعمل تخميناً مدروساً، وتحقق من المعقولية، ثم عدّل التخمين حتى تصل إلى الإجابة الصحيحة.

إيجاد العوامل عندما تجد العوامل الصحيحة فليس هناك ضرورة لاختبار العوامل الأخرى. فمثلاً، العاملان الصحيحان في المثال ٢ هما: -٢ و -٦، لذا فلا داعي لاختبار العاملين: -٣ و -٤

مثال ١: تحليل س^٢ + ب س + ج عندما يكون ب، ج موجبين حلّل : س^٢ + ٩س + ٢٠. بما أن ج، ب موجبان في ثلاثية الحدود، ب = ٩، ج = ٢٠. لذا يجب إيجاد عاملين موجبين مجموعهما ٩، وناتج ضربهما ٢٠. كوّن قائمة عوامل العدد ٢٠، وأوجد العاملين اللذين مجموعهما ٩. س^٢ + ٩س + ٢٠ = (س + م)(س + ن) = (س + ٤)(س + ٥) العاملان الصحيحان هما ٤، ٥ اكتب القاعدة م = ٤، ن = ٥ تحقق: يمكنك التحقق من هذه النتيجة بضرب العاملين لتحصل على العبارة الأصلية. (س + ٤)(س + ٥) = س^٢ + ٥س + ٤س + ٢٠ (طريقة التوزيع بالترتيب) = س^٢ + ٩س + ٢٠ (بسّط) تحقق من فهمك --- SECTION: 1 --- حلّل كلاً من كثيرتي الحدود الآتيتين: ١أ. د^٢ + ١١د + ٢٤ ١ب. ٩ + ١٠ن + ن^٢ إذا كانت ب سالبة، وج موجبة في ثلاثية الحدود، استعمل ما تعرفه عن ضرب ثنائيي الحد؛ لتقليص قائمة العوامل الممكنة. مثال ٢: تحليل س^٢ + ب س + ج عندما تكون ب سالبة، ج موجبة حلّل : س^٢ - ٨س + ١٢ بما أن ج موجبة، و ب سالبة في ثلاثية الحدود، ب = -٨، ج = ١٢ لذا يجب إيجاد عاملين سالبين مجموعهما -٨ وحاصل ضربهما ١٢ س^٢ - ٨س + ١٢ = (س + م)(س + ن) = (س - ٢)(س - ٦) العاملان الصحيحان هما -٢، -٦ اكتب القاعدة م = -٢، ن = -٦ تحقق: مثّل المعادلتين: ص = س^٢ - ٨س + ١٢، ص = (س - ٢)(س - ٦) بيانياً على الشاشة نفسها. بما أن التمثيلين متطابقان، فإن ثلاثية الحدود حُللت بصورة صحيحة. تحقق من فهمك --- SECTION: 2 --- حلّل كلاً من كثيرتي الحدود الآتيتين: ٢أ. ٢١ - ٢٢م + م^٢ ٢ب. و^٢ - ١١و + ٢٨ --- SECTION: إرشادات لحل المسألة --- خمن وتحقق عند تحليل ثلاثية حدود، اعمل تخميناً مدروساً، وتحقق من المعقولية، ثم عدّل التخمين حتى تصل إلى الإجابة الصحيحة. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- إيجاد العوامل عندما تجد العوامل الصحيحة فليس هناك ضرورة لاختبار العوامل الأخرى. فمثلاً، العاملان الصحيحان في المثال ٢ هما: -٢ و -٦، لذا فلا داعي لاختبار العاملين: -٣ و -٤ --- VISUAL CONTEXT --- **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: عوامل العدد ٢٠ | مجموع العاملين Rows: Row 1: ١، ٢٠ | ٢١ Row 2: ٢، ١٠ | ١٢ Row 3: ٤، ٥ | ٩ Context: جدول يوضح عوامل العدد ٢٠ ومجموع كل زوج من العوامل لإيجاد الزوج الذي مجموعه ٩. **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: عوامل العدد ١٢ | مجموع العاملين Rows: Row 1: -١، -١٢ | -١٣ Row 2: -٢، -٦ | -٨ Row 3: -٣، -٤ | -٧ Context: جدول يوضح عوامل العدد ١٢ السالبة ومجموع كل زوج لإيجاد الزوج الذي مجموعه -٨. **GRAPH**: Untitled Description: تمثيل بياني لدالة تربيعية توضح نقاط التقاطع مع محور السينات عند ٢ و ٦، ورأس المنحنى عند (٤، -٤).