مثال ٤

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 9 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 حل المعادلات التربيعية بالتحليل

المفاهيم الأساسية

خاصية الضرب الصفري: إذا كان حاصل ضرب مقدارين يساوي صفراً، فإن أحدهما على الأقل يساوي صفراً.

خريطة المفاهيم

```markmap

حل المعادلات التربيعية باستعمال التحليل

خطوات الحل العامة

الخطوة ١

اكتب المعادلة بالصيغة القياسية: أ س² + ب س + جـ = ٠

الخطوة ٢

حلّل ثلاثية الحدود إلى عاملين خطيين

الخطوة ٣

طبّق خاصية الضرب الصفري
س - م = ٠ أو س - ن = ٠

الخطوة ٤

حل كل معادلة خطية
س = م ، س = ن

الخطوة ٥

تحقق من صحة الحلول بالتعويض في المعادلة الأصلية

تطبيقات حياتية

مشكلات هندسية

مساحة المستطيل = الطول × العرض
مساحة متوازي الأضلاع = القاعدة × الارتفاع

خطوات حل المسألة

افهم: حدد المطلوب

خطط: اختر استراتيجية (مثل: صيغة المساحة)

حل: أنشئ معادلة تربيعية وحلها

تحقق: تأكد من منطقية الحل (مثل: استبعاد القيم السالبة للأبعاد)

```

نقاط مهمة

عند حل مسائل هندسية، استبعد الحلول السالبة لأن الأبعاد لا يمكن أن تكون سالبة.
التحقق من الحلول بالتعويض في المعادلة الأصلية خطوة ضرورية للتأكد من صحتها.
يمكن استخدام التحليل لحل المعادلات التربيعية الناتجة عن مشكلات واقعية تتضمن مساحات وأبعاداً.

---

حل مثال

مثال 4: حل المعادلة س² + 6س = 27

الصيغة القياسية: س² + 6س - 27 = 0

التحليل: (س - 3)(س + 9) = 0

خاصية الضرب الصفري: س - 3 = 0 أو س + 9 = 0

الحل: س = 3 ، س = -9

التحقق:

- التعويض س=3: (3)² + 6(3) = 9 + 18 = 27 ✓

- التعويض س=-9: (-9)² + 6(-9) = 81 - 54 = 27 ✓

مثال 5 (من واقع الحياة): إيجاد عرض لوحة إعلان

المعطيات: مساحة اللوحة = 616 بوصة²، ارتفاع الجزء العلوي = 4 بوصات، طول الجزء المتبقي يزيد عن العرض بـ 2 بوصة.
المجهول: عرض اللوحة (ض).
طول اللوحة: ض + 2 + 4 = ض + 6
معادلة المساحة: ض (ض + 6) = 616
الصيغة القياسية: ض² + 6ض - 616 = 0
التحليل: (ض + 28)(ض - 22) = 0
الحل: ض = -28 أو ض = 22
الحل المنطقي: العرض = 22 بوصة (لأن الأبعاد لا تكون سالبة).
التحقق: 22 × (22 + 6) = 22 × 28 = 616 بوصة² ✓

---

تحقق من فهمك

4أ) حل المعادلة: ع² - 3ع = 70

الصيغة القياسية: ع² - 3ع - 70 = 0

التحليل: (ع - 10)(ع + 7) = 0

الحل: ع - 10 = 0 ⇒ ع = 10

ع + 7 = 0 ⇒ ع = -7

التحقق:

- ع=10: (10)² - 3(10) = 100 - 30 = 70 ✓

- ع=-7: (-7)² - 3(-7) = 49 + 21 = 70 ✓

4ب) حل المعادلة: س² + 3س - 18 = 0

المعادلة بالفعل بالصيغة القياسية.

التحليل: (س + 6)(س - 3) = 0

الحل: س + 6 = 0 ⇒ س = -6

س - 3 = 0 ⇒ س = 3

التحقق:

- س=-6: (-6)² + 3(-6) - 18 = 36 - 18 - 18 = 0 ✓

- س=3: (3)² + 3(3) - 18 = 9 + 9 - 18 = 0 ✓

5) هندسة: إيجاد ارتفاع متوازي الأضلاع

المعطيات: المساحة = 175 سم²، الارتفاع أقل من القاعدة بـ 18 سم.
افترض: القاعدة = س، الارتفاع = س - 18
معادلة المساحة: س (س - 18) = 175
الصيغة القياسية: س² - 18س - 175 = 0
التحليل: (س - 25)(س + 7) = 0
الحل: س = 25 أو س = -7
الحل المنطقي: القاعدة = 25 سم (لأن الأبعاد لا تكون سالبة).
الارتفاع: 25 - 18 = 7 سم.
التحقق: 25 × 7 = 175 سم² ✓

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

حل المعادلة بالتحليل
حل المعادلة: س٢ + ٦س = ٢٧، وتحقق من صحة الحل.
س٢ + ٦س = ٢٧
س٢ + ٦س - ٢٧ = ٠
(س - ٣)(س + ٩) = ٠
س - ٣ = ٠ أو س + ٩ = ٠
س = ٣ س = -٩
تحقق: عوّض عن س بكل من ٣، -٩ في المعادلة الأصلية.
س٢ + ٦س = ٢٧
(٣)٢ + ٦(٣) = ٢٧
٩ + ١٨ = ٢٧
٢٧ = ٢٧ ✓
س٢ + ٦س = ٢٧
(-٩)٢ + ٦(-٩) = ٢٧
٨١ - ٥٤ = ٢٧
٢٧ = ٢٧ ✓

نوع: محتوى تعليمي

تحقق من فهمك

نوع: QUESTION_HOMEWORK

حل كل معادلة مما يأتي، وتحقق من صحة الحل:

مثال ٥ من واقع الحياة

نوع: محتوى تعليمي

حل المسألة بالتحليل
تصميم: يصمم سعيد لوحة إعلان لبيع أقراص مدمجة لتعلم الرياضيات. إذا كان ارتفاع الجزء العلوي من اللوحة ٤ بوصات، ويزيد طول باقي اللوحة عن عرضها بـ ٢ بوصة. ومساحة اللوحة ٦١٦ بوصة مربعة، فأوجد عرض اللوحة.
افهم: يجب إيجاد عرض اللوحة.
خطط: بما أن اللوحة على شكل مستطيل فالمساحة = العرض × الطول
حل: بما أن ض = عرض اللوحة، فيكون طول اللوحة = ض + ٢ + ٤ = ض + ٦
ض(ض + ٦) = ٦١٦
ض٢ + ٦ض = ٦١٦
ض٢ + ٦ض - ٦١٦ = ٠
(ض + ٢٨)(ض - ٢٢) = ٠
ض + ٢٨ = ٠ أو ض - ٢٢ = ٠
ض = -٢٨ ض = ٢٢
بما أن الأبعاد لا يمكن أن تكون سالبة، فإن العرض = ٢٢ بوصة.
تحقق: إذا كان العرض ٢٢ بوصة فإن المساحة = ٢٢(٢٢ + ٦) = ٦١٦ بوصة مربعة، وهي مساحة اللوحة. ✓

نوع: محتوى تعليمي

تحقق من فهمك

نوع: QUESTION_HOMEWORK

٥) هندسة: متوازي أضلاع ارتفاعه أقل من قاعدته بـ ١٨ سم، ومساحته ١٧٥ سم٢. فما ارتفاعه؟

الربط مع الحياة

نوع: محتوى تعليمي

تُصمّم بعض اللوحات الإعلانية لاستخدامها مرة واحدة لمناسبة معينة، وإن كان الغرض من اللوحة الاستخدام لفترة طويلة، فيجب مراعاة المواد المصنوعة منها لتقاوم عوامل الجو.

نوع: METADATA

٧٨ الفصل ٧: التحليل والمعادلات التربيعية

🔍 عناصر مرئية

مخطط مستطيل يمثل لوحة إعلان. العرض مشار إليه بالرمز 'ض'. الارتفاع مقسم إلى جزأين: الجزء العلوي بارتفاع ٤، والجزء السفلي بارتفاع 'ض + ٢'. الطول الكلي للوحة هو مجموع الجزأين أي ض + ٦.

صورة لكتابين من كتب الرياضيات، أحدهما مفتوح والآخر مغلق، مع قرص مدمج (CD) بجانبهما.

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: مثال ٤ ---
حل المعادلة بالتحليل
حل المعادلة: س٢ + ٦س = ٢٧، وتحقق من صحة الحل.
س٢ + ٦س = ٢٧
س٢ + ٦س - ٢٧ = ٠
(س - ٣)(س + ٩) = ٠
س - ٣ = ٠ أو س + ٩ = ٠
س = ٣ س = -٩
تحقق: عوّض عن س بكل من ٣، -٩ في المعادلة الأصلية.
س٢ + ٦س = ٢٧
(٣)٢ + ٦(٣) = ٢٧
٩ + ١٨ = ٢٧
٢٧ = ٢٧ ✓
س٢ + ٦س = ٢٧
(-٩)٢ + ٦(-٩) = ٢٧
٨١ - ٥٤ = ٢٧
٢٧ = ٢٧ ✓

تحقق من فهمك

حل كل معادلة مما يأتي، وتحقق من صحة الحل:
٤أ. ع٢ - ٣ع = ٧٠
٤ب. س٢ + ٣س - ١٨ = ٠

--- SECTION: مثال ٥ من واقع الحياة ---
حل المسألة بالتحليل
تصميم: يصمم سعيد لوحة إعلان لبيع أقراص مدمجة لتعلم الرياضيات. إذا كان ارتفاع الجزء العلوي من اللوحة ٤ بوصات، ويزيد طول باقي اللوحة عن عرضها بـ ٢ بوصة. ومساحة اللوحة ٦١٦ بوصة مربعة، فأوجد عرض اللوحة.
افهم: يجب إيجاد عرض اللوحة.
خطط: بما أن اللوحة على شكل مستطيل فالمساحة = العرض × الطول
حل: بما أن ض = عرض اللوحة، فيكون طول اللوحة = ض + ٢ + ٤ = ض + ٦
ض(ض + ٦) = ٦١٦
ض٢ + ٦ض = ٦١٦
ض٢ + ٦ض - ٦١٦ = ٠
(ض + ٢٨)(ض - ٢٢) = ٠
ض + ٢٨ = ٠ أو ض - ٢٢ = ٠
ض = -٢٨ ض = ٢٢
بما أن الأبعاد لا يمكن أن تكون سالبة، فإن العرض = ٢٢ بوصة.
تحقق: إذا كان العرض ٢٢ بوصة فإن المساحة = ٢٢(٢٢ + ٦) = ٦١٦ بوصة مربعة، وهي مساحة اللوحة. ✓

تحقق من فهمك

٥) هندسة: متوازي أضلاع ارتفاعه أقل من قاعدته بـ ١٨ سم، ومساحته ١٧٥ سم٢. فما ارتفاعه؟

--- SECTION: الربط مع الحياة ---
تُصمّم بعض اللوحات الإعلانية لاستخدامها مرة واحدة لمناسبة معينة، وإن كان الغرض من اللوحة الاستخدام لفترة طويلة، فيجب مراعاة المواد المصنوعة منها لتقاوم عوامل الجو.

٧٨ الفصل ٧: التحليل والمعادلات التربيعية

--- VISUAL CONTEXT ---
**DIAGRAM**: Untitled
Description: مخطط مستطيل يمثل لوحة إعلان. العرض مشار إليه بالرمز 'ض'. الارتفاع مقسم إلى جزأين: الجزء العلوي بارتفاع ٤، والجزء السفلي بارتفاع 'ض + ٢'. الطول الكلي للوحة هو مجموع الجزأين أي ض + ٦.
Context: يوضح الأبعاد المستخدمة في حل المثال ٥.

**IMAGE**: Untitled
Description: صورة لكتابين من كتب الرياضيات، أحدهما مفتوح والآخر مغلق، مع قرص مدمج (CD) بجانبهما.
Context: عنصر بصري توضيحي لموضوع المثال ٥ المتعلق ببيع أقراص مدمجة لتعلم الرياضيات.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 1

سؤال 5: هندسة: متوازي أضلاع ارتفاعه أقل من قاعدته بـ 18 سم، ومساحته 175 سم². فما ارتفاعه؟

الإجابة: س5: الارتفاع 7 = سم

خطوات الحل:

**الخطوة 1: تنظيم المعطيات والمطلوب** | المفهوم | الرمز | التعبير أو القيمة | الوحدة | |---------|-------|-------------------|--------| | مساحة متوازي الأضلاع | $A$ | $175$ | سم² | | القاعدة | $b$ | مجهول | سم | | الارتفاع | $h$ | مجهول | سم | | العلاقة بينهما | | $h = b - 18$ | | | **المطلوب** | | **إيجاد قيمة $h$** | سم |
**الخطوة 2: القانون الأساسي** قانون مساحة متوازي الأضلاع: $$ A = b \times h $$
**الخطوة 3: التعويض بالمعطيات في القانون** 1. نعوض بقيمة المساحة والعلاقة بين $b$ و $h$ في القانون: $$ 175 = b \times (b - 18) $$ 2. نفتح الأقواس ونرتب المعادلة: $$ 175 = b^2 - 18b $$ 3. ننقل جميع الحدود إلى طرف واحد: $$ b^2 - 18b - 175 = 0 $$
**الخطوة 4: حل المعادلة التربيعية** نحل المعادلة $b^2 - 18b - 175 = 0$. 1. **التحليل إلى عوامل:** نبحث عن عددين حاصل ضربهما $(-175)$ وحاصل جمعهما $(-18)$. > هذان العددان هما $(-25)$ و $(7)$ لأن $(-25) \times 7 = -175$ و $(-25) + 7 = -18$. 2. نكتب المعادلة على شكل جداء عوامل: $$ (b - 25)(b + 7) = 0 $$ 3. نجد قيم $b$ الممكنة: - إما $b - 25 = 0$ \; \; $\Rightarrow$ \; \; $b = 25$ - أو $b + 7 = 0$ \; \; $\Rightarrow$ \; \; $b = -7$ (مرفوضة لأن **البعد لا يمكن أن يكون سالباً**). 4. إذن، القاعدة الصحيحة هي: $$ b = 25 \text{ سم} $$
**الخطوة 5: إيجاد قيمة الارتفاع** نعوض قيمة القاعدة $b$ في العلاقة المعطاة: $$ h = b - 18 = 25 - 18 = 7 $$ > أي أن الارتفاع يساوي $7$ سم.
**الإجابة النهائية** بناءً على الحسابات السابقة، فإن **ارتفاع متوازي الأضلاع هو 7 سنتيمترات**.

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 4 بطاقة لهذه الصفحة

ما هي الخطوة الأولى لتحويل المعادلة التربيعية `س² + ٦س = ٢٧` إلى الصورة القياسية `أ س² + ب س + ج = ٠` لحلها بالتحليل؟

أ) نقل الحد الثابت ٢٧ إلى الطرف الأيسر ليصبح الطرف الأيمن صفرًا.
ب) قسمة جميع الحدود على معامل `س²`.
ج) أخذ عامل مشترك من جميع الحدود.
د) تربيع الطرفين لتبسيط المعادلة.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: نقل الحد الثابت ٢٧ إلى الطرف الأيسر ليصبح الطرف الأيمن صفرًا.

الشرح: 1. الصورة القياسية للمعادلة التربيعية هي `أ س² + ب س + ج = ٠`. 2. لجعل المعادلة `س² + ٦س = ٢٧` على هذه الصورة، يجب نقل الحد الثابت `٢٧` إلى الطرف الأيسر. 3. عند نقل الحد، تتغير إشارته ليصبح `-٢٧`، فتصبح المعادلة `س² + ٦س - ٢٧ = ٠`.

تلميح: لتحليل المعادلة، يجب أن يكون أحد طرفيها مساويًا للصفر.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

كيف يتم التحقق من صحة حلول المعادلة التربيعية بعد إيجادها؟

أ) بإعادة حل المعادلة بطريقة مختلفة ومقارنة النتائج.
ب) بتعويض كل حل في المعادلة الأصلية والتأكد من أن الطرفين متساويان.
ج) بجمع الحلول والتأكد من أنها تساوي الحد الثابت في المعادلة.
د) بتحليل الحلول إلى عواملها الأولية.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: بتعويض كل حل في المعادلة الأصلية والتأكد من أن الطرفين متساويان.

الشرح: 1. للتحقق من صحة حلول المعادلة، يجب تعويض كل قيمة تم إيجادها للمتغير (س) في المعادلة الأصلية. 2. إذا كانت المعادلة صحيحة بعد التعويض (أي أن الطرف الأيمن يساوي الطرف الأيسر)، فهذا يعني أن الحل صحيح. 3. يجب تكرار هذه العملية لكل حل تم التوصل إليه.

تلميح: تذكر أن الحلول الصحيحة يجب أن تحقق المعادلة الأساسية.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

في مسألة متوازي أضلاع ارتفاعه أقل من قاعدته بـ ١٨ سم ومساحته ١٧٥ سم²، إذا كانت القاعدة `ب`، فما المعادلة التربيعية الصحيحة التي يجب حلها لإيجاد الأبعاد؟

أ) `ب² + ١٨ب - ١٧٥ = ٠`
ب) `ب² - ١٨ب + ١٧٥ = ٠`
ج) `ب² - ١٨ب - ١٧٥ = ٠`
د) `ب² + ١٨ب + ١٧٥ = ٠`

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: `ب² - ١٨ب - ١٧٥ = ٠`

الشرح: 1. قانون مساحة متوازي الأضلاع هو $A = b imes h$. 2. المعطيات: المساحة $A = 175$ سم²، والارتفاع $h$ أقل من القاعدة $b$ بـ 18 سم، أي $h = b - 18$. 3. بالتعويض في القانون: $175 = b imes (b - 18)$. 4. بفتح الأقواس: $175 = b^2 - 18b$. 5. بترتيب المعادلة على الصورة القياسية: $b^2 - 18b - 175 = 0$.

تلميح: استخدم قانون مساحة متوازي الأضلاع (المساحة = القاعدة × الارتفاع) وعوض بالعلاقة بين القاعدة والارتفاع.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

عند إيجاد أبعاد هندسية (مثل الطول أو العرض) باستخدام معادلة تربيعية، لماذا تُستبعد الحلول السالبة الناتجة من المعادلة؟

أ) لأن الحلول السالبة تجعل المساحة غير معرفة رياضياً.
ب) لأن الأبعاد الحقيقية للأشياء لا يمكن أن تكون قيمًا سالبة.
ج) لأن قيم الأبعاد يجب أن تكون دائمًا أكبر من الصفر وليست مساوية له.
د) لأن تطبيق قواعد الجذور التربيعية يفرض دائمًا قيمًا موجبة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: لأن الأبعاد الحقيقية للأشياء لا يمكن أن تكون قيمًا سالبة.

الشرح: 1. في المسائل العملية التي تتضمن أبعاداً هندسية كالعرض والطول والارتفاع، يجب أن تكون هذه الأبعاد قيماً موجبة. 2. عندما تنتج حلول سالبة من المعادلة التربيعية، فإنها تكون صحيحة رياضياً للمعادلة نفسها، لكنها لا تحمل معنى في السياق الفيزيائي أو الهندسي للمشكلة. 3. لذلك، يتم استبعاد هذه الحلول السالبة، ويتم اختيار الحل الموجب الذي يمثل البعد الحقيقي.

تلميح: فكر في معنى الأبعاد في العالم الواقعي.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل